Специальности 1-31 04 01 «Физика»

ЗАДАЧИ

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ

И ИХ РЕШЕНИЕ

Пособие для студентов физического факультета

Специальности 1-31 04 01 «Физика»

МИНСК

А в т о р ы – с о с т а в и т е л и:

В. Н. Русак, Н. К. Филиппова

 

 

Рекомендовано

Ученым советом физического факультета

28 июня 2005 г.протокол №11

 

Р е ц е н з е н т ы:

доктор физико-математических наук, профессор В.Т. Ерофеенко;

доктор физико-математических наук, профессор А. А. Пекарский.

 

 

Задачи по математической физике и их решения: пособие для студентов физ. спец. 1=310401 «Физика»/ авт.=сост. В.Н. Русак, Н.К. Филиппова. -Мн.: БГУ, 2006 г.-93 с.

 

Для студентов 1-2 курсов физического факультета и факультета радиофизики и электроники БГУ.

 

Предисловие

Преподавание математических дисциплин на физических факультетах Белорусского государственного университета складывалось на основе опубликованного В.И. Смирновым пятитомного «Курса высшей матема- тики» и серии учебных пособий , отражающих опыт преподава- ния в московских вузах. Что касается непосредственно математической физики, то на русском языке также имеется ряд учебных пособий и сбор- ников задач .

В 1998 г. В.Н. Русак издал краткий курс математической физики рассчитанный на 90 лекционных часов. При написании настоящего посо- бия авторы, в доходчивой форме изложили круг основных идей и мето-

дов применяемых при решении задач математической физики в рамках действующей программы. В нем по каждой теме приведены необходимые теоретические сведения, подробно разобраны решения типовых упражне- ний и предложены примеры для самостоятельной работы. Основной ак -цент делается на метод разделения переменных и применение цилиндри -ческих функций.

Пособие адресовано студентам физикоматематических специаль- ностей которые изучают дифференциальные уравнения в частных произ- водных и их приложения.

 

 

РЯДЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Если f (x) 2 l – периодическая кусочно-гладкая функция на R, то она раскладывается в ряд Фурье

(1)

(2)

Бывает так, что функция f (x) задана и является кусочно-гладкой на отрезке [- l, l ]и ее также можно разложить в ряд Фурье вида (1-2), и сумма этого ряда будет 2l – периодическим продолжением функции f (x). Добавим к сказанному, что в формулах (2) в силу 2 l –периодичности можно вести интегрирование по любому отрезку длиной 2 l.

Если f (x) четная 2 l – периодическая кусочно-гладкая функция, то коэффициенты b_k =0, и соответственно

(3)

(4)

Если f (x) нечетная 2 l – периодическая кусочно-гладкая функция, то коэффициенты a_k =0, и соответственно

(5)

(6)

Если f (x) кусочно-гладкая функция на отрезке [0, l ], то ее можно разложить в ряд Фурье (3), (4), так и в ряд Фурье (5), (6), осуществляя соответствующее продолжение функции f (x).

Если f (x) непрерывная 2 l – периодическая функция и существует кусочно-непрерывная производная f (x), то ряд Фурье функции f (x) сходится к ней равномерно.

Для всякой кусочно-непрерывной на [- l, l ] функции выполняется ра- венство Ляпунова-Стеклова

(7)

Если f (x) кусочно-непрерывная функция на отрезке [- l, l ], то ее ряд Фурье можно интегрировать почленно.

Предполагаем теперь, что f (x)определена на R, абсолютно интегриру- ема и является кусочно-гладкой на каждом конечном отрезке. Тогда спра- ведлива интегральная формула Фурье

(8)

Разумеется, что в точках непрерывности правая часть соотношения (8) может быть заменена на f (x).

Интегральная формула Фурье равносильна выполнению двух пре- образований: прямого преобразования Фурье

(9)

и обратного преобразования Фурье

(10)

где х точка непрерывности и интеграл в (10) понимается в смысле главно- го значения по Коши.

1. Разложить в ряд Фурье функцию

Р е ш е н и е. Учитывая четность f (x), применяем формулу (4) и получим при k ³1

Если же k =0, то

 

Cледовательно, на интервале выполнено равенство

2. Разложить в ряд Фурье функцию f (x) = arсsin(sin x), xÎ R.

Р е ш е н и е. Поскольку:

то f (x) нечетная функция на R, а период функции равен 2p. В качестве основного отрезка можно брать отрезок [-p,p] и применять формулу (6). Предварительно нужно учесть, что

Если же то sin x =sin (p- x) и тогда

f (x)=arcsin (sin(p- x))=p -x.

