Абстрактные модели и их классификация.

Абстрактные модели и их классификация.

В моделировании есть два различных подхода. Модель может быть похожей копией объекта, выполненной из другого материала, в другом масштабе, с отсутствием ряда деталей. Например, это игрушечный кораблик, домик из кубиков, деревянная модель самолета в натуральную величину, используемая в авиаконструировании и др. Модели такого рода называют натурными.

Модель может, однако, отображать реальность более абстрактно – словесным описанием в свободной форме, описанием, формализованным по каким-то правилам, математическими соотношениями и т.п. Будем называть такие модели абстрактными.

Классификация абстрактных моделей:

1. Вербальные (текстовые) модели. Эти модели используют последовательности предложений на формализованных диалектах естественного языка для описания той или иной области действительности (примерами такого рода моделей являются милицейский протокол, правила дорожного движения).

2. Математические модели – очень широкий класс знаковых моделей (основанных на формальных языках над конечными алфавитами), использующих те или иные математические методы. Например, математическая модель звезды будет представлять собой сложную систему уравнений, описывающих физические процессы, происходящие в недрах звезды. Другой математической моделью являются, например, математические соотношения, позволяющие рассчитать оптимальный (наилучший с экономической точки зрения) план работы какого-либо предприятия.

3. Информационные модели – класс знаковых моделей, описывающих информационные процессы (получение, передачу, обработку, хранение и использование информации) в системах самой разнообразной природы. Примерами таких моделей могут служить OSI – семиуровневая модель взаимодействия открытых систем в компьютерных сетях, или машина Тьюринга – универсальная алгоритмическая модель.

Подчеркнем, что граница между вербальными, математическими и информационными моделями может быть проведена весьма условно. Так, информационные модели иногда считают подклассом математических моделей. Однако, в рамках информатики как самостоятельной науки, отделенной от математики, физики, лингвистики и других наук, выделение информационных моделей в отдельный класс является целесообразным.

Отметим, что существуют и иные подходы к классификации абстрактных моделей; общепринятая точка зрения здесь еще не установилась.

В прикладных науках различают следующие виды абстрактных моделей:

1) чисто аналитические математические модели, не использующие компьютерных средств;

2) информационные модели, имеющие приложения в информационных системах;

3) вербальные языковые модели;

4) компьютерные модели, которые могут использоваться для:

• численного математического моделирования;

• визуализации явлений и процессов (как для аналитических, так и для численных моделей);

• специализированных прикладных технологий, использующих компьютер (как правило, в режиме реального времени) в сочетании с измерительной аппаратурой, датчиками и т.п.

Двухмерная графика

А. Векторная графика

Векторная графика представляет изображение как набор геометрических примитивов. Обычно в качестве них выбираются точки, прямые, окружности, прямоугольники, а также как общий случай, некоторого порядка. Объектам присваиваются некоторые атрибуты, например, толщина линий, цвет заполнения. Рисунок хранится как набор координат, векторов и других чисел, характеризующих набор примитивов. При воспроизведении перекрывающихся объектов имеет значение их порядок.

Изображение в векторном формате даёт простор для редактирования. Изображение может без потерь масштабироваться, поворачиваться, деформироваться, также имитация трёхмерности в векторной графике проще, чем в растровой. Дело в том, что каждое такое преобразование фактически выполняется так: старое изображение (или фрагмент) стирается, и вместо него строится новое.

Б. Растровая графика

Растровая графика всегда оперирует двумерным массивом (матрицей) пикселей. Каждому пикселю сопоставляется значение — яркости, цвета, прозрачности — или комбинация этих значений. Растровый образ имеет некоторое число строк и столбцов.

В растровом виде представимо любое изображение, однако этот способ хранения имеет свои недостатки: больший объём памяти, необходимый для работы с изображениями, потери при редактировании.

