Монотонность функций. Экстремумы.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

 

Функция f(x) называется возрастающей в точке х ₀, если в некоторой e - окрестности этой точки f(x ₀ -h)<f(x₀)<f(x ₀ +h).

Убывающей – если f(x ₀ +h)<f(x₀)<f(x ₀ -h), где 0< h <e.

Функция f(x) называется возрастающей на отрезке [a,b], если для любых х ₁ и х ₂ этого отрезка из неравенства х ₁> х ₂следует неравенство f(х ₁ ) > f(х ₂ ). Если же из неравенства х ₁> х ₂следует, что f(х ₁ ) < f(х ₂ ), то функция f(x) – убывающая на отрезке [a,b].

Можно сформулировать достаточные признаки возрастания и убывания функции y=f(x)

Если y' >0 для всех х Î[a,b], то функция возрастает на [a,b]; при y' <0 для х Î[a,b], то функция на [a,b] убывает.

Функция f(x) может иметь экстремум лишь в тех точках, в которых f'(x) =0 или не существует. Такие точки называются критическими, или стационарными, или подозрительными на экстремум. Равенство нулю первой производной данной функции является необходимым условием существования экстремума.

В качестве достаточного условия существования экстремума в критической точке х ₀ можно принять смену знака первой производной при переходе через критическую точку, при этом, если знак меняется с + на -, то в точке х ₀ – максимум, если с – на +, то в точке х ₀ – минимум.

Если производная y ' знак не меняет при переходе через точку, подозрительную на экстремум, то экстремума в этой точке нет.

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функций у=f(x) на отрезке[a,b] необходимо найти критические точки, принадлежащие [a,b]. Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах отрезка. Из всех найденных значений выбираем наибольшее и наименьшее.

__________________

 

1.4.1. Найти интервалы монотонности следующих функций:

а) у= 2-3 х + х ³; б) у=хе ^-х;

в) у=(х -2 ) ² (х+ 2 ); г) y=ln(x ²-2 x +4).

Ответ: а) (-∞;-1)È(1;∞) – возрастает; (-1;1) – убывает;

б) (-∞;1) – возрастает; (1;∞) – убывает;

в) (-∞;-1)È(1;∞) – возрастает; (-1;1) – убывает;

г) (-∞;1)– убывает; (1;∞) – возрастает;

1.4.2. Найти экстремумы функций:

а) ; б) y=ln(x ²+1 );

в) ; г) у=(х- 1 ) ^6/7.

Ответ: а) у _min= y( 0 )= 0; y _max= ;

б) у _min= y( 0 )= 0;

в) у _max= y( 1 )= ; y _min= ;

г) у _min= y( 1 )= 0.

1.4.3. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданном отрезке:

а) у=х ⁴+2 х ²+5, х Î[-2,2]; б) , х Î[-6,8];

в) , х Î[0,4]; г) y =2 tgx-tg ² x, х Î[0,π/2].

Ответ: а) 29,5; б) 10; 6; в) 3/5; -1; г) у _наиб=1.

_______________

 

1.4.4. Найти интервалы монотонности следующих функций:

а) у=( 2 -х)(х+ 1 ) ²; б) у=х ³-6 х +5;

в) у=х+е ^-х; г) y=xlnx.

Ответ: а) (-∞;-1)È(1;∞) – убывает; (-1;1) – возрастает;

б)(-∞;-2)È(2;∞) – возрастает; (-2;2) – убывает;

в) (-∞;0) – возрастает; (0;∞) – убывает;

г) (0;1/ е) – убывает; (1/ е;∞) – возрастает.

1.4.5. Найти экстремумы функций:

а) ; б) .

Ответ: а) y _max= y (11/4)=13/4; б) y _min= y(e)=e.

1.4.6. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на отрезке:

а) , х Î[0,4]; б) , х Î[0,1];

в) , х Î[0,1].

Ответ: а) 8;0; б) 1; 3/5; в) π/4; 0.

 

Промежутки выпуклости, вогнутости графика функции.

Точки перегиба. Асимптоты

 

Кривая называется выпуклой в точке х=х ₀, если в некоторой окрестности этой точки кивая расположена под касательной, проведенной в этой точке (рис.6а), если же кривая лежит над касательной, то функция называется вогнутой (рис.6б).

В качестве достаточных условий выпуклости, вогнутости графика функций можно принять следующие: если y" >0, то кривая вогнутая, если y" <0, то кривая выпуклая.

Точкой перегиба называется точка, разделяющая интервал выпуклости от интервала вогнутости. Необходимым условием существования точки перегиба является равенство нулю второй производной от функции, достаточным – изменение знака второй производной при переходе через точку, подозрительную на точку перегиба.

Пусть имеется кривая, ветвь которой в том или ином направлении удаляется в бесконечность. Если расстояние от точки кривой до некоторой прямой по мере удаления точки кривой в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой графика кривой.

Существует три вида асимптот: вертикальная, горизонтальная, наклонная.

Пусть y=f(x), а – точка разрыва функции или граничная точка области определения.

Если , то прямая х=а есть вертикальная асимптота.

Если , то прямая х=b – горизонтальная асимптота.

Наклонная асимптота имеет вид у=kx+b, где ; .

Замечание. Пределы при х ®∞, х ®-∞ находятся отдельно.

 

Алгоритм полного исследования функции y=f(x)

 

1. Найти область определения функции; точки разрыва.

2. Найти асимптоты графика функции.

3. Определить четность, нечетность, периодичность функции.

4. Установить промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.

5. Определить интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции.

6. Найти точки пересечения графика с осями координат.

7. При необходимости вычислить значения функции в дополнительных точках.

___________________

 

1.5.1. Найти промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба:

а) у=х ⁵-5 х -6; б) у=(х- 5 ) ^5/3+2;

в) у=хе ^х; г) у=х ⁴-8 х ³+24 х ².

Ответ: а) (-∞;0) – выпуклая; (0;∞) – вогнутая;

б) р(5;2) – точка перегиба;

в) (-∞;-2) – выпуклая; (-2;∞) – вогнутая;

г) точек перегиба нет.

1.5.2. Найти асимптоты графика функций:

а) ; б) ;

в) ; г) y=-xarctgx.

Ответ: а) х =-2, у =3; б) х =1, х = -6, у =0; в) у=х -6;

г)

1.5.3. Исследовать функции и построить их графики:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Ответ: а) у _min(2)=3; асимптоты у = х, х =0;

б) у _min(2Ö3)=3Ö3, у _max(-2Ö3)= -3Ö3; (0;0) – точка перегиба; х =±2, у=х – асимптоты;

в) у _max(е ²)=2/ е, у =0 – асимптоты;

г) у _max(1)= е.

1.5.4. Найти промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба:

а) ; б) ;

в) y=ln|x|; г) .

Ответ: а) (2;-8/3); б) ; в) точек перегиба нет;

г) .

1.5.5. Найти асимптоты графиков функций:

а) ; б) y=x-arctgx;

в) .

Ответ: а) х= 0; у =1; б) ; в) у= 2 х; х =0.

1.5.6. Исследовать функции и построить графики:

а) ; б) .

Ответ: а) у=-х – наклонная асимптота; б) у _min(6)=13,5; (0;0) – точка перегиба; х =2; у = х +4 – асимптоты.