Чтобы найти дробь (или часть) от числа,

Чтобы найти дробь (или часть) от числа,

надо дробь (часть) умножить на это число.

***

В задачах часто говорится об изменении какой-либо величины на определенный процент. Что это значит?

Повышение цены на 10% означает, что к прежней цене х прибавили 0,1 х

 

Наоборот, скидка на 25% означает, что прежняя цена уменьшилась на 25%. Если первоначальная цена равна х, то новая цена составит

Теперь мы можем сказать, что:

если величину увеличить на процентов, получим

(действительно, раскроем скобку , видим, что увеличивается на процентов)

если величину уменьшить на процентов, получим

(действительно, раскроем скобку , видим, что уменьшается на процентов).

Эти формулы вы всегда сможете вывести сами, главное уловивить суть вышесказанного.

ЗАПОМНИМ важное правило: за100% принимается та величина, с которой мы сравниваем.

***

Напомним, что пропорция — это равенство вида

или a:b=c:d что тоже самое (это разная форма записи).

Основное правило пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних, то есть

Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее можно найти именно по этому правилу.

Например, из пропорции находим х:

Для простоты вычислений, чтобы обойтись без лиших записей и вы не задумывались в дальнейшем, как правильно посчитать и не ошибиться, запомните простое правило – где бы в пропорции не стоял , его мы находим следующим образом:

записываем , ставим знак равенства, далее дробь, в числитель записываем произведение известных членов стоящих по диагонали, в знаменатель то значение, которое стоит по диагонали от (возможно, я выразился не корректно, но суть такова). То есть:

 

Уважаемые выпускники во многих задач будет представлен не один способ решения, на ЕГЭ выбирайте для себя тот путь, который вам понятен.

 

Сырок стоит 7 рублей 20 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 60 рублей?

Способ 1:

Понятно, 60р нужно разделить на 7р 20коп и мы получим количество сырков.

Получили восемь целых одну треть сырка. Треть сырка не продаётся, поэтому ответ округляем в меньшую сторону. Получается, что наибольшее количество сырков, которое можно купить 8. Можно было произвести деление столбиком, результат тот же:

Способ 2:

Подобные задачи можно решать путём перебора, например, начнём с шести сырков:

Из данного решения видно, 60 рублей хватит только на 8 сырков.

Ответ: 8

 

Теплоход рассчитан на 750 пассажиров и 25 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 70 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?

Найдём общее число человек, которые могут находиться на теплоходе:

750+25=775 человек.

Можно построить рассуждение таким образом: в данной задаче сразу видно, что в 10-ти шлюпках уместится 700 человек, в 11-ти 700+70=770 человек, для пяти человек тоже необходима шлюпка. Таким образом, нужно минимум 12 шлюпок, чтобы в случае необходимости разместить 775 человек.

Или можно 775 разделить на 70:

Получили одиннадцать целых одну четырнадцатую шлюпки. Значит для размещения 775 человек необходимо 12 шлюпок (округляем в большую сторону).

Или делим столбиком:

775=11∙70+5

Получили, что 11 шлюпок будут загружены полностью, и ещё останется 5 человек, для которых нужна будет 12-ая шлюпка.

Ответ: 12

 

26618. Флакон шампуня стоит 160 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 25%?

Сначала определим, сколько стоит флакон шампуня во время распродажи. За сто процентов принимаем 160 рублей, за х размер скидки, составим пропорцию:

160 рублей - 100%

х рублей - 25%

 

Скидка составила 40 рублей, значит, стоимость флакона во время распродажи составляла 160-40=120 рублей.

Или можно посчитать по формуле, которую мы рассмотрели выше (в самом начале):

Найдём максимальное количество флаконов, которое можно купить на 1000 рублей.

1000=8∙120+40

Получили, что можно купить 8 флаконов и ещё останется сдача 40 рублей.

Ответ: 8

 

26619. Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 900 рублей после повышения цены на 10%?

