Тема 2. Классификация моделей

Тема 1. Введение

Понятие «модель», моделирование, функции и цели моделирования

Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ в. Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания. Термин "модель" широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений.

Модель - объект или описание объекта, системы для замещения (при определенных условиях предложениях, гипотезах) одной системы (т.е. оригинала) другой системы для изучения оригинала или воспроизведения его каких - либо свойств. Модель - результат отображения одной структуры на другую.

Модель - объект любой природы, материальный или мысленно представленный, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его изучение дает новые знания об объекте-оригинале. Другое определение - модель является представлением объекта, системы или понятия (идеи) в некоторой форме, отличной от формы их реального существования. Модель-средство, помогающее нам в объяснении, понимании или совершенствовании системы. Модель может быть копией объекта или отображать некоторые характеристики объекта в абстрактной форме. Дать полную классификацию всех функций модели затруднительно. Стандартно применение моделей в качестве 1) средства осмысления действительности, 2) средства общения, 3) средства обучения и тренажа, 4) инструмента познания, 5) средства постановки экспериментов. Модель может служить для достижения одной из двух основных целей: либо описательной, если модель служит для объяснения и (или) лучшего понимания объекта, либо предписывающей, когда модель позволяет предсказать и (или) воспроизвести характеристики объекта, определяющие его поведение. Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения модели.

Целями моделирования могут являться:

1) прогнозирование будущего состояния или поведения системы;

2) постановка экспериментов над моделью с последующей интерпретацией их результатов применительно к моделирующей системе.

С точки зрения информатики, решение любой производственной или научной задачи описывается следующей технологической цепочкой: «реальный объект -модель - алгоритм - программа - результаты - реальный объект». В этой цепочке очень важную роль играет звено «модель», как необходимый, обязательный этап решения этой задачи. Под моделью при этом понимается некоторый мысленный образ реального объекта (системы), отражающий существенные свойства объекта и заменяющий его в процессе решения задачи.

Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез. Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.

Возможности моделирования, то есть перенос результатов, полученных в ходе построения и исследования модели, на оригинал основаны на том, что модель в определенном смысле отображает (воспроизводит, моделирует, описывает, имитирует) некоторые интересующие исследователя черты объекта. Моделирование как форма отражения действительности широко распространено, и достаточно полная классификация возможных видов моделирования крайне затруднительна, хотя бы в силу многозначности понятия "модель", широко используемого не только в науке и технике, но и в искусстве, и в повседневной жизни.

 

Требования к модели

Основные требования к модели:

• наглядность построения;
• обозримость основных свойств и отношений;
• доступность ее для исследования или воспроизведения;
• простота исследования, воспроизведения;
• сохранение информации, содержавшиеся в оригинале (с точностью рассматриваемых при построении модели гипотез) и получение новой информации.

Проблема моделирования состоит из трех задач:

• построение модели (эта задача менее формализуема и конструктивна, в том смысле, что нет алгоритма для построения моделей);
• исследование модели (эта задача более формализуема, имеются методы исследования различных классов моделей);
• использование модели (конструктивная и конкретизируемая задача).

Свойства модели:

• конечность: модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений и, кроме того, ресурсы моделирования конечны;
• упрощенность: модель отображает только существенные стороны объекта;
• приблизительность: действительность отображается моделью грубо или приблизительно;
• адекватность: модель успешно описывает моделируемую систему;
• информативность: модель должна содержать достаточную информацию о системе - в рамках гипотез, принятых при построении модели.

 

Таблица 1.11 Таблица как представление информационной модели

 

Автор	Книга
Название	Год издания	Число страниц
Грин А. Стивенсон Р. П. Скотт В. Гончаров И. А.	Бегущая по волнам Остров сокровищ Ричард Львиное Сердце Обрыв

 

Можно классифицировать атрибуты по принадлежности к одному из трех различных типов:

• описательные;

• указывающие;

• вспомогательные.

Описательные атрибуты представляют факты, внутренне присущие каждому экземпляру объекта. Если значение описательного атрибута изменится, то это говорит о том, что некоторая характеристика экземпляра изменилась, но сам экземпляр остался прежним.

