Формирование производящей матрицы.

Для формирования разрешенных кодовых слов используют специальные алгоритмы, позволяющие сформировать производящую матрицу G, которая является порождающей разрешенные кодовые слова.

Она формируется в виде двух подматриц:

1) Единичная линейная подматрица состоит из информационных символов, в диагонали которой «1», все остальные ряды – «0». Эта подматрица является квадратной с числом столбцов и строк, соответствующим числу информационных разрядов кодового слова.

2) Дополнительная подматрица формируется из числа проверочных символов, количество разрядов которых определяется заданным кодовым расстоянием.

Разряды проверочных символов дополнительной подматрицы определяются следующими условиями:

- число единиц в каждой строке производящей матрицы должно быть не менее заданного кодового расстояния;

- все кодовые комбинации проверочной подматрицы не должны повторяться.

В результате, для формирования производящей подматрицы к каждой строке единичной подматрицы добавляется такая комбинация проверочных символов, при которой в каждой строке производящей матрицы формируется число единиц, не менее заданного кодового расстояния d.

Таким образом получается производящая матрица, все строки которой представляют собой РКК.

Все остальные РКК формируются путем сложения по модулю «2» всевозможных сочетаний строк производящей матрицы.

Нулевая комбинация и комбинация, полностью составленная из единичных разрядов, относится к РКК.

В соответствии с заданием необходимо сформировать алгоритмы реализации линейного избыточного кода и РКК. Реализуемый код должен быть избыточным, равномерным, с заданным кодовым расстоянием. Для формирования РКК в соответствии с изложенным выше, необходимо построить производящую матрицу линейного кода с заданными параметрами и по ней определить все РКК.

Решение:

Число информационных символов k = 4 с одной стороны определяется размерностью единичной подматрицы производящей, а с другой стороны определяет число возможных РКК.

Для нашего варианта d = 4. Минимальное и достаточное количество проверочных символов r = 4 (b₁, b₂, b₃, b₄). Это минимальная разрядность проверочных символов.

Таким образом производящая матрица для формирования РКК имеет вид:

Как видно общая длина избыточного кода равна 8 разрядам (4 + 4), а производящая матрица имеет разрядность и записывается как G_(8,4), что соответствует четырем разрядам информационных символов и общему числу разрядов 8. Т. е. проверочных разрядов в кодовой комбинации будет r = 4.

Общее число кодовых комбинаций, которые можно сформировать этим 8 – разрядным кодом:

M = 2ⁿ = 2^(k+r) = 2⁽⁴⁺⁴⁾ = 2⁸ = 256

Среди них разрешенных будет: M_p = 2^k = 2⁴ = 16.

Всевозможные РКК формируются следующим образом:

1. Все строки производящей матрицы представляют собой разрешенные кодовые комбинации;

2. Все другие разрешенные кодовые комбинации образуются на основании производящей матрицы G путем суммирования по модулю "2" всевозможного сочетания ее строк;

3. Нулевая комбинация и комбинация, полностью составленная из единичных разрядов, относятся к разрешенным кодовым комбинациям.

Ниже приведем пример формирования 16 – ти разрешенных кодовых комбинаций:

С 1 по 4 – это РКК из производящей матрицы:

1. 10000111

2. 01001011

3. 00101101

4. 00011110

Пятая РКК образуется суммированием по модулю «2» первой и второй строк производящей матрицы G_(8,4).

 

5. 11001100 (результат суммирования по модулю «2» первого и второго кодовых слов);

Подобным образом получаем и другие кодовые комбинации. Ниже приведены еще одиннадцать РКК:

6. 10101010 1 3

7. 10011001 1 4

8. 01100110 2 3

9. 01010101 2 4

10. 00110011 3 4

11. 11100011 1 2 3

12. 11001100 1 2 4

13. 10110100 1 3 4

14. 01111000 2 3 4

15. 00000000

16. 11111111