Определим цену ручки после повышения на 10%. Для этого сначала найдём, на какую сумму выросла цена, обозначим её за х. Составляем пропорцию, за сто процентов примем 40 рублей (величину с которой сравниваем), за х примем 10%.

40 рублей - 100%

х рублей - 10%

 

Значит, цена повысилась на 4 рубля, и ручка стала стоить 40+4=44 рубля.

Или по формуле:

 

Теперь определим, какое наибольшее число ручек можно купить на 900 рублей.

900=20∙44+20. То есть на 900р можно купить 20 ручек по 44 р, причём сдача составит 20р.

Ответ: 20

 

26620. Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 750 рублей после понижения цены на 10%?

Определим цену тетради после понижения на 10%. Для этого сначала найдём, на какую сумму снизилась цена, обозначим её за х. Составляем пропорцию, за сто процентов примем 40 рублей (величину с которой сравниваем), за х примем 10%.

40 рублей - 100%

х рублей - 10%

Значит, цена снизилась на 4 рубля, и тетрадь стала стоить 40-4=36 рублей.

Или считаем по формуле:

 

Теперь определим, какое наибольшее число тетрадей можно купить на 750 рублей.

750=20∙36+30. То есть на 750р можно купить 20 тетрадей по 36р, причём сдача составит 30р.

Ответ: 20

 

26621. Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 120 рублей за штуку и продает с наценкой 20%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1000 рублей?

Определим цену горшков после наценки на 20%. Для этого сначала найдём, на какую сумму повышается цена, обозначим её за х. Составляем пропорцию, за сто процентов принимаем 120 рублей (величину с которой сравниваем), за х примем 20%:

120 рублей - 100%

х рублей - 20%

Значит, после наценки стоимость горшка составила 120+24=144 рубля.

Или считаем по формуле:

Теперь определим, какое наибольшее число горшков можно купить на 1000 рублей.

1000р = 6шт ∙ 144р+136р. То есть на 1000р можно купить 6 горшков по 144р, причём сдача составит 136р.

Ответ: 6

 

Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 3 раза в день в течение 21 дня. В одной упаковке 10 таблеток лекарства по 0,5 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?

Определим, сколько лекарства требуется больному: 0,5∙3∙21=31,5 грамм.

Определим, сколько грамм лекарства в одной упаковке: 10∙0,5=5 грамм.

Найдём наименьшее количество упаковок, которое необходимо приобрести. Так как числа небольшие и расчёты лежат в пределах таблицы умножения, считаем: 5 грамм по 6 упаковок будет 30 грамм лекарства. Значит, шести упаковок не хватит. Необходима седьмая.

Ответ: 7

 

Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 12 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 10 г. Какое наименьшее число пачек нужно купить хозяйке для приготовления 6 литров маринада?

Определим, сколько грамм кислоты требуется для приготовления 6 литров маринада: 12∙6=72 грамма. Без деления столбиком видно, что необходимо купить 8 пакетиков. Семи пакетиков не хватит, так как в семи пакетиках будет 10∙7=70 грамм кислоты, а необходимо 72 грамма.

Ответ: 8

 

Шоколадка стоит 35 рублей. В воскресенье в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за две шоколадки, покупатель получает три (одну в подарок). Сколько шоколадок можно получить на 200 рублей в воскресенье?

Определим, сколько шоколадок можно приобрести на 200 рублей.

Округляем в меньшую сторону. То есть на 200 рублей можно купить 5 шоколадок (200=5∙35+25, 25 рублей это сдача). В воскресенье за каждые две купленные дарят третью. Предлагаю вам в подобных задачах для наглядности расписать сумму подобным образом: 5=2+2+1. Видно, что подарят две шоколадки (по одной на каждую пару). Значит всего можно приобрести 5+2=7 штук.

Ответ: 7

 

26627. Оптовая цена учебника 170 рублей. Розничная цена на 20% выше оптовой. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по розничной цене на 7000 рублей?