В. Фрактальная графика

Фрактал — объект, отдельные элементы которого наследуют свойства родительских структур. Поскольку более детальное описание элементов меньшего масштаба происходит по простому алгоритму, описать такой объект можно всего лишь несколькими математическими уравнениями.

Фракталы позволяют описывать целые классы изображений, для детального описания которых требуется относительно мало памяти. С другой стороны, фракталы слабо применимы к изображениям вне этих классов.

Трёхмерная графика

Трёхмерная графика (3D) оперирует с объектами в трёхмерном пространстве. Обычно результаты представляют собой плоскую картинку, проекцию. Трёхмерная компьютерная графика широко используется в кино, компьютерных играх.

В трёхмерной компьютерной графике все объекты обычно представляются как набор поверхностей или частиц. Минимальную поверхность называют полигоном. В качестве полигона обычно выбирают треугольники.

Всеми визуальными преобразованиями в 3D-графике управляют матрицы. В компьютерной графике используется три вида матриц: матрица поворота, матрица сдвига, матрица масштабирования.

Любой полигон можно представить в виде набора из координат его вершин. Так, у треугольника будет 3 вершины. Координаты каждой вершины представляют собой вектор (x, y, z). Умножив вектор на соответствующую матрицу, мы получим новый вектор. Сделав такое преобразование со всеми вершинами полигона, получим новый полигон, а преобразовав все полигоны, получим новый объект, повёрнутый/сдвинутый/масштабированный относительно исходного.

Шаги для получения трехмерного изображения:

А. моделирование – создание математической модели сцены и объектов в ней.

Б. Рендеринг (визуализация) – построение проекции в соответствии с выбранной физической модель.

 

Имитационное моделирование.

Имитационная модель – описание системы и ее поведения, которое может быть реализовано и исследовано в ходе операций на компьютере.

Имитационное моделирование чаще всего применяется для того, чтобы описать свойства большой системы при условии, что поведение составляющих ее объектов очень просто и четко сформулировано. Математическое описание тогда сводится к уровню статической обработки результатов моделирования при нахождении макроскопических характеристик системы. Такой компьютерный эксперимент фактически претендует на воспроизведение натурного эксперимента. Имитационное моделирование – это частный случай математического моделирования. Существует класс объектов, для которых по различным причинам не разработаны аналитические модели, либо не разработаны метода решения полученной модели. В этом случае математическая модель заменяется имитатором или имитационной моделью. Имитационное моделирование позволяет осуществить проверку гипотез, исследовать влияние различных факторов и параметров.

Имитационное моделирование – это метод, позволяющий строить модели, описывающие процессы так, как они проходили бы в действительности.

Такую модель можно «проиграть» во времени как для одного испытания, так и заданного их множества. При этом результаты будут определяться случайным характером процессов. По этим данным можно получить достаточно устойчивую статистику. Экспериментирование с моделью называют имитацией.

Имитация – постижение сути явления без экспериментов на объекте.

Имитация как метод решения нетривиальных задач получила начальное развитие в связи с созданием ЭВМ в 1950 – 1960 г.г. Разновидности имитации: метод Монте-Карло (метод статических испытаний); метод имитационного моделирования (статическое моделирование).

Востребованность имитационного моделирования: 1)экспериментировать на реальном объекте дорого и невозможно; 2) аналитическую модель построить невозможно: в системе есть время, причинные связи, последствие, нелинейности, случайные переменные; 3) сымитировать поведение системы необходимо во времени.

Цель имитационного моделирования – воспроизведение поведения исследуемой системы на основе результатов анализа наиболее существенных взаимосвязей между ее элементами (разработке симулятора исследуемой предметной области для проведения различных экспериментов).

Виды имитационного моделирования.

