ТОП 10:

Монотонность функций. Экстремумы.



Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

 

Функция f(x) называется возрастающей в точке х0, если в некоторой e - окрестности этой точки f(x0-h)<f(x0)<f(x0+h).

Убывающей – если f(x0+h)<f(x0)<f(x0-h), где 0<h<e.

Функция f(x) называется возрастающей на отрезке [a,b], если для любых х1 и х2 этого отрезка из неравенства х1>х2следует неравенство f(х1)>f(х2). Если же из неравенства х1>х2следует, что f(х1)<f(х2), то функция f(x) – убывающая на отрезке [a,b].

Можно сформулировать достаточные признаки возрастания и убывания функции y=f(x)

Если y'>0 для всех хÎ[a,b], то функция возрастает на [a,b]; при y'<0 для хÎ[a,b], то функция на [a,b] убывает.

Функция f(x) может иметь экстремум лишь в тех точках, в которых f'(x)=0 или не существует. Такие точки называются критическими, или стационарными, или подозрительными на экстремум. Равенство нулю первой производной данной функции является необходимым условием существования экстремума.

В качестве достаточного условия существования экстремума в критической точке х0 можно принять смену знака первой производной при переходе через критическую точку, при этом, если знак меняется с + на -, то в точке х0 – максимум, если с – на + , то в точке х0 – минимум.

Если производная y' знак не меняет при переходе через точку, подозрительную на экстремум, то экстремума в этой точке нет.

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функций у=f(x)на отрезке[a,b] необходимо найти критические точки, принадлежащие [a,b]. Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах отрезка. Из всех найденных значений выбираем наибольшее и наименьшее.

__________________

 

1.4.1. Найти интервалы монотонности следующих функций:

а) у=2-3х+х3; б) у=хе;

в) у=(х-2)2(х+2); г) y=ln(x2-2x+4).

Ответ: а) (-∞;-1)È(1;∞) – возрастает; (-1;1) – убывает;

б) (-∞;1) – возрастает; (1;∞) – убывает;

в) (-∞;-1)È(1;∞) – возрастает; (-1;1) – убывает;

г) (-∞;1)– убывает; (1;∞) – возрастает;

1.4.2. Найти экстремумы функций:

а) ; б) y=ln(x2+1);

в) ; г) у=(х-1)6/7.

Ответ: а) уmin=y(0)=0; ymax= ;

б)уmin=y(0)=0;

в) уmax=y(1)= ; ymin= ;

г)уmin=y(1)=0.

1.4.3. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданном отрезке:

а) у=х4+2х2+5, хÎ[-2,2]; б) , хÎ[-6,8];

в) , хÎ[0,4]; г) y=2tgx-tg2x, хÎ[0,π/2].

Ответ: а) 29,5; б) 10; 6; в) 3/5; -1; г) унаиб=1.

_______________

 

1.4.4. Найти интервалы монотонности следующих функций:

а) у=(2-х)(х+1)2; б) у=х3-6х+5;

в) у=х+е; г) y=xlnx.

Ответ: а) (-∞;-1)È(1;∞) – убывает; (-1;1) – возрастает;

б)(-∞;-2)È(2;∞) – возрастает; (-2;2) – убывает;

в) (-∞;0) – возрастает; (0;∞) – убывает;

г) (0;1/е) – убывает; (1/е;∞) – возрастает.

1.4.5. