Функции параметрического оценивания

 

Группа образована следующими 11 функциями.

Функция ar

 

Функция аг оценивает параметры модели авторегрессии (AR), то есть коэффициенты полинома А(z), при моделировании скалярных вре­менных последовательностей:

 

th - ar(y,n)

[th.refl] = ar(y,n,approach,win,maxsize,T)

 

Аргументы:

• у — вектор-столбец данных, содержащий N элементов;

• n — порядок модели (число оцениваемых коэффициентов);

• аргумент approach (строковая переменная) определяет метод оце­нивания:

o 'fb'— прямой-обратный метод (разновидность метода наимень­ших квадратов). Используется по умолчанию;

о 'ls' — метод наименьших квадратов (МНК);

о 'yw' — метод Юла-Уокера;

o 'burg' — метод Бэрга (комбинация МНК с минимизацией гар­монического среднего);

о 'gl' — метод с использованием геометрического среднего.

Если любое из данных значений заканчивается нулем (напри­мер, 'burg0'), то вычисление сопровождается оцениванием корре­ляционных функций;

• Аргумент win (строковая переменная) используется в случае отсутствия части данных:

o win = 'now' — используются только имеющиеся данные (исполь­зуется по умоляанию — за исключением случая approach = 'yw');

o window = 'prw' — отсутствующие начальные данные заменяются нулями, так что суммирование начинается с нулевого момента времени;

o window = 'pow* — последующие отсутствующие данные заменя­ются нулями, так что суммирование расширяется до момента времени N+n;

o window = 'ppw' — и начальные, и последующие отсутствующие данные заменяются нулями. Используется в алгоритме Юла— Уокера;

• Аргумент maxsize определяет максимальную размерность задачи;

• Т — интервал дискретизации.

Иозвращаемые величины:

• th — информация о модели в так называемом тета-формате (внут­реннем матричном формате представления параметрических моделей пакета System Identification);

• refl — информация о коэффициентах и функции потерь.

Пример использования функции аг для оценивания модели авторег­рессии 4-го порядка приведен ниже.

» load dryer2; %3aгрузка данных

» у = [у2(1:300)];

» th = ar(y,4); %Оценивание AR-модели

» present(th) %Вывод информации о модели

This matrix was created by the command AR on 1/19 2001 at 9:8

Loss fcn: 0.010782 Akaike's FPE: 0.011074 Sampling interval 1

The polynomial coefficients and their standard deviations are

A =

1.0000 -2.1716 1.5697 -0.3183 -0.0790 0

0 0.0579 0.1379 0.1384 0.0583

Матрица А содержит коэффициенты полинома A(z) (первая строка) и их стандартные отклонения (вторая строка). Текст сообщает о ве­личине функции потерь и о значении интервала дискретизации. В дан­ном случае он (по умолчанию) равен 1.

Функция armax

Функция armax оценивает параметры ARMAX-модели:

th = armax(z,nn)

th = armax(z,nn,'trace')

[th, iter_info] = armax(z,nn,maxiter,tol,lim,maxsize,T, 'trace')

Аргументы функции:

• z = [у u] — матрица экспериментальных данных; в случае многомерного входа и представляет собой матрицу с числом столбцов, равным числу входов;

• nn = [na nb nc nk] — задаваемые параметры ARMAX-модели (сте­пени полиномов и величина задержки);

• 'trace' — наличие этого аргумента задает выдачу информации о ходе итерационного процесса вычислений (трассировка);

• maxiter — определяет максимальное число итераций при решении оптимизационной задачи, по умолчанию maxiter =10;

• tol — определяет заданную погрешность вычислений при поиске
минимума, по умолчанию tol = 0.01;

• lim — так называемый критерий робастности, по умолчанию lim = 1.6.
При lim = 0 используется обычный МНК;

• maxsize — определяет максимальную размерность задачи, по умол­
чанию

• Т — интервал дискретизации, но умолчанию равен 1. Возвращаемые величины:

• th — информация о модели в тета-формате;

• iterinfo = [номер последней итерации, значение функции потерь на данной итерации] — информация о выполнении итерационно­го процесса оценивания модели.

Использование функции агтах иллюстрируется следующим приме­ром:

» load dryer2 %3aгрузка данных

» y =[у2 u2];

» t = armax(z,[2 2 2 1]); %Оценивание ARMAX-иодели

» present(th) %Вывод информации о модели

 

This matrix was created by the command ARMAX on 1/19 2001 at 9:56

Loss fen: 0.0071844 Akaike's FPE: 0.0072712 Sampling interval 1

The polynomial coefficients and their standard deviations are

В =

0 0.0073 0.0451

0 0.0021 0.0025

A =

1.00 -1.6490 0.7026

0 0.0097 0.0088

C =

1.00 -0.2741 -0.4759

0. 0.0289 0.0285

В данном случае задана структура модели, все полиномы которой имеют 2-й порядок. Для выводимой информации, по-видимому, осо­бых разъяснений не требуется.

Функция агх

Функция агх оценивает параметры моделей AR и ARX:

th = arx(z,nn)

th = arx(z,nn,maxsize,T)

Аргументы и возвращаемая величина идентичны используемым в пре­дыдущей функции за тем исключением, что аргумент пп содержит только три параметра:

nn - [nа nb nк]

Функция может использоваться для оценивания параметров много-входовой модели вида

A{z)y{t) = B_{(z)u_{(t-nk_x) +

при этом

• в представлении z = [y u] экспериментальных данных u = [ul, u2,..., unu] есть матрица, столбцы которой соответствуют входам;

• nb и nk — векторы-столбцы, определяющие порядки полиномов B_j (z) и задержки nk_j для входов объекта.

Функция bj

Функция bj оценивает параметры модели Бокса—Дженкинса:

th = bj(z,nn)

th = bj(z,nn,'trace')

[th, iter_info] = bj(z,nn,maxiter,tol.,lim,maxsize,T,'trace')

Аргументы и возвращаемые величины идентичны приведенным для функции аrmах за тем исключением, что в данном случае аргумент nn содержит пять параметров: nn = [nb nc nd nf nk], то есть степени че­тырех полиномов и величину задержки.

Функция canstart

Функция canstart оценивает коэффициенты канонической формы модели для переменных состояния:

th = canstart(z,orders,nu)

th = canstart(z,orders,nu,dkx)

Аргументы функции следующие:

• z — матрица данных;

• orders — скаляр, задающий порядок п модели;

• nu— число входов;

• dkx = [d, k, x] — трехэлементный вектор, в котором:,

o k = l означает, что матрица К в модели полностью параметризо­вана (то есть подлежит оцениванию); к=0 означает, что К = 0;

o d имеет тот же смысл, но по отношению к матрице модели D;

o х=1 означает, что параметризован вектор начальных значений переменных состояния; при х = 0 данные значения полагаются нулевыми.

По умолчанию dkx = [0, 1, 1].

Возвращаемая величина th — модель в тета-формате.

Приведем пример использования рассматриваемой функции с целью восстановления модели для переменных состояния второго порядка по имеющимся экспериментальным данным (один вход, один выход). Соответствующий фрагмент программы и результаты вычислений приведены ниже:

» load dryer2 % 3агрузка данных

» z=[y2 u2];

» th = canstart(z,2,1); %Оценивание mодели

» present(th) %Вывод информации омодели