Агентное моделирование – относительно новое (1990 – 2000 гг.) направление в имитационном моделировании, которое используется для исследования децентрализованных систем, динамика функционирования которых определяется не глобальными правилами и законами (как в других парадиграх моделирования), а наоборот. Когда эти глобальные правила и законы являются результатом индивидуальной активности членов группы. Цель агентных моделей – получить представление об этих глобальных правилах, общем поведении системы исходя из предположений об индивидуальном, частном поведении ее отдельных активных объектов и взаимодействий этих объектов в системе. Агент – некая сущность, обладающая активностью, автономным поведением; может принимать решения в соответствии с некоторым набором правил, взаимодействовать с окружением, а также самостоятельно изменяться.

Дискретно-событийное моделирование – подход к моделированию, предлагающий абстрагироваться от непрерывной природы событий и рассматривать только основные события моделируемой системы, такие как: «ожидание», «обработка заказа», «движение с грузом», «разгрузка» и др. Дискретно-событийное моделирование наиболее развито и имеет огромную сферу приложений – от логистики и систем массового обслуживания до транспортных и производственных систем. Этот вид моделирования наиболее подходит для моделирования производственных процессов. Основан Джеффри Гордоном в 1960-х годах.

Системная динамика - для исследуемой системы строятся графические диаграммы причинных связей и глобальных влияний одних параметров на другие во времени, а затем созданная на основе этих диаграмм модель имитируется на компьютере. По существу, такой вид моделирования более всех других парадигм помогает понять суть происходящего выявления причинно-следственных связей между объектами и явлениями. С помощью системной динамики строят модели бизнес-процессов, развития города, модели производства, динамики популяции, экологии и развития эпидемии. Метод основан Форрестером в 1950 г.

Некоторые области применения имитационного моделирования: бизнес-процессы, боевые действия, динамика населения, дорожное движение, ИТ-инфраструктура, управление проектами, экосистемы. Популярные компьютерные системы имитационного моделирования: AnyLogic, Aimsun, Arena,eM-Plant, Powersim, GPSS.

Имитационное моделирование позволяет имитировать поведение системы во времени. Причем плюсом является то, что временем в модели можно управлять: замедлять в случае с быстропротекающими процессами и ускорять для моделирования систем с медленной изменчивостью. Можно имитировать поведение тех объектов, реальные эксперименты с которыми дороги, невозможны и опасны.

 

Информационные модели. Примеры информационных моделей.

Информационная модель – модель объекта, представленная в виде информации, описывающей существенные для данного рассмотрения параметры и переменные величины объекта, связи между ними, входы и выходы объекта, и позволяющая путем подачи на модель информации об изменениях входных величин моделировать возможные состояния объекта.

Информационные модели нельзя потрогать или увидеть, она не имеют материального воплощения, потому что строятся только на информации. Информационная модель – совокупность информации, характеризующая существенные свойства и состояния объекта, процесса, явления, а также взаимосвязь с внешним миром.

Информационная модель – формальная модель ограниченного набора фактов, понятий или инструкций, предназначенная для удовлетворения конкретному требованию.

Для построения информационной модели необходимо пройти ряд стадий, представленных на схеме 3. Процесс, проводимый от «объекта познания» жл «формальной конструкции», носит название «формализация», а обратный процесс – «интерпретация» - чаще всего используется в познании мира и обучении.

В основе информационного моделирования лежат три постулата:

1) все состоит из элементов;

2) элементы имеют свойства;

3) элементы связаны между собой отношениями.

Объект, к которому применимы эти постулаты, может быть представлен информационной моделью.

 

 

Схема 3.

Компьютерная модель.

Компьютерная модель – модель, реализованная средствами программной среды.

Имея дело с компьютером как с инструментом, нужно помнить, что он работает с информацией. Поэтому следует исходить из того, какую информацию и в каком виде может воспринимать и обрабатывать компьютер. Современный компьютер способен работать со звуком, видеоизображением, анимацией, текстом, схемами, таблицами и т.д. Но для использования всего многообразия информации необходимо как техническое (Hardware), так и программное (Software) обеспечение. И то и другое – инструменты компьютерного моделирования. Сейчас имеется широкий круг программ, позволяющих создавать различные виды компьютерных знаковых моделей: текстовые процессоры, редакторы формул, электронные таблицы, системы управления в базах данных, профессиональные системы проектирования, а также различные среды программирования.