Следовательно для коэффициентов Фурье будем иметь по формулам (6)

Следовательно для всех x Î R имеет разложение в ряд

3. Проверьте, что при 0< x <p выполнено равенство

Р е ш е н и е. Продолжим функцию

нечетным образом на (-p,0) и разложим в ряд Фурье (5),(6). Будем иметь

Итак, мы проверили, что и тем самым устано- вили нужное равенство.

4. Разложите в ряд Фурье функцию

Р е ш е н и е. Поскольку f (x) определена на R, нечетная, имеет период 2pи является гладкой, то она разлагается в ряд (5),(6), однако коэффици- енты будем находить не по формулам (6). Воспользуемся известным сте- пенным рядом

Левую часть равенства в числителе и знаменателе домножим на , тогда будем иметь

и если в этом соотношении отделить слева и справа мнимые части, то получим

5. Найдите преобразование Фурье для функции

Р е ш е н и е. Пользуясь формулой (9) и леммой Жордана будем иметь при a>0

Если же a<0, то интеграл считается через вычет в точке ai и получим

Объединяя обе формулы, найдем

Разложите в ряды Фурье в указанных интервалах:

6. f (x)= x в интервале(-l, l).

7. f (x)=sign x в интервале (-l, l).

8. f (x) = cos⁴ x, x Î(-¥,¥).

9. f (x) =|x|, x Î(-l, l).

10. f (x) =l ² -x ² в интервале (-l, l).

11. f (x) =x ² в интервале (-p,p).

13. f (x)= | sin x|, x Î(-¥,¥).

14. f (x)= | cos x|, x Î(-¥,¥).

15. f (x) = sign(cos x), x Î(-¥,¥).

16. f (x) = arcsin(cos x), x Î(-¥,¥).

17. f (x) =x -[ x ], xÎ (-¥,¥).

18. Функцию f (x) =x ² разложить в ряд Фурье

а) по косинусам

б) по синусам

в) в интервале (0,2 l).

 

Используя эти разложения, найти суммы числовых рядов

19. Отправляясь от разложения

,

найти интегрированием разложения в ряд Фурье на интервале функций х ², х ³, х ⁴.

20. Напишите равенство Ляпунова для функции

21. Вычислить с помощью равенства Ляпунова интеграл

Найдите разложения в ряды Фурье с помощью степенных рядов для следующих 2p-периодических функций:

Докажите равенства:

27.

28. Как нужно продолжить функцию f (x) с интервала на интервале (-p,p), чтобы выполнялось равенство

29. Как нужно продолжить функцию f (x) с интервала на интервал

(-p,p), чтобы выполнялась равенство

Найдите преобразования Фурье от следующих функций:

36.

37.

38. Найдите четное и нечетное преобразование Фурье для функции продолжая ее четным или нечетным способом.

 

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Комплекснозначная функция действительной переменной f (t) называ- ется оригиналом по Лапласу, если

1) f (t)=0 при t <0,

2) на любом конечном отрезке [0, t ] f (t) и ее производные суть кусочно-непрерывные функции,

3) f (t) растет не быстрее показательной функции, а именно - показатель роста оригинала.

Преобразованием Лапласа называется функция комплексной переменной

(11)

Для всякого оригинала f (t) преобразование Лапласа F (p) существует и является аналитической функцией в полуплоскости Re p>S ₀.

Наряду с термином преобразование Лапласа употребляют термин из-ображение, т. е. говорят, что всякому оригиналу f (t) по формуле (11) ста- вится в соответствие изображение F (p). Кроме того, употребительна за- пись f (t) ≓ F (p) или F (p) ≓ f (t), означающая, что f (t) по изображению равна F (p), или точнее: F (p)есть изображение для оригинала f (t).

Имея дело с конкретными оригиналами, будем задавать их только при t ³ 0, помня о том, что при t <0 оригиналы равны нулю.

Перечислим основные свойства оригиналов и изображений

1. Линейность. Изображение линейной комбинации равно линейной комбинации изображений

≓

2. Дифференцирование оригинала. Если f (t) и ее производные суть оригиналы, то справедливы формулы

≓ (12)

и при любом n

≓ (13)

3. Интегрирование оригинала. Если f (t) ≓ F (p), то

 

≓ (14)

4. Дифференцирование изображения. Если f (t) ≓ F (p), то при любом n

≓ (15)

5. Интегрирование изображения. Если f (t)≓ F (p), и существует интег- рал то

≓ (16)

6. Теорема запаздывания. Если f (t) ≓ F (p), и τ>0, то

≓ (17)

7. Теорема смещения. Если f (t) ≓ F (p), то при любом комплексном p ₀

≓ (18)

8. Теорема о свертке. Если f (t) ≓ F (p), g (t) ≓ G (p), то

≓ (19)

9. Теорема разложения. Если f (t) ≓ F (p), изображение F (p) аналитично всюду, за исключением конечного числа особых точек в конечной части плоскости, и F (p)→0 равномерно относительно аргумента при р → ¥, то

(20)

где сумма вычетов берется по всем особым точкам функции F (p).