Указательные атрибуты могут использоваться как идентификаторы (или часть идентификаторов) экземпляра. Если значение указывающих атрибутов изменяется, то это говорит лишь о том, что новое имя дается тому же самому экземпляру.

Вспомогательные атрибуты используются для связи экземпляра одного объекта с экземпляром другого объекта.

Рассмотрим пример:

Автомобиль

* гос. номер

. марка

. цвет

. владелец

Атрибут «цвет» является описательным, атрибуты «гос. номер» и «марка» - указательными, атрибут «владелец» - вспомогательным, служащим для связи экземпляра объекта Автомобиль с экземпляром объекта Автолюбитель. Если значение вспомогательного атрибута изменится, это говорит о том, что теперь другие экземпляры объектов связаны между собой.

Связь между объектами

В реальном мире между предметами существуют различные отношения. Если предметы моделируются как объекты, то отношения, которые систематически возникают между различными видами объектов, отражаются в информационных моделях как связи. Каждая связь задается в модели определенным именем. Связь в графической форме представляется как линия между связанными объектами и обозначается идентификатором связи.

Существует три вида связи: один-к-одному (рис. 1.39), один-ко-многнм (рис. 1.40) и многие-ко-многим (рис. 1.41).

Связь один-к-одному существует, когда один экземпляр одного объекта связан с единственным экземпляром другого. Связь один-к-одному обозначается стрелками ←и→.

Рис. 1.39. Пример связи «одии-к-одному»

 

Связь один-ко-многим существует, когда один экземпляр первого объекта связан с одним (или более) экземпляром второго объекта, но каждый экземпляр второго объекта связан только с одним экземпляром первого. Множественность связи изображается двойной стрелкой →→.

Рис. 1.40. Пример связи «один-ко-многим»

 

Связь многие-ко-многим существует, когда один экземпляр первого объекта связан с одним или большим количеством экземпляров второго и каждый экземпляр второго связан с одним или многими экземплярами первого. Этот тип связи изображается двусторонней стрелкой ↔

Рис. 1.41. Пример связи «многие-ко-многим»

 

Помимо множественности, связи могут подразделяться на безусловные и условные. В безусловной связи для участия в ней требуется каждый экземпляр объекта. В условной связи принимают участие не все экземпляры объекта. Связь может быть условной как с одной, так и с обеих сторон.

Все связи в информационной модели требуют описания, которое, как минимум, включает:

• идентификатор связи;

• формулировку сущности связи;

• вид связи (ее множественность и условность);

• способ описания связи с помощью вспомогательных атрибутов объектов.

Дальнейшее развитие представлений информационного моделирования связано с развитием понятия связи, структур, ими образуемых, и задач, которые могут быть решены на этих структурах. Нам уже известна простая последовательная структура экземпляров - очередь, см. рис. 1.34. Возможными обобщениями информационных моделей являются циклическая структура, таблица (см. табл. 1.10), стек (см. рис. 1.35).

Очень важную роль играет древовидная информационная модель, являющаяся одной из самых распространенных типов классификационных структур. Эта модель строится на основе связи, отражающей отношение части к целому: «А есть часть М» или «М управляет А». Очевидно, древовидная связь является безусловной связью типа один-ко-многим и графически изображена на рис. 1.42, в. На этом же рисунке для сравнения приведены схемы информационных моделей типа «очередь» (а) и «цикл» (б).

Рис. 1.42. Информационные модели типа «очередь» (а), «цикл» (б), «дерево» (в)

 

Таким образом, типы данных в программировании, обсуждавшиеся в предыдущем параграфе, тесно связаны с определенными информационными моделями данных.

Еще более общей информационной моделью является, так называемая, графовая структура, рис. 1.43. Графовые структуры являются основой решения огромного количества задач информационного моделирования.

Многие прикладные задачи информационного моделирования были поставлены и изучены достаточно давно, в 50-60-х годах, в связи с активно развивавшимися тогда исследованиями и разработками по научным основам управления в системах различной природы и в связи с попытками смоделировать с помощью компьютеров психическую деятельность человека при решении творческих интеллектуальных задач. Научное знание и модели, которые были получены в ходе решения этих задач, объединены в науке под названием «Кибернетика», в рамках которой существует раздел «Исследования по искусственному интеллекту».

