Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.

Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.

Нормальное уравнение прямой

 

Пусть прямая определяется заданием p и α (см. рис. 45). Рассмотрим прямоугольную систему координат Оху. Введем полярную систему, взяв О за полюс и Ох за полярную ось. Уравнение прямой можно записать в виде

т.е.

Но, в силу формул, связывающих прямоугольные и полярные координаты имеем: Следовательно, уравнение (10.10) прямой в прямоугольной системе координат примет вид

(10.11)

 

О

х

у

p

α

Рис. 45

Уравнение (10.11) называется нормальным уравнением прямой.

Покажем, как привести уравнение (10.4) прямой к виду (10.11).

Умножим все члены уравнения (10.4) на некоторый множитель . Получим Это уравнение должно обратиться в (10.11). Следовательно, должны выполняться равенства: Из первых двух равенств находим ,т.е.

 

 

Множитель называется нормирующим множителем. Согласно третьему равенству знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена С общего уравнения прямой.

 

Пример 10.2. Привести уравнение к нормальному виду.

 

Решение: Находим нормирующий множитель Умножая данное уравнение на , получим искомое нормальное уравнение прямой:

О

О

О

О

О

О

О

О

Рис. 47.

Расстояние от точки до прямой

 

Пусть заданы прямая L уравнением и точка (см. рис. 47). Требуется найти расстояние от точки до прямой L.

Решение: Расстояние d от точки до прямой L равно модулю проекции вектора , где – произвольная точка прямой L, на направление нормального вектора . Следовательно,

 

Так как точка принадлежит прямой L, то , т.е. Поэтому

 

(10.13)

что и требовалось получить.

 

Пример 10.3. Найти расстояние от точки до прямой

 

Решение: По формуле (10.13) получаем

 

 

 

 

 

Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пусть прямые и заданы уравнениями с угловыми коэффициентами и (см. рис. 46).

Требуется найти угол φ, на который надо повернуть в положительном направлении прямую вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой .

О

Рис. 46.

Решение: Имеем (теорема о внешнем угле треугольника) или Если , то

Но , поэтому

 

(10.12)

 

 

откуда легко получим величину искомого угла.

 

Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учитывая, какая прямая является первой, какая – второй, то правая часть формулы (10.12) берется по модулю, т.е.

Если прямые и параллельны, то и . Из формулы (10.12) следует , т.е. . И обратно, если прямые и таковы, что , то , т.е. прямые параллельны. Следовательно, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов: .

Если прямые и перпендикулярны, то . Следовательно, . Отсюда , т.е. (или ). Справедливо и обратное утверждение. Таким образом, условием перпендикулярности прямых является равенство .

 

 

Асимптоты гиперболы

Прямая L называется асимптотой неограниченной кривой K, если расстояние d от точки M кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки M

 

М

М

М

М

М

L

d

d

d

Рис. 55.

вдоль кривой K от начала координат. На рисунке 55 приведена иллюстрация понятия асимптоты: прямая L является асимптотой для кривой K.

Покажем, что гипербола имеет две асимптоты:

 

и . (11.11)

 

О

d

x

x

y

Рис. 56.

 

 

Так как прямые (11.11) и гипербола (11.9) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть те точки указанных линий, которые расположены в первой четверти.

 

 

Возьмем на прямой точку N, имеющий абсциссу х, что и точка на гиперболе (см. рис. 56), и найдем разность MN между ординатами прямой и ветви гиперболы:

 

Как видно, по мере возрастания х знаменатель дроби увеличивается; числитель есть постоянная величина. Стало быть, длина отрезка MN стремится к нулю. Так как MN больше

расстояния d от точки M до прямой, то d и подавно стремится к нулю. Итак, прямые являются асимптотами гиперболы (11.9).

Рис. 57.

О

При построении гиперболы (11.9) целесообразно сначала построить основной прямоугольник гиперболы (см. рис. 57), провести прямые, проходящие через противоположные вершины этого прямоугольника, – асимптоты гиперболы и отметить вершины и гиперболы.

 

Уравнение сферы

 

Найдем уравнение сферы радиуса R с центром в точке . Согласно определению сферы расстояние любой ее точки от центра равен радиусу R, т.е. . Но , где . Следовательно,

или

 

Это и есть искомое уравнение сферы. Ему удовлетворяют координаты любой ее точки и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на данной сфере.

Если центр сферы совпадает с началом координат, то уравнение сферы принимает вид

Если же дано уравнение , то оно, вообще говоря, определяет в пространстве некоторую поверхность.

Выражение «вообще говоря» означает, что в отдельных случаях уравнение может определять не поверхность, а точку, линию, или вовсе не определять никакой геометрический образ. Говорят, «поверхность вырождается».

Так, уравнению не удовлетворяют никакие действительные значения x, y и z. Уравнению удовлетворяют лишь координаты точек, лежащих на оси Ox (из уравнения следует: , а х – любое число)

Итак, поверхность в пространстве можно задать геометрически и аналитически. Отсюда вытекает постановка двух основных задач:

1. Дана поверхность как геометрическое место точек. Найти уравнение этой поверхности.
2. Дано уравнение . Исследовать форму поверхности, определяемой этим уравнением.

 

Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.

Нормальное уравнение прямой

 

Пусть прямая определяется заданием p и α (см. рис. 45). Рассмотрим прямоугольную систему координат Оху. Введем полярную систему, взяв О за полюс и Ох за полярную ось. Уравнение прямой можно записать в виде

т.е.

Но, в силу формул, связывающих прямоугольные и полярные координаты имеем: Следовательно, уравнение (10.10) прямой в прямоугольной системе координат примет вид

(10.11)

 

О

х

у

p

α

Рис. 45

Уравнение (10.11) называется нормальным уравнением прямой.

Покажем, как привести уравнение (10.4) прямой к виду (10.11).

Умножим все члены уравнения (10.4) на некоторый множитель . Получим Это уравнение должно обратиться в (10.11). Следовательно, должны выполняться равенства: Из первых двух равенств находим ,т.е.

 

 

Множитель называется нормирующим множителем. Согласно третьему равенству знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена С общего уравнения прямой.

 

Пример 10.2. Привести уравнение к нормальному виду.

 

Решение: Находим нормирующий множитель Умножая данное уравнение на , получим искомое нормальное уравнение прямой:

О

О

О

О

О

О

О

О

Рис. 47.

Расстояние от точки до прямой

 

Пусть заданы прямая L уравнением и точка (см. рис. 47). Требуется найти расстояние от точки до прямой L.

Решение: Расстояние d от точки до прямой L равно модулю проекции вектора , где – произвольная точка прямой L, на направление нормального вектора . Следовательно,

 

Так как точка принадлежит прямой L, то , т.е. Поэтому

 

(10.13)

что и требовалось получить.

 

Пример 10.3. Найти расстояние от точки до прямой

 

Решение: По формуле (10.13) получаем