Свойства дифференцирования и интегрирования оригиналов позволя- ют сводить названные операции соответственно к умножению и делению на р. На этих свойствах основано применение операционного исчисления к решению дифференциальных, интегральных и интегродифференциаль- ных уравнений и их систем, которые встречаются в радиотехнике.

39. Найдите изображения по заданным оригиналам

а) б) в)

г) д) е)

ж) з) и)

к) .

Р е ш е н и е.

а) По формуле (11) имеем

≓

б) По формуле (11)

≓ .

в) Опираясь на формулы Эйлера, свойство линейности и предыдущий пример, будем иметь

≓

≓ .

г) Изображение функции cos wt может быть найдено аналогично как и для sin wt, или можно воспользоваться дифференцированием оригинала, т. е. формулой (12)

sin wt ≓ ≓ ≓ .

д) Применяя свойство дифференцирования изображения, имеем

1 ≓ ≓ ≓ ≓ ≓ ≓

е) Отправляясь от изображения функции sin t и применяя формулу (16), будем иметь

sin t ≓ ≓

≓ arcctg p.

ж) Применяя формулу (14), получим

 

≓ ≓ .

з) С учетом теоремы смещения

≓ ≓ .

и) Применяя теорему смещения, будем иметь

≓ ≓ .

к) Пользуясь определением и выполняя замену переменной интегрирования, найдём

≓

≓

40. Найдите оригиналы по заданным изображениям

а) , б) ,

в) , г) .

Р е ш е н и е.

а) После выделения полного квадрата имеем

≓ .

Здесь применена теорема смещения, поскольку ≓ .

б) Поскольку sin3 t ≓ , то по формуле (15)

≓ ≓ .

в) Раскладываем F (p) на простые дроби и пользуемся свойствами линейности

≓

г) По теореме разложения имеем

41. Решите задачу Коши

Решение. Полагая x (t) ≓ X (p), найдем с учетом (13)

≓ , ≓

Учитывая еще, что cos t ≓ , придем к операторному уравнению

откуда следует, что

или после разложения на простые дроби, будем иметь

≓ ≓

≓

42. Решите интегральное уравнение

Р е ш е н и е. Полагая j(х) ≓F(р), учитывая, что cos t ≓ и формулу (19), придем к операторному уравнению

Откуда найдем с учетом теоремы смещения

≓

≓

43. Найдите частное решение интегро-дифференциального уравнения

Р е ш е н и е. Пользуясь теоремой о свертке и свойством дифференцирования оригинала, найдем

Отсюда получим

≓

≓

 

44. Докажите равенство

≓

где в левой части находится интеграл вероятности

Р е ш е н и е. Введем вспомогательную функцию

и убедимся, что она удовлетворяет дифференциальному уравнению

Действительно, имеем

 

С учетом того, что f (0)=0и ≓ перейдем к операторному урав- нению

Итак, мы нашли, что

≓

Вспоминая теорему смещения, окончательно находим

≓ ≓

45. Пользуясь формулой

≓

найдите операционным способом решение краевой задачи

 

 

Р е ш е н и е. Применяем преобразование Лапласа по переменной t

≓ ≓

≓

и приходим к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

причем нам нужно искать ограниченное в окрестности точки решение. Таковым решением будет, очевидно, функция

≓

Пользуясь определением и свойствами оригиналов и изображений, найдите изображения следующих оригиналов

46. . 47. 48.

49. 50. 51.

52. 53. 54.

55. 56. 57.

58. 59. 60.

61. 62. 63.

64. 65. 66.

67. 68. 69.

70. 71. 72.

73. 74. 75.

76. 77.

78. 79.

80. 81. .

82.

Пользуясь свойствами оригиналов и изображений, разложением изображения на простые дроби или теоремой разложения, найдите оригиналы по заданным изображениям:

83. 84.

85. 86.

87. 88.

89.

91. 92.

Найдите решения дифференциальных и интегральных уравнений, удовлетворяющих заданным условиям

95.

96.

97.

98.

99.

100.

101.

102.

103.

104.

105.

106.

107.

108.

109.

110.

111.

112.

113.

114. 115.

116. 117.

118. 119.

120. 121.

