ТОП 10:

Применение теоремы Гаусса к расчету электрических полей



Система зарядов Напряженность поля II потенциал
Точечный заряд Q E = Q/4πε0r2 φ =Q/4πε0r φ= 0
Равномерно заряженная бесконечная плоскость с поверхностной плотностью зарядов σ E = σ/2ε0
Две равномерно разноименно заряженные бесконечные плоскости, расположенные на расстоянии d 0 ≤ r ≤ d: E= 0 r < 0; r > d: E = σ/ε0
Равномерно заряженная сфера радиусом R 0 < r < R: E = 0 r = R: E = Q/4πε0R2 r > R: E = Q/4πε0r2 0 < r ≤ R: φ = Q/4πε0R r > R: φ = Q/4πε0r
Равномерно объемно заряженный шар, радиусом R 0 < r < R: E = Qr/4πε0R3 r = R: E = O/4πε0R2 r > R: E = Q/4πε0r2 0 < r < R: r = R: φ = Q/4πε0R r > R: φ = Q/4πε0r
Равномерно заряженный бесконечный цилиндр радиуса R (нить) с линейной плотностью заряда τ r < R: E = 0 r = R: E = τ/2πε0R; r > R: E = τ/2πε0r r < R: φ = τ/2ε0 r > R:

 

ЗАДАНИЕ 9. ДИЭКТРИКИ, ПРОВОДНИКИ И КОНДЕНСАТОРЫ

 

9.1. Диэлектрики. Электрическое поле в диэлектриках

Электрический момент диполя: где – плечо диполя
Поляризованность: P = σ´, где V – объем диэлектрика; pi -дипольный момент i -й молекулы; n0 – концентрация молекул; σ´ - поверхностная плотность связанных зарядов.
Связь между поляризованностью и напряженностью электростатического поля: P = æε0E, где æ > 0 - диэлектрическая восприимчивость вещества
Связь между диэлектрической проницаемостью и диэлектрической восприимчивостью вещества: ε = 1 + æ
  Связь между векторами электрического смещения и напряженностью электростатического поля: . Связь между векторами электростатического смещения, напряженностью и поляризованностью:
Элементарный поток вектора электрического смещения через площадку: D = = DdScos α = DndS, где –вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью к площадке; Dn –составляющая вектора по направлению нормали n к площадке
  Теорeмa Гаусса для электростатического поля в диэлектрике: Фd = = DdScos α = DndS = , где - алгебраическая сумма Qi, заключенных внутри замкнутой поверхности свободных электрических зарядов. Интегрирование ведется по всей поверxности.

9. 2. Электроемкость проводникoв и конденсаторов

Электроемкость уединенного проводника: где Q–заряд, сообщенный проводнику, φ - потенциал проводника. Электроемкость проводника, помещенного в диэлектрик: C = εC0 Электроемкость шарового проводника: C = 4πε0εR где R–радиус шара; ε – диэлектрическая проницаемость среды
Электроемкость конденсатора: C = , где Q – заряд, сообщенный одной из обкладок; ∆φ - разность потенциалов между обкладками
Емкость плоского конденсатора: где S - площадь каждой пластины конденсатора; d – расстояние между пластинами
Емкость цилиндрического конденсатора: , где l – длина обкладок конденсатора; r1 и r2 - радиусы полых коаксиальных цилиндров
Емкость сферического конденсатора: где r1 и r2 - радиус концентрических сфер
  Емкость системы конденсаторов последовательное соединение: 1/ C = 1/ Ci; параллельное соединение: C = Ci, где Ci - емкость i-го конденсатора, n - число конденсаторов в батарее.

 

8.3 Энергия системы точечных электрических зарядов, заряженных проводников и конденсаторов. Энергия электростатического поля. Объемная плотность энергии. Пондермоторные силы.

