ЗАДАЧА 4. Решить простейшую задачу классического вариационного исчисления.

Воспользуемся уравнением Эйлера-Лагранжа для решения простейшей задачи:

предположим что

Подставим в исходное уравнение:

½ - экстремаль

Исследуем экстремаль на предмет доставления функции максимума/минимума:

Проинтегрируем по частям: , где:

 

ЗАДАЧА 5. Решить задачу Больца.

 

10.

- Интегрант

- Терминант

Воспользуемся уравнением Эйлера-Лагранжа для решения задачи Больца:

.

– экстремаль

Воспользуемся условиями трансверсальности:

– экстремаль

Воспользуемся условиями трансверсальности:

Посчитаем каждый элемент:

Тогда условия трансверсальности запишутся:

Мы будем использовать эти уравнения как краевые условия для нахождения констант .

 

Исследуем экстремаль на предмет доставления функции максимума/минимума:

 

(Запишем, сразу группируя интегральную и неинтегральную части)

Проинтегрируем по частям: , где:

А также воспользуемся условием: и
в подстановке 0 и 1 (для подсчета значения элемента ):

,

– отрицательный результат – следовательно является точкой максимума.

 

ЗАДАЧА 6. Решить изопериметрическую задачу.

Воспользуемся уравнением Эйлера-Лагранжа для решения изопериметрической задачи:

.

1) – нет решений (Лагранжиан не м. б. равен нулю)

2)

 

Воспользуемся краевыми условиями для нахождения констант:

,

- Воспользуемся уравнением для нахождения :

 

 

Исследуем экстремаль на предмет доставления функции максимума/минимума:

Проинтегрируем по частям: , где:

 

Так как , тоже должна быть равна нулю, следовательно

– точка минимума.

 

 

ЗАДАЧА 7. Решить задачу с подвижными концами.

Выпишем, как положено, функцию Лагранжа:

Воспользуемся уравнением Эйлера-Лагранжа для решения задачи с подвижными концами:

.

Воспользуемся условиями трансверсальности:

Посчитаем каждый элемент:

Тогда условия трансверсальности запишутся:

Запишем условие стационарности:

Пусть Тогда также равны нулю – нет решений.

Пусть , тогда:

Если , найдем константы, используя краевые условия:

,

В уравнение стационарности также подставим , используя уравнение, написанное выше:

Рассмотрим , тогда а – что является недопустимым значением

Рассмотрим , тогда и

Итак, мы получили:

,

; ,

Исследуем экстремаль на предмет доставления функции максимума/минимума:

 

Воспользуемся и h(0)=0 (в силу наложенного ограничения на левый конец).

Также, стоит выразить значение из уравнения , помня, что , а

 

Итак:

– следовательно найденная точка является точкой минимума.