Тема № 1. Производная функции

 

Определение производной

 

Пусть функция определена на интервале .

Выполним следующие действия:

- произвольной точке с координатой придадим приращения , получим точку ;

- вычислим значения функции в этих точках, и найдем соответствующее приращение функции, т.е. (см. рис);

- составим отношение и найдем его предел при .

 

 

 

О

 

Рисунок 1

 

Определение производной. Если существует предел отношения (приращения функции к приращению аргумента ), когда то его называют производной функции в точке и обозначают

, , , , , , , т.е.

 

.

 

Операцию нахождения производной называют дифференцированием, а функцию, имеющую производную - дифференцируемой. Нижний индекс 0 выбран для удобства. Как очевидно, эта формула имеет место для любой точки из области определения функции.

Значение производной в точке обозначают:

, , , .

Операцию нахождения производной по определению называют непосредственным дифференцированием. На основании определения найдем производные от некоторых основных элементарных функций. Начнем со степенных функций.

Примеры. Найти производные функций по определению.

1. .

Решение. Какую бы точку мы не взяли и какое бы приращение не предавали, приращение функции всегда будет равно нулю, т.е. , следовательно

.

Говорят, производная от константы равна нулю.

2. .

Решение. Функция определена на всей оси. Возьмем произвольную точку и , где приращение аргумента. Найдем приращение функции

.

Составим отношение , и найдем его предел когда , получаем

, т.е. .

3. .

Решение. Функция определена на всей оси. Возьмем произвольную точку и , где приращение аргумента. Найдем приращение функции

.

Найдем предел отношения , когда

.

Индекс 0 выбран для удобства, опуская его, можем записать

.

4. .

Решение. Функция определена на всей оси. Возьмем произвольную точку и , где приращение аргумента. Найдем приращение функции

Найдем предел отношения , когда

.

Опуская индекс 0, можем записать

.

4. Продолжая увеличивать натуральную степень , с использованием формулы бинома Ньютона для нахождения приращения функции , находя предел отношения когда , получим формулу для нахождения производной от степенной функции в общем виде

.

Таким образом,

.

Данная формула остается справедливой для дробных и отрицательных степеней и в общем случае для любого действительного .

Например.

1) .

2) .

Говорят, производная от корня квадратного равна дроби единица разделить на два таких корня.

 

5. .

Решение. Функция определена на всей оси. Возьмем произвольную точку и . Найдем приращение функции

Найдем предел отношения , когда

Здесь для раскрытия неопределенности мы воспользовались эквивалентностью бесконечно малых функций, а именно , при , или, что очевидно первым замечательным пределом

.

Таким образом, получили

.

 

5. . Получить самостоятельно по аналогии.

 

6. .

Решение. Функция определена на всей оси. Возьмем произвольную точку , придадим приращение аргументу , получим точку и найдем приращение функции

Найдем предел отношения , когда

.

Здесь для раскрытия неопределенности мы воспользовались эквивалентностью бесконечно малых функций, а именно , при , или вариантом первого замечательного предела, а именно

.

Опуская индекс 0, можем записать

.

Говорят, производная от экспоненты равна этой же экспоненте.

 

7. .

Решение. Функция определена на полуоси . Возьмем произвольную точку , придадим приращение аргументу , получим точку , найдем приращение функции

.

Найдем предел отношения , когда

.

Здесь для раскрытия неопределенности мы воспользовались эквивалентностью бесконечно малых функций, а именно , при .

Опуская индекс 0, можем записать

.

Прервемся пока на процедуре нахождения производной от основных элементарных функций по определению. Рассмотрим в чем состоит геометрический, механический и общефизический смысл производной, изучим свойства производной, которые называют правилами дифференцирования, определим производную от сложной и обратной функций и затем вернемся к нахождению производных от оставшихся основных элементарных функций которые занесем в таблицу и выучим наизусть.