Определим розничную цену, она выше на 20% оптовой. Для этого сначала найдём, на какую сумму повышается цена, обозначим её за х. Составляем пропорцию, за сто процентов принимаем 170 рублей (величину с которой сравниваем), х это 20%.

170 рублей - 100%

х рублей - 20%

Значит, розничная цена составила 170+34=204 рубля.

Или считаем по формуле:

 

Теперь определим, какое наибольшее число учебников можно купить на 7000 рублей.

7000р = 34шт ∙ 204р+64р. То есть на 7000р можно купить 34 учебника по 204р, причём сдача составит 64р.

Ответ: 34

 

26628. Железнодорожный билет для взрослого стоит 720 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 15 школьников и 2 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?

50% от 720 это ровно половина (пропорцию в данном случае можно не составлять). То есть цена билета для школьника равна: 720 делим на 2, получаем 360 рублей.

Считаем стоимость билетов на всю группу:

360∙15+720∙2=5400+1440=6840 рублей.

Ответ: 6840

26629. Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

Данная задача отличается от тех, что мы рассматривали выше.

Обратите внимание, что 3480 рублей это цена, после повышенния на 16%. То есть в пропорции мы запишем 3480 это 116%, а стоимость до повышения примем за 100% (помните правило – за 100% процентов принимаем величину, с которой сравниваем).

3480 рубля - 116%

х рублей - 100%

До повышения цены чайник стоил 3000 рублей.

Или решаем уравнение:

Ответ получим тот же.

Для достоверности сделаем проверку.

То есть решим обратную задачу: чайник стоит 3000 рублей, цена повысилась на 16%. Какова его стоимость после повышения?

3000 рублей - 100%

х рублей - 116%

Верно.

Ответ: 3000

 

На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 30 рублей за штуку. У Вани есть 500 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Маше на день рождения?

Определим максимальное количество тюльпанов, которое может купить Ваня: 500=16∙30+20 (то есть Ваня может купить максимум 16 тюльпанов, сдача составит 20 рублей). Но полагается дарить нечётное число цветов, поэтому наибольшее число тюльпанов, которое он может подарить – 15 штук.

Ответ: 15

 

Павел Иванович купил американский автомобиль, спидометр которого показывает скорость в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 65 миль в час? Ответ округлите до целого числа.

Всё предельно просто: 65 умножим на 1609 и получим количество метров, которое Павел Иванович проедет за час. Далее не забывайте перевести метры в километры, округлить и записать ответ.

1609∙65=104585 метров в час – это 104,585 км/ч, округляем и получаем 105.

Ответ: 105

 

26641. В университетскую библиотеку привезли новые учебники по геометрии для 1-3 курсов, по 360 штук для каждого курса. Все книги одинаковы по размеру. В книжном шкафу 9 полок, на каждой полке помещается 25 учебников. Сколько шкафов можно полностью заполнить новыми учебниками?

Сначала определяем, сколько учебников помещается в одном шкафу: 9∙25=225 штук.

Определяем, сколько всего завезли учебников: три курса по 360 штук на каждый, это 3∙360=1080 учебников.

Делим 1080 на 225 и получим:

Значит, учебниками заполнится 4 целых шкафа и ещё восемь десятых шкафа. Полностью заполнится 4 шкафа.

Ответ: 4

Киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 80 копеек. Счетчик электроэнергии 1 ноября показывал 12625 киловатт-часов, а 1 декабря показывал 12802 киловатт-часа. Сколько рублей нужно заплатить за электроэнергию за ноябрь?

Определим, сколько электроэнергии было израсходовано 12802-12625=177 коловатт-часов. Далее определяем стоимость этой энергии 177∙1,8=318,6 рублей.

Ответ: 318,6

 

В обменном пункте 1 гривна стоит 3 рубля 70 копеек. Отдыхающие обменяли рубли на гривны и купили 3 кг помидоров по цене 4 гривны за 1 кг. Во сколько рублей обошлась им эта покупка? Ответ округлите до целого числа.