Энергия взаимодействия системы точечных зарядов: Wn = Qiφi/2, где φi - потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд Qi всеми зарядами, кроме i–го
Энергия уединенного заряженного проводника: Wn = C2/2φ = Qφ/2 = Q2/2C, Где Q– заряд ; C –электроемкость, φ –потенциал проводника
Энергия заряженного конденсатора: Wn = C2/2∆φ = Q∆φ/2 = Q2/2C, Где ∆φ - разность потенциалов между обкладками
Энергия электростатического поля плоского конденсатора (однородное поле): , Где S– площадь одной из пластин; V = Sd - объем конденсатора
Объемная плотность энергии: w = ; w = εε0E2/2 = D2/2 εε0 = ED/2, где D - электрическое смещение
Энергия электрического поля Wn = w dV
Силы притяжения между двумя разноименно заряженными обкладками плоского конденсатора (пондермоторные силы): F = Q2/(2 εε0S) = σ2S/(2 εε0 )= εε0E2S/2

 

ЗАДАНИЕ 10. Постоянный электрический ток

 

10.1. Электрический ток, сила и плотность тока

Сила тока Единица силы тока - 1 А (ампер) Сила постоянного тока: =const Плотность тока: Единица плотности тока - 1 А/м2 Заряд, переносимый через поперечное сечение проводника за время dt,: dQ = ne<v>Sdt, где n и e – концентрация и заряд носителей тока, <v> - средняя арифметическая скорость упорядоченного движения электронов Сила тока: Плотность тока:

 

10.2. Электродвижущая сила (ЭДС). Напряжение

ЭДС: , где Аст - работа сторонних сил по перемещению положительного заряда Qo Работа сторонних сил по перемещению заряда Q0 на замкнутом участке пути: , где - напряженность поля сторонних сил. ЭДС, действующая в цепи,: ЭДС на участке цепи
Сила, действующая на заряд в проводнике: Работа результирующей силы на участке 1-2 зарядом Q0:   Для замкнутой цепи: Напряжение на участке 1-2:

 

 

10.3. Сопротивление проводников

  Сопротивление однородного линейного проводник длиной l и площадью поперечного сечения S где - удельное электрическое сопротивление Единица измерения сопротивления – Ом Единица измерения удельного сопротивления – Ом.м Электрическая проводимость: Единица измерения электрической проводимости – См (сименс) Удельная электропроводимость: Единица измерения удельной электропроводности – См-1 Зависимость сопротивления от температуры: , где - температурный коэффициент сопротивления, К-1, t – температура, 0С.

 

10.4. Последовательное и параллельное соединение проводников

Соединение Последовательное Параллельное
Постоянная величина I1 = I2 = …=In I=concs U1=U2=…Un U=const
Суммируемая величина Напряжение сила тока
Результирующее сопротивление
 

 

10.5. Закон Ома для однородного участка и замкнутой цепи.

  Закон Ома для однородного участка цепи (не содержащего источника тока): ,
Закон Ома в дифференциальной форме:  
Закон Ома для замкнутой цепи: где R –сопротивление внешней цепи, r – внутреннее сопротивление источника тока. Напряжение на внешней цепи: Ток короткого замыкания:
Закон Ома для батареи последовательно соединенных элементов: где n- число элементов в батарее  
Закон Ома для батареи параллельно соединенных элементов: где n – число элементов в батарее
Закон Ома для смешанного соединения элементов в батарею: где k- число ветвей в батарее, n – число элементов в ветви.
Закон Ома для неоднородного участка цепи (обобщенный закон Ома): где - действующая на участке 1-2 ЭДС, - разность потенциалов, приложенная к концам проводника.

 

10.6. Анализ обобщенного закона Ома

Источника тока нет: Из ОЗО: Закон Ома для однородного участка цепи
Цепь замкнута Из ОЗО: где R- сопротивление всей цепи Закон Ома для замкнутой цепи
Цепь разомкнута: I=0 Из ОЗО : ЭДС в разомкнутой цепи равна разности потенциалов на ее концах

 

 

10.7. Правила Кирхгофа для разветвленных цепей

Первое правило Кирхгофа: Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:
Второе правило Кирхгофа: В любом замкнутом контуре:

 

