Косоугольные параллельные проекции.

Рассмотрим случай косоугольного проецирования, при котором направление проецирования совпадает с осью Z, а проекционная плоскость проходит через начало координат (0, 0) и имеет вектор нормали n. Поворотом системы координат можно свести эту задачу к эквивалентной, в которой проекционная плоскость совпадает с плоскостью XOY, а направление проецирования совпадает с осью Z

Косоугольное ПП. ^*.

y^* y

z

z^*

 

n

x

направление

проецирования x^*

Рис. 4.7. Косоугольная проекция

 

Точка наблюдателя имеет координаты (x_н, y_н, z_н) и вектор в эту точку может быть получен преобразованием единичного вектора оси Z исходной системы координат в новую систему координат, т.к. направление проецирования теперь совпадает с осью OZ^*.

Проведем вычисление координат проекции (x^*, y^*) произвольной точки пространства (x, y, z). Рассмотрим последовательно проекции точки в плоскостях XOZ и YOZ. На рис. 4.8. проектируемая точка - (x, y, z), а вектор проектирования - (x_н, y_н, z_н).

Обозначим расстояние между проекциями x^* и y^* точки на плоскость XOY и соответствующими координатами x и y через a и b, тогда можно записать, что x^* = x – a; y^* = y – b. Из подобия треугольников следует С учетом этого получим

z z_н Z

 

 

x_н (x_н, y_н, z_н)

x^*

 

x (x, y, z)

X

Y

y (x, y, z)

 

y_н (x_н, y_н, z_н)

y^*

 

 

Z

z z_н

 

Эти преобразования можно получить с помощью следующей матрицы

С помощью этой матрицы можно получить координаты проекции точки при параллельном косоугольном проектировании следующей операцией

.

В более общем случае направление проектирования определяется точкой наблюдателя (x_н, y_н, z_н) и проекционной плоскостью, задаваемой вектором нормали n. Решение задачи построения проекции точки может быть сведено к предыдущей поворотом системы координат таким образом, чтобы проекционная плоскость совпала с плоскостью XOY. В результате этого преобразования вектор направления проецирования изменит свое положение. Его координаты будут иметь значения (x^*_н, y^*_н, z^*_н), которые можно вычислить следующим образом

Окончательные вычисления выполняются перемножением полученной вектор-строки на матрицу косоугольного проектирования М_кос(x_н, y_н, z_н), т.е.

М_кос(x^*_н, y^*_н, z^*_н) = .

Вычисление проекций точки при центральном проецировании

Трёхмерное отсечение. Условия полной видимости и невидимости отрезков

Трехмерное отсечение.

Алгоритмы трехмерного отсечения нетривиально расположенных отрезков могут быть получены естественным обобщением двумерных алгоритмов. Например, алгоритм Сазерленда-Коэна отсечения отрезка ортогональным окном можно реализовать последовательно на двух проекциях сцены на соответствующие плоскости. При этом точка пересечения отрезка с плоскостью заменяется точкой пересечения отрезка с гранью ортогонального окна. Аналогичное применение алгоритма Кируса-Бека отсечения отрезка выпуклым многоугольником в трехмерном случае приводит к решению плоской задачи на проекциях. При этом рассматривается задача отсечения отрезка не многоугольником, а ортогональным окном для случая отсекающего объема в виде параллелепипеда. Однако можно применять и любые выпуклые объемы. Можно найти несложные обобщения для трехмерного случая и для других операций, рассматриваемых при решении плоской задачи. Например, вычисление нормали к граням объема можно получить вычислением векторного произведения двух векторов V1 и V2, лежащих в плоскости. Такими векторами могут быть вектора двух ребер, рассматриваемой грани объема. Если угол между векторами меньше 1800, то вектор произведения будет совпадать с направление оси Z, в противном случае – будет направлен в противоположном направлении.