Інтервальна оцінка параметра розподілу Пуассона

Статистична модель. Генеральна сукупність має розподіл Пуассона з параметром

Незсуненою й ефективною оцінкою невідомого параметра є вибіркове середнє . Дисперсія цієї оцінки дорівнює . Випадкова величина має розподіл Пуассона з параметром , а випадкова величина асимптотично нормальна з параметрами (0, 1).

Довірчий інтервал для параметра будується або на основі розподілу Пуассона, який має випадкова величина , або на основі асимтотичної нормальності розподілу випадкової величини .

Алгоритм побудови довірчого інтервалу для параметра

Розподілу Пуассона

1. Обчислюється точкова оцінка .

2. Задається рівень значущості .

3. Визначаються квантилі -розподілу, де – функція, обернена до функції –розподілу з ступенем свободи. Квантилі розподілу визначаються за функцією Mathcad qchisq().

Тут використані відомі співвідношення між розподілом Пуассона і розподілом .

4. Визначаються границі довірчого інтервалу

.

Приклад 2.14. За даними вибірки об’єму із генеральної сукупності, розподіленої за законом Пуассона, визначимо довірчий інтервал для параметра із рівнем значущості

Розв’язання. Змоделюємо вибірку об’єму із генеральної сукупності з розподілом Пуассона з параметром (вибірку моделюємо за допомогою функції ). Знаходячи точкову оцінку середнього арифметичного і відповідні квантилі розподілу, знаходимо довірчі інтервали для параметра .

Алгоритм у Mathcad

Початкові дані

Моделювання вибірки

Фрагмент вибірки

Вибіркове середнє і дисперсія

Кількість ступенів свободи

Квантилі розподілу

Довірчий інтервал для параметра

◄

Алгоритм побудови асимптотичної оцінки для параметра λ

При досить великому наближений довірчий інтервал для параметра будується таким чином:

1. Обчислюється точкова оцінка

2. Задається рівень значущості

3. Визначається квантиль стандартного нормального розподілу , де функція, обернена до функції стандартного нормального розподілу. Квантиль визначається за функцією Mathcad qnorm().

4. Визначаються границі довірчого інтервалу для параметра

.

При побудові цього довірчого інтервалу використовується апроксимація розподілу Пуассона нормальним розподілом. Невідоме значення дисперсії замінюється величиною

Можна будувати довірчий інтервал вигляду

,

де використовується тільки апроксимація розподілу Пуассона нормальним розподілом.

Приклад 2.15. За даними попереднього прикладу визначимо довірчий інтервал для параметра із рівнем значущості використовуючи асимптотичну оцінку цього параметра.

Алгоритм у Mathcad

Початкові дані

Середнє арифметичне

Квантиль нормованого нормального розподілу

Довірчий інтервал для параметра

Довірчий інтервал для параметра з використанням апроксимації розподілу Пуассона нормальним розподілом

◄