Отдыхающие затратили на покупку 3 кг помидор 4∙3=12 гривен. В рублях это составит 12∙3,7=44, 4. Округляем и получаем 44.

Ответ: 44

 

Маша отправила SMS-сообщения с новогодними поздравлениями своим 16 друзьям. Стоимость одного SMS-сообщения 1 рубль 30 копеек. Перед отправкой сообщения на счету у Маши было 30 рублей. Сколько рублей останется у Маши после отправки всех сообщений?

Определим, сколько Маша затратила на поздравления: 16∙1,3=20,8 рублей. Значит, у неё осталось на счету 30-20,8=9,2 рубля.

Ответ: 9,2

 

Магазин делает пенсионерам скидку на определенное количество процентов от цены покупки. Пакет кефира стоит в магазине 40 рублей. Пенсионер заплатил за пакет кефира 38 рублей. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров?

Найдём, сколько процентов от 40 рублей составляет 38 рублей. Составляем пропорцию, 40 рублей (величина, с которой сравниваем) принимаем за 100%, 38 рублей за х %.

40 рублей - 100%

38 рублей - х %

Значит, скидка составляет 5%.

Ответ: 5

 

77355. Студент получил свой первый гонорар в размере 700 рублей за выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет тюльпанов для своей учительницы английского языка. Какое наибольшее количество тюльпанов сможет купить студент, если удержанный у него налог на доходы составляет 13% гонорара, тюльпаны стоят 60 рублей за штуку и букет должен состоять из нечетного числа цветов?

Определим, сколько рублей останется у студента, после вычета налога:

Тюльпаны стоят 60 рублей за штуку. На 609 рублей можно купить 10 цветков, но дарят нечётное число цветов, поэтому он может приобрести для учительницы максимум 9 тюльпанов.

Обратите взимание, что вопрос в задаче некорректен «Какое наибольшее количество тюльпанов сможет купить студент…» если отвечать на такой вопрос – то 10 штук, пусть вас это не смущает. В задаче имеется ввиду: какое наибольшее нечётное количество тюльпанов может купить студент для составления букета.

Ответ: 9

 

Чтобы найти дробь (или часть) от числа,

надо дробь (часть) умножить на это число.

***

В задачах часто говорится об изменении какой-либо величины на определенный процент. Что это значит?

Повышение цены на 10% означает, что к прежней цене х прибавили 0,1 х

 

Наоборот, скидка на 25% означает, что прежняя цена уменьшилась на 25%. Если первоначальная цена равна х, то новая цена составит

Теперь мы можем сказать, что:

если величину увеличить на процентов, получим

(действительно, раскроем скобку , видим, что увеличивается на процентов)

если величину уменьшить на процентов, получим

(действительно, раскроем скобку , видим, что уменьшается на процентов).

Эти формулы вы всегда сможете вывести сами, главное уловивить суть вышесказанного.

ЗАПОМНИМ важное правило: за100% принимается та величина, с которой мы сравниваем.

***

Напомним, что пропорция — это равенство вида

или a:b=c:d что тоже самое (это разная форма записи).

Основное правило пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних, то есть

Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее можно найти именно по этому правилу.

Например, из пропорции находим х:

Для простоты вычислений, чтобы обойтись без лиших записей и вы не задумывались в дальнейшем, как правильно посчитать и не ошибиться, запомните простое правило – где бы в пропорции не стоял , его мы находим следующим образом:

записываем , ставим знак равенства, далее дробь, в числитель записываем произведение известных членов стоящих по диагонали, в знаменатель то значение, которое стоит по диагонали от (возможно, я выразился не корректно, но суть такова). То есть:

 

Уважаемые выпускники во многих задач будет представлен не один способ решения, на ЕГЭ выбирайте для себя тот путь, который вам понятен.