Современные ЭВМ представляют широкие возможности для моделирования различных явлений и процессов. В учебном процессе ЭВМ не должна просто заменять классную доску, плакат, кино- и диапроектор, натуральный эксперимент. Такая замена целесообразна только тогда, когда использование ЭВМ даст весомый дополнительный эффект по сравнению с использованием других средств обучения.

компьютерное моделирование (КМ) является перспективным методом активизации учебного процесса. Оно приобретает все большее и большее значение в современном научном познании, и, кроме того, в настоящее время становится популярным дидактическим средством. Рассмотрим это направление подробнее.

Предметом КМ является изучение процессов и явлений с помощью компьютера, который при этом выступает в роли экспериментальной установки. При использовании КМ для решения задач выделяются этапы постановки задачи, разработки модели, компьютерного (вычислительного) эксперимента, анализа результатов моделирования. Если результаты моделирования не соответствуют цели, то возникает необходимость возвращения на предыдущие этапы.

 

Математические модели.

Математическое моделирование позволяет при помощи математических символов и зависимостей составить описание происходящего процесса.

Математическая модель - это совокупность математических объектов и соотношений между ними, адекватно отображающая свойства и поведение исследуемого объекта. Модель считается адекватной, если отражает исследуемые свойства с приемлемой точностью. Точность оценивается степенью совпадения предсказанных в процессе вычислительного эксперимента на модели значений выходных параметров с истинными их значениями.

Математическая модель охватывает класс неопределяемых (абстрактных, символических) математических объектов таких, как числа или векторы, и отношения между этими объектами.

Математическое отношение – это гипотетическое правило, связывающее два или более символических объекта. Многие отношения могут быть описаны при помощи математических операций, связывающих один или несколько объектов с другим объектом или множеством объектов (результатом операции).

Математическая модель будет воспроизводить подходящим образом выбранные стороны физической ситуации, если можно установить правило соответствия, связывающее специфические физические объекты и отношения с определенными математическими объектами и отношениями. Поучительным и/или интересным может также быть и построение математических моделей, для которых в физическом мире аналогов не существует. Наиболее общеизвестными математическими моделями являются системы целых и действительных чисел и евклидова геометрия; определяющие свойства этих моделей представляют собой более или менее непосредственные абстракции физических процессов (счет, упорядочение, сравнение, измерение).

Объекты и операции более общих математических моделей часто ассоциируются с множествами действительных чисел, которые могут быть соотнесены с результатами физических измерений.

В качестве математических объектов выступают числа, переменные, множества, векторы, матрицы и т.п.

Примеры математических моделей в химии, биологии, экологии, экономике.

Пример 1. Модель клеточного автомата (игра «Жизнь»).

Игра «Жизнь» (англ. Conway's Game of Life) - клеточный автомат, приду­манный английским математиком Джоном Конвеем в 1970 г. Джон Конвей заин­тересовался проблемой, предложенной в 1940-х годах известным математиком Джоном фон Нейманом, попытавшимся создать гипотетическую машину, которая может воспроизводить сама себя. Джону фон Нейману удалось создать математи­ческую модель такой машины с очень сложными правилами. Конвей попытался упростить идеи Неймана и создал правила игры «Жизнь». Данная игра относится к категории моделирующих, которые имитируют процессы, происходящие в реаль­ной жизни. Основная идея игры состоит в том, чтобы, начав с какого-нибудь про­стого расположения живых клеток, проследить за эволюцией исходной позиции.