Рис. 1.43. Информационная модель типа «граф»

Тема 4. Компьютерная модель

Операции над моделями

Основными операциями используемыми над моделями являются:

1. Линеаризация. Пусть М=М(X,Y,A), где X - множество входов, Y - выходов, А - состояний системы. Схематически можно это изобразить: X Þ A Þ Y
Если X, Y, A - линейные пространства (множества), а f, y - линейные операторы, то система (модель) называется линейной. Другие системы (модели) - нелинейные. Нелинейные системы трудно поддаются исследованию, поэтому их часто линеаризуют - сводят к линейным каким-то образом.

2. Идентификация. Пусть М=М(X,Y,A), A={a_i}, a_i=(a_i1,a_i2,...,a_ik) - вектор состояния объекта (системы). Если вектор a_i зависит от некоторых неизвестных параметров, то задача идентификации (модели, параметров модели) состоит в определении по некоторым дополнительным условиям, например, экспериментальным данным, характеризующим состояние системы в некоторых случаях. Идентификация - решение задачи построения по результатам наблюдений математических моделей, описывающих адекватно поведение реальной системы.

3. Агрегирование. Операция состоит в преобразовании (сведении) модели к модели (моделям) меньшей размерности (X, Y, A).

4. Декомпозиция. Операция состоит в разделении системы (модели) на подсистемы (подмодели) с сохранением структур и принадлежности одних элементов и подсистем другим.

5. Сборка. Операция состоит в преобразовании системы, модели, реализующей поставленную цель из заданных или определяемых подмоделей (структурно связанных и устойчивых).

6. Макетирование. Эта операция состоит в апробации, исследовании структурной связности, сложности, устойчивости с помощью макетов или подмоделей упрощенного вида, у которых функциональная часть упрощена (хотя вход и выход подмоделей сохранены).

7. Экспертиза, экспертное оценивание. Операция или процедура использования опыта, знаний, интуиции, интеллекта экспертов для исследования или моделирования плохо структурируемых, плохо формализуемых подсистем исследуемой системы.

8. Вычислительный эксперимент. Это эксперимент, осуществляемый с помощью модели на ЭВМ с целью распределения, прогноза тех или иных состояний системы, реакции на те или иные входные сигналы. Прибором эксперимента здесь является компьютер (и модель!).

Применение моделей

Модели и моделирование применяются по следующим основным и важным направлениям.

1. Обучение (как моделям, моделированию, так и самих моделей).
2. Познание и разработка теории исследуемых систем - с помощью каких - то моделей, моделирования, результатов моделирования.
3. Прогнозирование (выходных данных, ситуаций, состояний системы).
4. Управление (системой в целом, отдельными подсиситемами системы, выработка управленческих решений и стратегий).
5. Автоматизация (системы или отдельных подсистем системы).

В базовой четверке информатики: "модель - алгоритм - компьютер - технология" при компьютерном моделировании главную роль играют уже алгоритм (программа), компьютер и технология (точнее, инструментальные системы для компьютера, компьютерные технологии).
Например, при имитационном моделировании (при отсутствии строгого и формально записанного алгоритма) главную роль играют технология и средства моделирования; аналогично и в когнитивной графике.

 

Этапы построения моделей

Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств.

Для понимания сущности моделирования важно не упускать из виду, что моделирование - не единственный источник знаний об объекте. Процесс моделирования "погружен" в более общий процесс познания. Это обстоятельство учитывается не только на этапе построения модели, но и на завершающей стадии, когда происходит объединение и обобщение результатов исследования, получаемых на основе многообразных средств познания.

Для моделирования существенно объединение дифференциального (атомистического) и структурно-целостного подходов, диалектическое единство анализа и синтеза при исследовании изучаемых явлений. Моделирование заключается в имитации изучаемого явления. Точность имитации определяется путем сравнения полученного при воспроизведении результата с его прототипом, объектом исследования, и оценки степени их сходства.