10.8. Работа и мощность тока

Элементарная работа электрического тока: dA= Udq = IUdt = I2Rdt =  
Работа электрического тока: A= IUdt = I2Rdt =   Единица работы – Дж (джоуль) Внесистемная единица работы 1квт.ч= 3,6 МДж=.3,6.106 Дж
Работа постоянного электрического тока: A= Uq = IUt = I2Rt =
Мощность электрического тока: Единица мощности – Вт (ватт)
Закон Джоуля - Ленца: dQ= Udq = IUdt = I2Rdt = Закон Джоуля –Ленца в интегральной форме: Q= IUdt = I2Rdt =
Закон Джоуля – Ленца для постоянного тока Q= Uq = IUt = I2Rt =
Закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме: , где - удельная тепловая мощность тока
Коэффициент полезного действия источника тока (КПД):

 

ЗАДАНИЕ 11. Магнитное поле

 

11.1. Основные характеристики магнитного поля

Вращающий момент сил на рамку с током в магнитном поле где pm-магнитный момент рамки с током, - магнитная индукция; - угол между нормалью к плоскости контура и вектором
Магнитный момент рамки с током S – площадь поверхности контура (рамки); - единичный вектор нормали к поверхности рамки
Магнитная индукция где Ммах – максимальный вращающий момент Единица измерения индукции магнитного поля: Тл (Тесла)= 1Н/А.м
Магнитная индукция: , где - вектор напряженности магнитного поля, А/м - магнитная проницаемость среды, - магнитная постоянная
Принцип суперпозиции (наложения) магнитных полей: Магнитная индукция результирующего поля равна: где Вi – магнитная индукция, создаваемая каждым током (движущимся зарядом) в отдельности

 

11.2. Закон Био -Савара – Лапласа и его применение

Закон Вио – Савара – Лапласа: Магнитная индукция, создаваемая элементом проводника с током I в некоторой точке равна: , где - радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника в точку поля. Скалярная форма записи закона Био – Савара – Лапласа имеет вид: где - угол между и .
Магнитное поле прямого тока: , где - углы, под которыми из рассматриваемой точки поля видны начало и конец проводника, r – расстояние до проводника Магнитное поле бесконечного прямого тока:
Магнитное поле в центре кругового витка радиусом r:
Магнитное поле на оси кругового витка на расстоянии b от его центра = где – магнитный момент витка с током I
Магнитное поле на оси соленоида конечной длины: , где n=N/L – число витков, приходящихся на единицу длины, N, L – соответственно, число витков и длина соленоида, - углы, под которыми из произвольной точки на оси соленоида видны его концы Максимальная индукция в центре соленоида равна: , где r – радиус витка соленоида.

11.3. Закон. Ампера. Взаимодействие параллельных токов.

Сила Ампера, действующая на элемент проводника с током I , где - угол между и . Сила Ампера, действующая в магнитном поле на проводник конечной длины l с током I: Сила Ампера, действующая в однородном магнитном поле на прямолинейный проводник: , где -угол между током (вектором плотности тока) в проводнике и вектором
Сила взаимодействия двух параллельных токов I1, I2 длиной l находящихся на расстоянии r друг от друга:

 

 

11.4. Магнитное поле движущегося заряда

Магнитное поле точечного заряда Q, свободно движущегося с нерялитивистской скоростью , где - радиус-вектор, проведенный из заряда Q к точке наблюдения, - угол между и .

 

11.5. Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в магнитном поле

 

Сила Лоренца: где Q – электрический заряд, движущийся со скоростью в магнитном поле с индукцией угол между и
Формула Лоренца (сила, действующая на движущийся заряд со стороны магнитного поля с индукцией и электрического поля с напряженностью :
1. В однородном магнитном поле, если угол между и равен 0 или , сила Лоренца Fл=0, то частица движется равномерно и прямолинейно   2. Если угол = /2, тогда , частица движется по окружности радиуса: , период обращения частицы равен: 3. Заряженная частица движется со скоростью под углом к вектору , возникает движение по спирали, ось которой параллельна магнитному полю. Шаг винтовой линии: Радиус спирали равен:

 

ЗАДАНИЕ 12. РАБОТА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ. ЯВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ. ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ.