Место действия этой игры - «вселенная»: размеченная на клетки поверх­ность, безграничная, ограниченная (замкнутая). Каждая клетка на этой поверхно­сти может находиться в двух состояниях: быть живой или быть мертвой (пустой). Клетка имеет восемь соседей (окрестность Мура). Распределение живых клеток в начале игры называется первым поколением. Каждое следующее поколение рас­считывается на основе предыдущего по правилам (генетические законы Конвея):

а) мертвая клетка рядом с тремя живыми клетками-соседями оживает;

б) если у живой клетки есть две или три живые соседки, то эта клетка про­должает жить; в противном случае (если соседей меньше двух или больше трех) клетка умирает (от «одиночества» или от «перенаселенности»).

Игрок не принимает прямого участия в игре, а лишь расставляет «живые» клетки, которые взаимодействуют согласно правилам уже без его участия. Вскоре после опубликования правил, было обнаружено несколько интересных шаблонов (вариантов расстановки живых клеток в первом поколении), в частности глайдер (рис. 2).

 

 

Рис. 2. Глайдер

Некоторые такие фигуры остаются неизменными во всех последующих по­колениях, состояние других периодически повторяется, в некоторых случаях со смещением всей фигуры. Существует фигура (Diehard) всего из семи живых кле­ток, потомки которой существуют в течение 130 поколений, а затем исчезают.

Пример 2. Задача на смеси.

В сосуде, объем которого равен Vo л, содержится р%-ный раствор соли. Из сосуда выливается а л смеси и доливается а л воды, после чего раствор перемеши­вается. Эта процедура повторяется n раз. Спрашивается, по какому закону меняет­ся концентрация соли в сосуде, т. е. какова будет концентрация соли после n про­цедур?

Решение. Первоначальное количество соли в растворе равно р/100*V₀.

После того как отлили а л смеси, в растворе осталось р/100 х Vo - р/100 * а = р/100 *Vo (1 - a/Vo) соли, а ее концентрация после добавления а л воды стала равной c₁= р/100*(1 - a/V₀). После того как отлили еще а л смеси (но уже с концентрацией c₁), в растворе осталось соли 1/100*V₀ (1 - a/V₀) – c₁ a = р/100*V₀ (1 - a/V₀)², а ее концентрация после добавления а л воды стала равной сг - р/100*(1 - a/Vo)². Нет надобности еще раз проделывать ту же процедуру, чтобы убедиться, что концентрация соли в растворе после n переливаний определяется формулой c_n=р/100*(1 - a/Vo)ⁿ.

Пример 3. Модель популяции в условиях сбора урожая.

Рассмотрим популяцию рыб, из которой в текущий момент времен изымает­ся часть популяции («сбор урожая»).

Решение. Модель имеет вид: Xj+1 = xj + axj - kxi, Xo = с, где a - коэффициент прироста популяции рыб; к - коэффициент сбора урожая (скорость изъятия особей).

Пример 4. Модель влияния факторов роста на урожайность.

Пусть у_max - максимально возможная (наблюдавшаяся) урожайность некото­рой сельхозкультуры, y(x(t)) - действительно получаемый урожай к моменту вре­мени t, у=у(х), х - доля фактора роста, например, при орошении, х = x(t).

Решение. Модель роста урожайности y(t) в зависимости от фактора роста x(t), y_i =y(х_i), x_i =x(t_i): y_i+1 = y_i+k(y_max- у_i), где у(0) = у₀- заданное начальное зна­чение урожая.

Пример 5. Задача на рост производительности.

1. Выработка продукции за первый год работы предприятия возросла на р %, а за следующий год по сравнению с первоначальной она возросла на 10 % больше, чем за первый год. Определить, на сколько процентов увеличилась выработка за первый год, если известно, что за два года она увеличилась в общей сложности на 48, 59 %?

Решение. За первый год выработка возросла в (1 + р/100) раз по сравнению с первоначальной, за второй год - в (1 + (р + 10)/100)раз по сравнению с началом второго года и в (1 + р/100)(1 + (р + 10)/100) по сравнению с первоначальной и со­ставила 1,4859: (1 + р/100)(1 + (р + 10)/100) = 1,4859.