В целом, моделирование включает в себя три необходимых этана: анализ объекта исследования, построение (синтез) модели, получение результата и его оценка путем сравнения с объектом.
Рассмотрим более детально эти этапы.

Анализ объекта моделирования

В основу модели при ее формировании кладутся некоторые первоначальные знания об объекте, закономерности, устанавливающие свойства этого объекта (или класса объектов), его характеристики, особенности связи между составляющими объект, элементами. Получение этих знаний и их уточнение и являются содержанием первого этапа моделирования.

На этом этапе формируется возможно более полное описание объекта: выделяются его элементы, устанавливаются связи между ними, вычленяются существенные для исследования характеристики, выявляются параметры, изменение которых влияет или может влиять на объект.
На том же этапе формируются, подлежащие последующей проверке гипотезы о закономерностях, присущих изучаемому объекту, о характере влияния на него изменения тех или иных параметров и связей между его элементами.

На том же этапе исходные предположения переводятся на четкий однозначный язык количественных отношений и устраняется нечеткие, неоднозначные высказывания или определения, которые заменяются, быть может, и приближенными, но четкими,; не- допускающими различных толкований высказываниями

Формирование (синтез) модели

Формирование (синтез) модели представляет собой второй этап моделирования. На этом этапе в соответствии с задачами исследования осуществляется воспроизведение, или имитация, объекта на ЭВМ с помощью программы, которая включает в себя закономерности и другие исходные данные, полученные на этапе анализа. Структура модели, существенно зависит от задач исследования.. Так, например, если проверяется полнота и правильность наших знаний об объекте, последний имитируется с использованием, всех известных исходных соотношений. Если же задача, заключается,в проверке некоторых предположений и степени; их общности, то именно эти предположения вводятся в программу и в результате имитации получаются объекты, которые лишь частично отражают реальные свойства имитируемого объекта.

Оценка результатов

Оценка результатов, заключается, в установлении адекватности модели и объекта исследования - в определении степени близости,, сходства, машинных и человеческих действий или их результатов. При этом существенно не "абсолютное качествo" машинных результатов, а степень сходства с объектом исследования. Так, при моделировании музыкальных сочинений важно нe то, чтобы машинная музыка была "лучше" музыки композиторов-классиков, а чтобы она была похожа на ту, которая исследуется, и - в идеале - была от нее неотличима (по эмоциональности, по выразительности, по синтаксической сложности, принадлежности к типу, стилю и т. п.).

Успешный результат сравнения (оценки) исследуемого объекта с моделью свидетельствует о достаточной степени изученности объекта, о правильности принципов, положенных в основу моделирования, и о том, что алгоритм, моделирующий объект, не содержит ошибок, т. е. о том, что созданная модель работоспособна. Такая модель может быть использована для дальнейших более глубоких исследований объекта в различных новых условиях, в которых реальный объект еще не изучался.

Чаще, однако, первые результаты моделирования не удовлетворяют предъявленным требованиям. Это означает, что по крайней мере в одной из перечисленных выше позиций (изученность объекта, исходные принципы, алгоритм) имеются дефекты. Это требует проведения дополнительных исследовании и соответствующего изменения машинной программы, после чего снова повторяются второй и третий этапы. Процедура повторяется до получения надежных результатов.

Этап оценки модели является важным этапом моделирования. В зависимости от характера объекта исследования и поставленных задач применяются различные методы оценки модели. Особенно большое значение имеет правильная опенка модели, когда моделирование, используется для проверки гипотез, а также когда объекты недостаточно формализованы и нет строгого объективного критерия сходства объекта и модели. С подобной ситуацией часто приходится встречаться при моделировании интеллектуальных, творческих процессов.

Модель должна обладать существенными признаками объекта моделирования. Иначе говоря, модель и объект должны быть неотличимы по этим признакам, которые выбираются, вообще говоря, исследователем в зависимости от цели и. задачи исследования. Так, чучело птицы моделирует внешний вид птицы, но не моделирует ее динамического состояния, например полета. Самолет-орнитоптер (летательный -аппарат с машущими, крыльями) не моделирует внешнего вида птицы, зато моделирует ее полет. При моделировании творчества также имитируются лишь отдельные стороны объекта, наиболее интересные (или доступные) для исследователя.