 

12.1. Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток). Теорема Гаусса для поля

Элементарный магнитный поток сквозь площадку dS:
Магнитный поток сквозь произвольную поверхность S
Магнитный поток в однородном поле: где - угол между направлением вектора нормали к площадки и вектора Единица измерения магнитного потока – 1 Вб (вебер) =1 Тл.м2
Теорема Гаусса для поля : Поток вектора магнитной индукции сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю:

 

12.2 Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле

Элементарная работа по перемещению проводника с током в магнитном поле:
Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле:
Работа по перемещению контура с током в магнитном поле где - потокосцепление, N- число витков контура.

12.3. Закон Фарадея (закон электромагнитной индукции). Правило Ленца.

Закон Фарадея ЭДС электромагнитной индукции в контуре численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность. ограниченную контуром:
Правило Ленца: Индукционный ток в контуре имеет всегда такое направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызвавшему этот индукционный ток
ЭДС индукции в неподвижных проводниках: , где - напряженность электрического поля индуцированного переменным магнитным полем
ЭДС индукции в проводнике длиной l, движущемся в однородном магнитном поле c постоянной скоростью : , где - угол между векторами и
ЭДС индукции, возникающая при вращении рамки в магнитном поле – модель генератора: где N и S– число витков и площадь рамки, В – индукция магнитного поля, - угловая скорость вращения рамки, - максимальное значение ЭДС

 

12.4. Индуктивность контура. Самоиндукция.

Сцепленный с контуром магнитный поток , где коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью. Единица индуктивности – Гн (генри) =1 Ом.с
ЭДС самоиндукции в контуре: Если контур не деформируется и магнитная проницаемость среды не меняется, то L=const и ЭДС самоиндукции
Индуктивность соленоида:

 

12.5 Токи при размыкании и замыкании цепи

Экстраток, возникающий при размыкании цепи: , где - время релаксации, за которое сила тока уменьшается в е раз
Экстраток при замыкании цепи: . где - установившийся ток (при

 

12.6. Взаимная индукция. Трансформатор

  Взаимная индукция - явление возникновения ЭДС в одном из контуров при изменении силы тока в другом Индуцируемая в контурах ЭДС
Взаимная индуктивность двух катушек, намотанных на тороидальный сердечник:
Трансформатор – устройство для понижения или повышения напряжения переменного тока Коэффициент трансформации: k > 1 – трансформатор понижающий k < 1 – трансформатор повышающий Коэффициент полезного действия трансформатора:

 

12.7. Энергия магнитного поля.

Энергия магнитного поля контура с током:
Энергия магнитного поля соленоида , где V=Sl – объем соленоида.
Объемная плотность энергии магнитного поля:

 

12.8 Магнитные свойства вещества. Магнетики

Орбитальный магнитный момент электрона , где I=e , - частота вращения электрона по орбите, S – площадь орбиты, g – гиромагнитное отношение орбитальных моментов, е и m – заряд и масса электрона
Механический момент электрона:
Собственный механический момент электрона (спин):
Проекция на направление вектора может иметь одно из двух значений: где - магнетон Бора
Магнетик – вещество способное под действием магнитного поля приобретать магнитный момент (намагничиваться) диамагнетики: <1 парамагнетики: > 1 ферромагнетики: >> 1

 

12.9 Закон полного тока для магнитного поля в веществе. Циркуляция вектора

Теорема о циркуляции вектора : Циркуляция вектора магнитной индукции : по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости и молекулярных токов, охватываемых этим контуром. умноженной на магнитную постоянную:
Теорема о циркуляции вектора : , где

 

12.10 Условия на границе раздела двух магнетиков

Вблизи границы раздела двух магнетиков:

 

12.11Основы теории Максвелла для электромагнитного поля

Изменяющееся во времени магнитное поле порождает электрическое поле ЕВ циркуляция которого6
Ток смещения: Плотность тока смещения: . где - вектор электрического смещения
Плотность тока смещения в диэлектрике: , где - плотность тока смещения в вакууме; - плотность тока поляризации.
Плотность полного тока:
Обобщенная теорема о циркуляции вектора :

 

12.13 Уравнения Максвелла для электромагнитного поля

Полная система уравнений Максвелла в интегральной форме: ; Величины, входящие в уравнение Максвелла, не являются независимыми и связаны так:
Полная система уравнений Максвелла в дифференциальной форме ;

 

12.13 Следствия из уравнений Максвелла Свойства электромагнитных волн.