Отсюда р= 17%.

Все указанные модели могут подвергаться уточнению и модификации.

Понятие «модель».

В основе любого моделирования лежит модель. Соответствие модели реальному объекту базируется на их общем качестве. Реальный объект обладает некоторой формальной структурой, поэтому структура модели должна соответствовать структуре реального объекта или изучаемой стороне этого объекта.

Все многообразие моделей отличает нечто общее, а именно – моделью может стать искусственно созданный человеком абстрактный или материальный объект. Анализ модели и наблюдение за ней позволяют познать суть реально существующего более сложного объекта, процесса или явления, называемого прототипом или оригиналом.

Слово «модель» произошло от латинского слова «modulus», означает «мера», «образец». Его первоначальное значение было связано со строительным искусством, и почти во всех европейских языках оно употреблялось для обозначения образа или прообраза, или вещи, сходной в каком-то отношении с другой вещью.

Термин «модель» широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. В этом разделе мы будем рассматривать только такие модели, которые являются инструментами получения знаний.

Таким образом, модель – упрощенное представление о реальном объекте, процессе или явлении. Модель – это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Виды моделей.

По способу отображения действительности различают три основных вида моделей — эвристические, натурные и математические.

Эвристические модели

Эвристические модели, как правило, представляют собой образы, рисуемые в воображении человека. Их описание ведется словами естественного языка (например, вербальная информационная модель) и, обычно, неоднозначно и субъективно. Эти модели неформализуемы, то есть не описываются формально-логическими и математическими выражениями, хотя и рождаются на основе представления реальных процессов и явлений.

Эвристическое моделирование — основное средство вырваться за рамки обыденного и устоявшегося. Но способность к такому моделированию зависит, прежде всего, от богатства фантазии человека, его опыта и эрудиции. Эвристические модели используют на начальных этапах проектирования или других видов деятельности, когда сведения о разрабатываемой системе ещё скудны. На последующих этапах проектирования эти модели заменяют на более конкретные и точные.

Натурные модели

Отличительной чертой этих моделей является их подобие реальным системам (они материальны), а отличие состоит в размерах, числе и материале элементов и т. п. По принадлежности к предметной области модели подразделяют на следующие:

Физические модели. Это — реальные изделия, образцы, экспериментальные и натурные модели, когда между параметрами системы и модели одинаковой физической природы существует однозначное соответствие. Выбор размеров таких моделей ведется с соблюдением теории подобия. Физические модели подразделяются на объемные (модели и макеты) и плоские (тремплеты).

Математические модели

Математические модели — формализуемые, то есть представляют собой совокупность взаимосвязанных математических и формально-логических выражений, как правило, отображающих реальные процессы и явления (физические, психические, социальные и т. д.). По форме представления бывают:

· аналитические модели. Их решения ищутся в замкнутом виде, в виде функциональных зависимостей. Удобны при анализе сущности описываемого явления или процесса и использовании в других математических моделях, но отыскание их решений бывает весьма затруднено;

· численные модели. Их решения — дискретный ряд чисел (таблицы). Модели универсальны, удобны для решения сложных задач, но не наглядны и трудоемки при анализе и установлении взаимосвязей между параметрами. В настоящее время такие модели реализуют в виде программных комплексов — пакетов программ для расчета на компьютере. Программные комплексы бывают прикладные, привязанные к предметной области и конкретному объекту, явлению, процессу, и общие, реализующие универсальные математические соотношения (например, расчет системы алгебраических уравнений);

· формально-логические информационные модели — это модели, созданные на формальном языке.

Построение математических моделей возможно следующими способами:

· аналитическим путем, то есть выводом из физических законов, математических аксиом или теорем;

· экспериментальным путем, то есть посредством обработки результатов эксперимента и подбора аппроксимирующих (приближенно совпадающих) зависимостей.