 

 

КЛАССИФИКАЦИЯ И ПРИВЕДЕНИЕ

ПРОСТЕЙШИЙ ВАРИАНТ МЕТОДА РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ

Рассмотрим смешанную задачу для однородного уравнения колебаний струны:

Будем искать решение в форме

u (x,t) = X (x) T (t). (34)

Подставляя (34) в (31) и разделяя переменные, получим соответст- венно

Поскольку это должно быть тождеством, то на самом деле его левая часть не зависит от t, а правая часть не зависит от x, их следует приравнять к некоторой константе так, что имеем

(35)

С другой стороны, подставляя (34) в (32), найдем

(36)

Если T (t) = 0,то из (34) вытекает u (x,t) = 0, а нам нужно искать нетриви- альные решения уравнения (31). Стало быть, T (t)¹0 и из (36) имеем гра -ничные условия для функции Х (х) в виде Х (0) =Х = 0. Присоединяя эти граничные условия к дифференциальному уравнению для функции Х (х), из соотношения (35) получим так называемую задачу Штурма Лиувил- ля

Подлежат нахождению функция Х (х) и параметр . Очевидно, что при любых задача имеет тривиальное решение Х (х)º0, но есть еще и нетривиальные решения по крайней мере при некоторых .

Определение. Те значения параметра , при которых задача имеет нетривиальные решения, называются собственными значениями, а соответствующие нетривиальные решения называются собственными функциями.

С учетом названного определения говорят, что решить задачу Штур- ма Лиувилля – значит найти ее собственные значения и соб- ственные функции.

Общее решение уравнения (37) как линейного уравнения с постоянны- ми коэффициентами запишется в виде

Добиваясь выполнения граничных условий (38), имеем

С ₁ × 1 + С ₂ × 0 = 0 Þ С ₁=0.

Если С ₂=0, то придем к тривиальному решению Х (х)º0, поэтому С ₂¹0 и пусть для определенности С ₂=1. Из второго граничного условия выте -кает, что sin l =0 и, следовательно Соответствующие собст -венные функции примут вид

(39)

Теперь возвращаемся к равенству (35) и берем дифференциальное уравнение для функции Т (t) при :

Его общее решение будет иметь вид

где и – произвольные постоянные.

Согласно (34) произведения собственных функций (39) на соответству- ющие решения

будут решать задачу (31 32) при любых и . Ввиду однородности уравнения и граничных условий сумма конечного числа этих произведе -ний также будет решением задачи (31-32).

Более того, ряд

(40)

если только он допускает двойное почленное дифференцирование по пе- ременным – x и t, также будет решением задачи (31 32). Остается выбрать коэффициенты и такими, чтобы выполнялись начальные условия.

Подставляя (40) в (33), будем иметь

откуда по формулам для коэффициентов Фурье получим

(41)

Из второго граничного условия найдем, что

и, стало быть,

(42)

Мы получили, что сумма ряда (40) будет решением исходной задачи (31) (33), если коэффициенты и определены по формулам (41), (42). При определенных условиях на гладкость граничных функций и ряд (40) будет допускать двойное почленное дифференцирова-

ние (см. [1]), и его сумма будет классическим решением задачи (31) (33). В других ситуациях сумму ряда (40) называют обобщенным или формальным решением задачи (31) (33).

Изложенная схема решения смешанной задачи принципиально не ме-няется и при других однородных граничных условий. Считается целесо-образным запоминать метод решения, а не его детали, поэтому при реше- нии примеров с конкретными граничными функциями и вы-

полняются те же самые действия (или аналогичные при измененных граничных условиях (32)) и в той же последовательности, что и при об- щих начальных условиях (33). Заметим, что такая традиция соблюдается в целом при решении дифференциальных уравнений.

144.Однородная струна, жестко закрепленная в концевых точках x =0 и , имеет в начальный момент времени t =0 форму

Определить смещение u (x,t) точек струны от прямолинейного положе- ния равновесия, предполагая, что начальные скорости отсутствуют.

РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ

ИЛИ В ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ

Будем рассматривать смешанную задачу

и будем искать ее решение в виде суммы двух функций

u (x,t) =v (x,t) +w (x,t),

которые находятся из решения более простых задач. Функция v (x,t) у довлетворяет неоднородному уравнению с нулевыми граничными и начальными условиями

Соответственно функция w (x,t) есть решение смешанной задачи

Нам нужно решать только штрихованную задачу (43¢) (45¢), посколь- ку задача (43¢¢) (45¢¢) совпадает с уже решенной в § 1 смешанной задачей (31) (33), и следовательно (см.(40) (42))

(46)

Функцию v (x,t) следует разыскивать в виде ряда по собственным функ-

 

циям задачи (7-8) Штурма Лиувилля:

(47)