Методические указания к отдельным разделам и темам программы

 

Раздел 1. Элементы математического анализа

Тема 1.1. Функция. Предел функции. Непрерывность функции

 

При изучении данной темы нужно ознакомиться с понятием функции, способами задания и некоторыми её свойствами, а также с краткими, справочного характера сведениями из теории пределов:

- понятием окрестности точки x₀;

- смыслом записей х — > x₀, х —> ± ;

- понятием бесконечно малой функции ɑ(х) в точке x₀;

- примерами, иллюстрирующими необходимость введения понятия предела функции;

- определением предела функции в точке;

- понятием бесконечно большой функции;

- смыслом записи lim f (x) = ;

- некоторыми свойствами пределов;

- эквивалентными бесконечно малыми в точке x₀;

- первым замечательным пределом;

- частными случаями эквивалентных пар бесконечно малых функций при х — > 0 и ɑ = const, (sin ɑx ~ ɑx, tg ɑx ~ ɑx, е^ɑx —1~ ɑх, 1n (1 + ɑх) ~ ɑх) и их применением в приближенных вычислениях;

В результате изучения темы студент должен:

Уметь:

- пользоваться различными способами задания функции;

- находить области определения функций;

- строить графики степенных функций;

- применять геометрические преобразования графика исходной элементарной функции методом сдвига и деформации;

- устанавливать по заданному графику функции её важнейшие свойства: монотонность, ограниченность, чётность, нечётность, периодичность, непериодичность, «нули» функции;

- находить значение однозначной функции, заданной аналитически или графически, по значению аргумента и наоборот;

- вычислять простые пределы функции;

- определять точки разрыва функции и характер разрыва

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

- для описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков.

- определение числовой функции, ограниченной, возрастающей (убывающей), чётной, нечётной функции, обратной и сложной функции;

- определение непрерывности функции в точке и на промежутке;

- понятие точки разрыва функции, характера разрыва функции, классификацию точек разрыва функции;

- формулировки свойств предела суммы, произведения, частного функций;

- формулировки теорем о сумме, произведении и частном непрерывных функций;

Вопросы для самоконтроля

1. Сформулируйте понятие определения функции.

2. Что называется областью определения функции? Приведите примеры.

3. Какие существуют способы задания функции. Приведите примеры.

4. Какие функции называются элементарными. Приведите примеры.

5. Дайте определение предела функции.

6. Какая величина называется бесконечно малой и каковы её основные свойства?

7. Какая величина называется бесконечно большой и какова её связь с бесконечно малой?

8. Может ли постоянная величина быть бесконечно малой? Бесконечно большой?

9. Каков будет предел дроби, если её числитель не изменяется, а знаменатель неограниченно возрастает по модулю?

10. Как ведет себя дробь, если её числитель не изменяется и не равен нулю, а знаменатель стремится к нулю?

11. Сформулируйте основные теоремы о пределах.

12. Сформулируйте определение непрерывности функции в точке и на отрезке.

13. В чем отличие точек разрыва первого и второго рода?

14. Что называется приращением аргумента и приращением функции?

15. Каким свойством обладает приращение непрерывной функции?