Промежуточные виды моделей:

1) трёхмерная компьютерная модель;

2) графические модели. Занимают промежуточное место между эвристическими и математическими моделями. Представляют собой различные изображения:

· графы;

· схемы;

· эскизы. Этому упрощенному изображению некоторого устройства в значительной степени присущи эвристические черты;

· чертежи. Здесь уже конкретизированы внутренние и внешние связи моделируемого (проектируемого) устройства, его размеры;

· графики;

· полигональная модель в компьютерной графике как образ объекта, «сшитый» из множества многоугольников.

3) аналоговые модели. Позволяют исследовать одни физические явления или математические выражения посредством изучения других физических явлений, имеющих аналогичные математические модели;

4) и др.

Выбор типа модели зависит от объема и характера исходной информации о рассматриваемом устройстве и возможностей инженера, исследователя. По возрастанию степени соответствия реальности модели можно расположить в следующий ряд: эвристические (образные) — математические — натурные (экспериментальные).

 

Учебные компьютерные модели

Непрерывное и быстрое расширение областей исследования, в которых уда­ется эффективно использовать математические методы, составляет одну из харак­терных черт развития современной науки. Раздвигая традиционные рамки «точ­ных наук», этот процесс вовлекает сегодня в свою сферу биологию и социологию, языкознание и психологию, юриспруденцию и историю. Применение математиче­ских методов открывает во всех этих областях знаний пути для более глубокого проникновения в сущность и закономерности изучаемых явлений, более точного предсказания их развития в различных условиях, а значит, и более эффективного управления ими, практического их использования

Модель Колмогорова, связанная с педагогикой

Несмотря на потребность в применении математических методов в педаго­гике, специалисты в области математики отмечают, что применение математиче­ских методов в социальных и гуманитарных науках связано с большими трудно­стями, так как выделение однородного качества и его математическое изучение затруднены тем, что при этом приходится учитывать и такие субъективные факто­ры, как воля, цели, ценностные ориентировки и мотивации людей. Основная труд­ность в этом случае состоит в построении качественной теории процессов. Если не учитывать этого, возникает опасность бесплодного увлечения формулами и мате­матическим аппаратом, за которыми исследователи перестают видеть реальное содержание изучаемых процессов. Фактически речь идет об опасности узкого подхода к сложнейшим, много­факторным явлениям социального, а следовательно, и педагогического порядка. На необходимость применять методы точных наук с учетом специфики объектов такого применения указывают многие крупные учёные.

Таким образом, можно утверждать, что применение математических мето­дов в педагогике ограничено спецификой гуманитарной сферы. Тем не менее Л. Н. Колмогоров не отрицает возможности применения математических методов в науках, изначально достаточно далеких от математики, в том числе и гумани­тарных.

Одним из важных математических методов является математическое моделирование. Математические модели представляют собой многофункциональное дидактическое средство, способствующее решению разнообразных педагогиче­ских задач. Возможности этого средства остаются до сих пор недостаточно рас­крытыми. Несмотря на то, что такие модели являются формальным инструмента­рием познания, его использование способствует достижению не только образова­тельных, но и развивающих дидактических целей. Эго объясняется тем, что моде­ли, неразрывно связанные с конкретным содержанием учебного предмета, помо­гают его представить ярко, выпукло, соединив строгость научных рассуждений с глубоким научным анализом структур изучаемых процессов и явлений любой ка­чественной природы. Рассмотрим пример применения математических моделей к процессу обучения в группе.

Математическое образование в учебных заведениях связано, прежде всего, с обучением в группе. Необходимой предпосылкой эффективности группового обу­чения является адекватный подбор последовательности (траектории) изучения элементов знания из учебного пособия в соответствии с поставленными целями.

