Расчет плоской статически определимой фермы

Определить усилия в стержнях плоской статически определимой фермы в указанной панели (рис. 9) с размерами и нагрузками, приведенными в таблице 3, которые отвечают личному шифру зачетной книжки студента.

 

Рисунок 9

 

Продолжение рисунка 9

 

Таблица 3.Размеры и нагрузки для плоской статически определимой фермы.

Номер строки	Исходные данные
Номер панели (считая слева)	d, (м)	h, (м)	F1, (кН)	F2, (кН)	F3, (кН)
		3.5	3.5
		4.5	4.5

 

Тема 3. Расчет трехшарнирной системы

Общие указания

Расчет трехшарнирной системы будем рассматривать на примере расчета трехшарнирной рамы (рис.10).

Трехшарнирная рама состоит из двух дисков: АС и ВС, которые соединены посредством одного шарнира С друг с другом и двумя шарнирами: А и В с основанием. Основание может рассматриваться как третий диск. Следовательно трехшарнирная рама представляет собой соединение трех дисков посредством трех шарниров, которые не расположены на одной прямой.

Такое соединение, как известно, является геометрически неизменяемым.

Реакции опор А и В трехшарнирной рамы характеризуются каждая двумя параметрами: величиной и направлением (горизонтальной – Н_А и Н_В; вертикальной – R_А и R_В). Исходя из этого, опорные реакции трехшарнирной рамы характеризуются четырьмя параметрами (рис. 10). Они могут быть определены из трех уравнений равновесия всех сил, которые действуют на систему (включая и опорные реакции). А также четвертого уравнения, которое выражает равенство нулю момента всех сил, которые действуют на левую или правую часть системы, относительно шарнира С. Из этого следует, что трехшарнирная рама является статически определимой.

Во время действия на трехшарнирную систему вертикальной нагрузки горизонтальные составляющие Н_А и Н_В не равняются нулю.

Для определения реакций составляют следующие уравнения равновесия:

 

∑М_В = 0 > R_А,

∑М_А = 0 > R_В,

∑М_С^{левых сил} = 0 > Н_А,

∑М_С^{правых сил} = 0 > Н_В.

Внутренними усилиями, которые возникают в поперечных сечениях рамы, являются изгибающие моменты М, поперечные силы Q и продольные силы N.

 

 

При определении внутренних усилий М и Q и построения эпюр этих усилий используют правило знаков как и для балок, а продольная сила N считается положительной при растяжении, а отрицательной при сжатии.

Эпюры для трехшарнирных рам строятся на схемах рамы отдельно для каждого внутреннего усилия. Проверка правильности построенных эпюр М, Q, N выполняется, исходя из условий равновесия в жестких узлах рамы.

Пример 4

Для заданной схемы трехшарнирной рамы с нагрузками F и g (рис. 11):

1 Определить реакции опорных связей с последующей проверкой.

2 Составить уравнение внутренних усилий и построить эпюры М, Q, N.

3 Выполнить проверку решения.

 

1 Определяем опорные реакции:

А) вертикальные R_А и R_В

∑М_А=0; + F∙1,8+ g +R_В ∙6 =0,

R_В = -34кН.

Знак “минус” указывает, что направление реакции R_В нужно изменить на противоположный, то есть вниз

∑М_В=0 -R_А∙6+ F∙ 7,8+ g = 0,

R_А= 64кН.

Проверка: ∑у = 0; +64-30-34 = = 0.

Б) Определяем горизонтальные реакции Н_А и Н_В.

 

 

∑М^слева_С = 0; + F∙7,8 - RА ∙6 + +Н_А∙5 =0, Н_А = 30кН.

∑М^справа_С = 0; Н_В ∙5 - g∙5∙2,5 = 0, Н_В = 30кН.

Проверка: ∑х = 0; +30+30 -12∙5=0.

 

2 Строим эпюры М, Q, N, используя метод сечений.

0 ≤х₁≤5м

Q = - Н_А = -30кН,

М = - НА ∙ х1	х1 = 0, М = 0,
х1 = 5м, М = -150 кН∙м,

N = -R_А = -64 кН.

 

 

0 ≤х₂≤1,8м

Q = - F = -30кН,

М = - F ∙ х2	х2 = 0, М = 0,
х2 = 1,8м, М = -54 кН∙м,

N = 0.

 

1,8м ≤х₃≤7,8м

Q = R_А - F = 34кН,

М = - F ∙ х3 +RА(х3 -18) - НА∙5	х3 = 1,8м, М = -54кНм,
х3 = 7,8м, М = 0,

N = - Н_А = -30кН.

 

0 ≤х₄≤5м

Q = - НВ + g ∙х4	х4 = 0, Q = -30 кН,
х2 = 5м, Q = +30 кН,
М = - НВ ∙х4 + g∙	х4 = 0, М = 0,
х4 = 2,5м, М = -37,5кН∙м,
х4 = 5м, М = 0,

N = R_В = 34кН.

 

По полученным значениями М, Q, N строим эпюры (рис.12).

 

Епюра М Епюра Q Епюра N

Рисунок 12

3. Выполняем статическую проверку эпюр. Для этого вырезаем узлы 1 и 2.

Эпюра М ∑М₁ = 0; +54+150-204 = 0,

 

 

Эпюра Q и N

∑ у = 0; -30-34+64=0,

∑ х = 0; +30-30=0, ∑ у = 0; +34-34=0.

 

Расчетно-графическое задание №4

Расчет трехшарнирной рамы

Для заданной рамы (рис. 13) с нагрузками и размерами, указанными в таблице 4 и выбранными согласно с индивидуальным шифром:

1 Определить реакции опорных связей со следующей их проверкой.

2 Составить уравнение внутренних усилий и построить эпюры М, Q, N.

3 Провести проверку решения.

 

Таблица 4. Исходные данные для рамы.

Номер строки	Исходные данные
ℓ(м)	h(м)	F(кН)	g(кН/м)

 

Рисунок 13