Наличие существенных для объекта признаков в модели определяется по-разному, в зависимости от его вида. В одних случаях эти признаки обнаруживаются непосредственно: например, в модели гармонизации - путем отыскания ошибок, в модели шахматиста (шахматной программе) - по результатам игры с настоящими шахматистами. В других случаях существенные признаки оказываются "скрытыми" и для их отыскания приходится прибегать к специальному эксперименту.

 

Тема 7. Планирование эксперимента

 

Определения

Планирование эксперимента в широком смысле этого слова основа жизнедеятельности человека.

 

На первой стадии в результате мыслительной деятельности возникают идеи, замыслы, строятся гипотезы, взвешиваются различные варианты воплощения задуманного. (Рис.1).

 

На этой стадии происходит создание мысленной модели. Разработаны эффективные приёмы организации творческой деятельности: автоматизация рационализаторства и изобретательства (АРИЗ), используется метод мозгового штурма.

 

На второй стадии осуществляется экспериментальная проверка, воплощение идей в некий продукт. Экспериментальная проверка может осуществляться как на конечном продукте, так и на его уменьшенной или увеличенной физической модели.

 

Экспериментальной проверке предшествует собственно планирование эксперимента, которое включает следующие пункты:

 

1. Обоснование, понимание факта необходимости эксперимента.

2. Выбор факторов и уровней

3. Выбор переменной отклика для оптимизации

4. Выбор плана (числа реплик, способа рандомизации)

5. Собственно эксперимент

 

И, наконец, на третьей стадии происходит осмысление, оценка произведённого продукта, а с точки зрения планирования эксперимента происходит

6) анализ данных эксперимента

7) формулировка выводов и рекомендаций.

 

В результате обработки результатов деятельности снова возникают идеи усовершенствования сделанного и процесс циклически повторяется на более высоком уровне.

 

Таким образом, в широком смысле планирование эксперимента – один из самых древних и фундаментальных видов научной деятельности.

 

Заметим, что планирование эксперимента, не формализованное, не проводящееся в рамки научной дисциплины под названием “Планирование эксперимента”, имеет хаотический стиль. По оценкам эффективность такой деятельности низка. Научный эксперимент в рамках хаотического планирования имеет коэффициент полезного действия порядка 2%.

 

Основная цель планирования эксперимента это поиск наилучшего, оптимального в некотором смысле решения.

 

Формализация цели планирования выражается в виде некоторой функции, которую называют целевой функцией.

 

Построение целевой функции наиболее ответственный и наиболее трудный момент всего процесса планирования. Когда она построена, то действует строгий математический алгоритм поиска экстремума.

При построении же самой функции требуется широкая научно-техническая осведомлённость в данной области. Так, например, при проектировании оптического прибора для составления целевой функции необходимо принимать во внимание технические, технологические, технико-экономические, экологические, эстетические и многие другие аспекты, связанные с использованием прибора.

 

Планирование эксперимента как научная дисциплина сравнительно молодая и развивающаяся область прикладной математики. Её возникновение связывают с именем английского статистика Рональда Фишера, показавшего в конце двадцатых годов прошлого века целесообразность варьирования многими факторами при проведении эксперимента в противовес однофакторному эксперименту.

Определение 1

Эксперимент - (от латинского experimentum – проба, опыт).

В словаре Иностранных Слов даётся такое определение: эксперимент - научно поставленный опыт, наблюдение исследуемого явления в точно учитываемых условиях, позволяющих следить за ходом явления и воссоздавать его каждый раз при повторении этих условий.

 

В Энциклопедическом Словаре эксперимент определяется как чувственно-предметная деятельность в науке. Согласно этому определению, например, написание научной статьи или просмотр научного журнала – уже эксперимент.

 

Второе определение более широкое. Первое – более подходит к существу дисциплины “Планирование эксперимента”.