Обучение в группе допускает различные стратегии. Одна из них, например, предполагает изучение всех элементов знания за исключением знаний усвоенных каждым учеником группы. При такой стратегии практически каждому ученику преходится затрачивать время на повторное изучение уже известных ему элемен­тов знания. Другая стратегия группового обучения предполагает изучение нового материала, ориентируясь на «средний» уровень знаний учащихся группы. Вторая стратегия обучения в большей степени учитывает начальную подготовку учащих­ся, во требует разработки ни диви дуальных траекторий выравнивания знаний каж­дого из учеников.

Пример Пусть GUI, OU2,..., GUk - графы, представляющие модели знаний учеников Ul, U2,..., Uk; ОС - модель цели обучения; NZ - набор задач. Опишем алгоритм построения ориентированной на первую стратегию обучения модели знаний труппы Ug учащихся:

1) окрасить вершины и дуги графа Q = GC в черный цвет;

2) все вершины и ребра графа G, входящие в модель знаний каждого учени­ка Ug, окрасить в зеленый цвет.

Полученный таким образом цветной граф называется моделью знаний группы Ug, учащихся, ассоциированной с целью обучения GC.

Второй алгоритм построения модели знаний группы ориентирован на вто­рую стратегию обучения. При такой стратегии материал, усвоенный большей ча­стью группы, изучается только учащимися плохо знакомыми с данным материа­лом:

1) окрасить вершины и дуги графа G = GC в черный цвет;

2) все вершины и ребра графа G, входящие в половину и более моделей зна­ний учеников GUi (i = 1,.., к), окрасить в синий цвет;

3) все вершины и ребра графа G, входящие в каждую из моделей знаний учеников GUi, где i = I,к, окрасить в зеленый цвет.

Получим цветной граф GUg, который называется ассоциированной с целью обучения GC моделью знаний группы Ug учащихся и обозначается M3r(Ug).

Ликвидация пробелов в знаниях учащихся производится по индивидуальной траектории выравнивания для каждого из учащихся.

Абстрактные модели и их классификация.

В моделировании есть два различных подхода. Модель может быть похожей копией объекта, выполненной из другого материала, в другом масштабе, с отсутствием ряда деталей. Например, это игрушечный кораблик, домик из кубиков, деревянная модель самолета в натуральную величину, используемая в авиаконструировании и др. Модели такого рода называют натурными.

Модель может, однако, отображать реальность более абстрактно – словесным описанием в свободной форме, описанием, формализованным по каким-то правилам, математическими соотношениями и т.п. Будем называть такие модели абстрактными.

Классификация абстрактных моделей:

1. Вербальные (текстовые) модели. Эти модели используют последовательности предложений на формализованных диалектах естественного языка для описания той или иной области действительности (примерами такого рода моделей являются милицейский протокол, правила дорожного движения).

2. Математические модели – очень широкий класс знаковых моделей (основанных на формальных языках над конечными алфавитами), использующих те или иные математические методы. Например, математическая модель звезды будет представлять собой сложную систему уравнений, описывающих физические процессы, происходящие в недрах звезды. Другой математической моделью являются, например, математические соотношения, позволяющие рассчитать оптимальный (наилучший с экономической точки зрения) план работы какого-либо предприятия.

3. Информационные модели – класс знаковых моделей, описывающих информационные процессы (получение, передачу, обработку, хранение и использование информации) в системах самой разнообразной природы. Примерами таких моделей могут служить OSI – семиуровневая модель взаимодействия открытых систем в компьютерных сетях, или машина Тьюринга – универсальная алгоритмическая модель.

Подчеркнем, что граница между вербальными, математическими и информационными моделями может быть проведена весьма условно. Так, информационные модели иногда считают подклассом математических моделей. Однако, в рамках информатики как самостоятельной науки, отделенной от математики, физики, лингвистики и других наук, выделение информационных моделей в отдельный класс является целесообразным.

Отметим, что существуют и иные подходы к классификации абстрактных моделей; общепринятая точка зрения здесь еще не установилась.

В прикладных науках различают следующ