Довірчий інтервал для різниці середніх нормальних

Сукупностей при різних дисперсіях

Статистична модель. Дані дві одновимірні незалежні вибірки і об’ємів відповідно одержані із генеральних сукупностей, які мають нормальні розподіли і з математичними сподіваннями і відповідно. Рівність дисперсій вибірок не припускається.

Необхідно визначити довірчий інтервал для різниці математичних сподівань відповідно першої і другої вибірки при невідомих дисперсіях.

Алгоритм побудови довірчого інтегралу для

1. Обчислюються точкові оцінки математичних сподівань і дисперсій

,

різниця математичних сподівань

,

кількість ступенів свободи

,

і вибіркове середнє квадратичне відхилення різниці величин

2. Задається довірчий рівень

3. Із рівняння , де функція розподілу Стьюдента з ступенями свободи, обчислюється величина як квантиль розподілу Стьюдента порядку з тією ж кількістю ступенів свободи Значення визначається за оператором

4. Обчислюється довірчий інтервал

.

Коментар

1. Довірчий інтервал, побудований за розглянутим алгоритмом є наближеним. Якщо нема підстав відкидати припущення про рівність дисперсій, то слід віддати перевагу використанню точного довірчого інтервалу, який визначається за попереднім алгоритмом.

2. Якщо відомі значення дисперсій то замість розподілу Стьюдента використовується стандартний нормальний розподіл, а у формулі обчислення величини замінюються значеннями

3. Описаний алгоритм побудови довірчого інтервалу сталий при помірних відхиленнях розподілу вибірки від нормального.

4. Для досить великих об’ємів вибірок, наприклад при , замість розподілу Стьюдента можна використовувати стандартний нормальний розподіл.

Приклад 2.17. Дані дві одновимірні незалежні вибірки і об’ємів відповідно . Припускається, що дисперсії обох вибірок невідомі, і різні – .

Визначимо довірчий інтервал для різниці математичних сподівань відповідно першої і другої вибірок при різних невідомих дисперсіях і заданому рівні значущості

Розв’язання. Генеруємо дві вибірки із нормально розподілених генеральних сукупностей об’ємів . Визначаємо точкові оцінки і відповідно середніх арифметичних і дисперсій цих вибірок. Обчислюючи відповідний квантиль розподілу Стьюдента і величину знаходимо довірчий інтервал для різниці середніх двох генеральних сукупностей, розподілених за нормальними законами при різних дисперсіях.

Алгоритм у Mathcad

Початкові дані

Точкові оцінки математичних сподівань і дисперсій

Різниця математичних сподівань

Кількість ступенів свободи

Вибіркове середнє квадратичне відхилення різниці величин

Для заданого рівня значущості і кількості ступенів свободи визначається квантиль розподілу Стьюдента

Довірчий інтервал

◄