Волновое уравнение . где - оператор Лапласа - фазовая скорость - скорость распространения электромагнитных волн в вакууме Векторы колеблются в одинаковых фазах, причем:
Объемная плотность энергии электромагнитных волн?
Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны – вектор Пойнтинга:

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1.В вершинах квадрата находятся одинаковые по величине одноименные заряды (рис 9). Определить величину заряда q0, который надо поместить в центр квадрата, чтобы система зарядов находилась в равновесии. Будет ли это равновесие устойчивым?

Условие:

q1 = q2 = q3 = q4 = q;

qo - ?

 

Решение. Рассмотрим силы, действующие на любой из зарядов в вершинах, например на заряд q2 (рис. 9). Со стороны зарядов q1, q2, q3 на него действуют силы F1, F3, F4 соответственно, причем F1 = F3 = kq2/a2 , где а – сторона квадрата, F4 = kq2/2a2. Сила, действующая на заряд q2 со стороны заряда q0 равна F0 = 2kqq0/a2. Условие равновесия заряда имеют вид

, (1)

В проекции на ось х уравнение (1) запишется

F1 + F4cos α – F0 cos α = 0,

или .

Вычисление: q0 = q(1 + )/ = 0,9 q.

Ответ: q0 = 0,9 q.

 

Согласно теореме Ирншоу, система неподвижных точечных зарядов, находящихся на конечном расстоянии друг от друга, не может находиться в состоянии устойчивого равновесия лишь под действием кулоновских сил.

 

Пример 2.Электрон влетает в плоский воздушный конденсатор параллельно пластинам со скоростью v0 = 1,0·10 6 м/с. Длина конденсатора L=1,0 см, напряженность электрического поля в нем Е =5,0·103 В/м. Найти скорость v электрона при вылете из конденсатора и его смещение у.

Условие:

v0 = 1,0·106 м/с;

L = 1,0 см = 0,01 м;

Е = 5,0·103 В/м;

е = 1,6·10-19 Кл;

m = 9,1·10-31кг;

v - ? y - ?

 

Решение. Сила тяжести, действующая на электрон, равна

Ft = mg = 9,1·10-30 Н.

Кулоновская сила равна F = eE = 8·10-16 Н, т. е. кулоновская сила много больше, чем сила тяжести. Поэтому можно считать, что движение электрона происходит только под действием кулоновской силы.

Запишем для электрона второй закон Ньютона

ma = F, где F = eE.

Направление осей координат показано на рис. 10. Движение электрона вдоль оси х – равномерное со скоростью v0, так как проекция силы F на ось х равна нулю, следовательно время, в течении которого электрон пролетает между пластинами конденсатора t = L/v0.

Движение электрона вдоль оси у – равноускоренное под действием силы F, направленное вдоль этой оси.

Ускорение ау=а=еЕ/m.

Начальная скорость и смещение электрона вдоль оси у равны: vy = 0

Скорость электрона в момент вылета v, направленная по касательной к траектории его движения равна:

; v = (vx2 + vy2)1/2,

где vx = v0, vy = at.

Окончательно получаем: = 8,7·106 м/с.

Проверяем размерность: ,

Вычисления:

Угол между вектором скорости и осью х определяется по формуле

= 83,50.

Ответ: v= 8,7·106м/с, α = 83,50.

 

Пример 3.В вакууме имеется скопление зарядов в форме длинного цилиндра радиуса R = 2 см (рис. 11). Объемная плотность зарядов постоянна и равна ρ = 2 мКл/м3. Найти напряженность поля в точках 1 и 2, лежащих на расстояниях r1 = 1,0 см и r2 = 2,0 см от оси цилиндра. Построить график Е(r).

 
 

Условие

R = 2 см = 0,02 м;







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-09; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.80.55.37 (0.046 с.)