 

Именно свойство воссоздания - воспроизводимости эксперимента лежит в основе алгоритма планирования.

 

Техника планирования: на каждом шаге ставится небольшая серия опытов, в каждом из которых варьируются по определённым правилам все факторы. Математическая обработка результатов эксперимента позволяет выработать условия проведения следующей серии опытов, направленных к достижению оптимума.

 

В этом суть метода Бокса-Уилсона или метода крутого восхождения (1951 г.). Мы будем изучать только этот частный случай планирования эксперимента.

 

Эксперимент может быть физическим и модельным.

Физический эксперимент - это реальный эксперимент на оборудовании с вещественными материалами. Это наиболее трудоёмкий, энергоёмкий и дорогой вид деятельности. Планирование эксперимента зарождалось и развивалось применительно именно к таким областям деятельности как металлургия, химическая промышленность, пищевая промышленность, транспорт.

Модельный эксперимент может быть трёх типов.

- Он может быть физическим. В этом случае модель может отличаться от объекта масштабом и, может быть, природой,

- модель может быть абстрактной психологической, неформализованной на уровне логического мышления. Это самая изящная модель.

- модель может быть формализованной математической.

 

Чтобы, экспериментируя на абстрактной модели, получать правильные сведения об объекте исследования нужно построить достаточно точную модель. А поскольку принципиально невозможно точно описать все возможные внешние влияющие факторы на процесс функционирования объекта исследования, то модель описывается вероятностно, статистически.

 

В основном планирование эксперимента применяется в областях, где без физического моделирования не обойтись: в химической, пищевой промышленности, металлургии и т. п. Непосредственных примеров использования аппарата планирования эксперимента в оптическом приборостроении нет. Элементы планирования используются в системах автоматического проектирования оптики (САПР). Известны такие системы компъютерного расчёта оптики как ОПАЛ, САРО, зарубежные ZEMAX. В этих пакетах в режиме оптимизации происходит подгонка параметров системы к состоянию, поставляющему экстремум целевой функции, в результате которой чаще всего используют аберрационную функцию Зейделя.

 

Для инженера-оптика планирование эксперимента может служить основой для автоматизированного проектирования оптических приборов. Для этого необходимо наличие математического описания объекта проектирования, или математической модели, положенной в основу компъютерной модели на подходящем языке программирования.

 

Такая модель должна отражать функциональное взаимодействие элементов и их соединений, пространственные связи и расположение. Оптик-конструктор имеет дело с абстрактной моделью создаваемого или модернизируемого им оптического прибора.

Применение планирования эксперимента, несомненно, организует и оптимизирует деятельность экспериментатора.

 

Кроме основной задачи – получение оптимального решения, для оптика-конструктора – получение оптимального проекта прибора, планирование эксперимента позволяет решить следующие задачи:

- поиск оптимальных условий,

- построение интерполяционных формул,

- выбор существенных факторов,

- оценка и уточнение констант теоретических моделей,

- выбор приемлемой гипотезы о механизме явления и др.

 

Эксперимент, который ставится для решения задач оптимизации, называется экстремальным, поскольку связан с поиском экстремума некоторой функции.

 

Какой эксперимент будет экстремальным?

1. Измеряется величина и погрешность показателя преломления призмы на гониометре методом наименьшего отклонения.
2. Определяется связь между углами падения и выхода лучей из призмы на гониометре, обеспечивающая минимальное отклонение.

 

Эксперимент №1 называют интерполяционным, а 2 – экстремальным.

Определение 2

Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

 

Особенности планирования эксперимента:

- стремление к минимизации общего числа опытов,

- одновременное варьирование всеми переменными, определяющими процесс, по специальным правилам – алгоритмам.

- выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов.

 

Объект исследования. Для конструктора объект исследования – это созданная им абстрактная модель конструируемого прибора, все функциональные связи между элементами которого описаны, то есть известны. С точки зрения процедуры планирования эксперимента:

 

Определение 3

Объект исследования – это “черный ящик” с конечным числом входов и выходов.

 

Рис.1. Схема “черного ящика”.

