Тема 1.2. Интегральное исчисление

Вопросы:

1. Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства.

2. Методы вычисления неопределённого интеграла (метод подстановки, метод интегрирования по частям)

3. Интегрирование простейших рациональных дробей. Метод неопределённых коэффициентов.

4. Определённый интеграл и его геометрический смысл.

5. Основные свойства определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.

6. Методы вычисления определённого интеграла.

7. Вычисление площадей плоских фигур.

Задания для самопроверки.

Вычислить интеграл:

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

7) .

8) .

9) .

10) .

11) .

12) .

13) .

14) .

15) .

16) .

17) (a > 0).

18) .

19) .

20) .

21) .

22) .

23) .

24) .

25) .

26) .

27) .

28) .

29) .

30) .

31) .

32) .

33) .

34) .

35) .

36) .

37) .

38) .

39) .

40) , произведя замену переменной x = 2 sin t.

41) , произведя замену переменной x = t ².

Вычислить площадь фигуры, ограниченной:

1) линиями .

2) эллипсом .

3) линиями y = - x ² + x + 4 и y = - x +1.

4) параболой y = x ² + 1 и прямой x + y = 3.

5) осью Ox и синусоидой y = sin x на отрезках: а) [0, π ]; б) [0, 2 π ].

6) параболами y ² = 2 px и x ² = 2 py.

Тема 1.3. Дифференциальные уравнения

Вопросы.

1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия.

3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

6. Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения допускающие понижение порядка.

7. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

9. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

Задания для самопроверки.

Решить дифференциальное уравнение:

1)

2) , .

3)

4) , .

5) , .

6) .

7) .

8) ,

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22) ,

23) ,

24) ,

25) ,

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32)

33)

34)

35) ,

36) ,

37) ,

38) ,

39)

40)

41) ,

42)

43)

44) , , ,

45) , , ,

46)

47)

48)

49)

50) , ,

51) , ,

52) , ,

53)

54)

55)

56)

57)

58)

59) , ,

60) , ,

61)

62)

63)

64)

65)

66)

67)

68)

69) , ,

70) , ,

71)

72)

73)

74)

75) , ,

76)

77)

78)

Тема 1.4. Ряды.

Вопросы.

1) Числовые ряды. Общие понятия. Сумма ряда.

2) Геометрическая прогрессия. Гармоничный ряд. Ряд Дирихле.

3) Признаки сходимости знакопостоянных рядов.

4) Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признаки Лейбница

5) Функциональные ряды, основные понятия.

6) Сходимость степенных рядов, интервал и радиус сходимости степенного ряда.

7) Разложение функции в ряд Тейлора и Маклорена.

Задания для самопроверки.

1) Используя определение частичной суммы ряда, показать, что ряд сходится и найти его сумму

2) Показать, что ряд сходится

3) Написать пять первых членов последовательности, если ее n -й член a_n имеет вид: a) ; b) ; c) ; d) .

4) Пользуясь необходимым признаком сходимости, показать, что ряд расходится.

5) Исследовать на сходимость ряд

a)

b)

c)

6) С помощью признака Даламбера решить вопрос о сходимости ряда

a)

b)

c)

d)

e)

f) где k - положительное число.

7) Пользуясь признаком Лейбница, исследовать на сходимость знакочередующийся ряд

8) Исследовать на сходимость ряд

a)

b)

c)

d)

e)

9) Исследовать сходимость ряда в точках x = 1, x = 3, x = -2.

10) Найти область сходимости степенного ряда

11) Исследовать на сходимость степенной ряд

a) .

b) .

c)

12) Разложить функцию в ряд Маклорена. Найти область сходимости полученного ряда.

13) Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

14) Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням

15) Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням . Найти область сходимости полученного ряда.

16) Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням . Найти область сходимости полученного ряда.

Тема 2.1.

Множества и отношения.

Вопросы:

1. Элементы и множества. Задание множеств.

2. Операции над множествами: объединение, пересечение, разность, дополнение.

3. Законы двойственности (де Моргана).

4. Декартово произведение множеств.

5. Отображение множеств.

6. Отношения множеств (рефлексивность, симметричность, транзитивность).

7. Алгебра высказываний.

8. Определение и обозначение логических операций.

9. Основные равносильности.

10. Комбинаторика (сочетания, размещения, перестановки).

Задания для самопроверки.

1) Доказать принцип двойственности: C (A U B) = CA ∩ CB, C (A ∩ B) = CA U CB.

2) Доказать равенства A U (A ∩ B) = A ∩ (A U B) = A.

3) Доказать равенства: a) CCA = A; б) ; в) .

4) Доказать справедливость включения .

5) Определить множества A U B, A ∩ B, A \ B, B \ A, A Δ B, если:
а) A = { x: 0 < x < 2}, B = { x: 1 ≤ x ≤ 3};
б) A = { x: x ² - 3 x < 0}, B = { x: x ² - 4 x + 3 ≥ 0};
в) A = { x: | x - 1| < 2}, B = { x: | x - 1| + | x - 2| < 3}.

 

6) Имеем . Показать, что .

7) Пусть A = { x: 2 ≤ x ≤ 4}, B = { y: 1 ≤ y ≤ 3}. Изобразить на плоскости xOy множество точек A × B.

8) Доказать, что (A ∩ B) × (D ∩ E) = (A × D) ∩ (B × E).

9) Начертите фигуры, изображающие множества , где - вещественная плоскость. Какие фигуры изображают множества ?

10) Определите свойства следующих отношений:
1. «прямая x пересекает прямую y» (на множестве прямых)
2. «число x больше числа y на 2» (на множестве натуральных чисел)
3. «число x делится на число y без остатка» (на множестве натуральных чисел)
4. «x - сестра y» (на множестве людей).

11) Построить таблицу истинности и определить выполнимость формулы:

12) У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

13) Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой - 6 мужчинам, по третьей - 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?

14) В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?

15) В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?

16) Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую — 5 и в третью — 12. Сколькими способами это можно сделать.

17) Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?

18) В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

19) Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет правильных дробей?

20) Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора и Институт?

 

Примечание: в заданиях символом CA – обозначается дополнение множества A.