 

Определение 4

Входы “чёрного ящика” называют факторами, выходы откликами.

 

Каждый отклик есть функция k-переменных – факторов

 

 

Функция f называется функцией отклика. Это может быть детерминированная или статистическая функция в зависимости от свойств объекта исследования.

 

Объект может быть описан либо непосредственно совокупностью функций отклика, либо системой уравнений: линейных, нелинейных, дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных. При этом функции отклика могут в явном виде и не существовать, но в любом случае модель объекта должна содержать явно или неявно непустое множество решений в виде функций отклика.

 

Определение 5.

 

Количественная характеристика функции отклика, выбранная в качестве цели экстремального эксперимента называется параметром оптимизации

 

Условия проведения эксперимента предполагают, что значения факторов выбраны. И эксперимент заключается в определении значений функций отклика.

 

Фактор может иметь непрерывную или дискретную область изменения. Однако ввиду ограниченной точности представления непрерывного фактора он может быть описан с помощью дискретного набора уровней. Это соглашение существенно облегчает построение эксперимента и упрощает оценку его сложности.

 

Сложность эксперимента определяется числом всевозможных состояний “чёрного ящика”. Например, если для всех k-факторов существует р уровней, то число состояний будет р^к. Так для система с 5 факторами на 5 уровнях имеет 3125 состояний, а 4¹⁰=1049000 – 10 факторов на 4-х уровнях.

Прямой перебор ввиду огромного числа состояний нерационален, если невозможен, поэтому прибегают к процедуре планирования эксперимента.

 

И, наконец, объект исследования должен обладать рядом свойств, чтобы к нему была применима процедура планирования эксперимента в данном изложении.

 

1). Как уже упоминалось, свойства объекта должны быть воспроизводимы. То есть, если эксперимент проведен в некоторых условиях, при выбранных уровнях факторов, то повторное проведение эксперимента через неравные промежутки времени не должны существенно с заданной точностью отличаться друг от друга. Разброс значений откликов не должен превышать точности эксперимента.

2) Объект должен позволять активное вмешательство в процесс выбора уровней факторов. Такой объект называется управляемым, а эксперимент – активным.

 

Неуправляемые факторы влияют на воспроизводимость и являются причиной её нарушения. Реально не существует абсолютно управляемых объектов. Планирование носит вероятностный характер. Если погрешность воспроизводимости велика, то обращаются к иному виду планирования: активно-пассивному эксперименту. Мы не будем его рассматривать, и будем изучать только активный эксперимент.

 

Иногда фактор не остаётся постоянным во времени. В этом случае также обращаются к другим видам планирования. Эксперимент может быть чисто пассивным, тогда за ним только наблюдают.

И так, мы изучаем экстремальный эксперимент, который определим как

 

Определение 6

Экстремальный эксперимент – метод выбора минимального количества опытов, необходимых для отыскания оптимальных условий.

Параметр оптимизации является откликом, реакцией на воздействие факторов, которые определяют поведение исследуемой, проектируемой системы. Отклики системы лежат в многих аспектах, количественное выражение которых не всегда однозначно. Различные исследователи часто имеют сильно отличающиеся представления об оптимальности того или иного аспекта. Не по всем параметрам оптимизации существуют унифицированные рекомендации, и поэтому выбор критериев оптимизации часто является искусством.

 

Среди параметров оптимизации необходимо выбрать один параметр, по которому ищется оптимум. Все остальные параметры при этом служат уже в качестве ограничений. Здесь также возможно множество путей постановки задачи оптимизации.

 

Существуют различные подходы к классификации параметра оптимизации. В данном случае для оптика-конструктора представляется удобным увязать параметр оптимизации с параметрами качества, обеспечиваемыми при конструировании [2].

 

В соответствии с ГОСТ 22851-77, ГОСТ 15476-79 вводится

 

Определение 7

Качество прибора [4] – совокупность свойств, обуславливающих его пригодность удовлетворять определённые потребности в соответствии с его назначением, указанным в технических условиях.

 

Для объективной оценки качества прибора его свойства характеризуют количественно показателями качества, разделёнными на группы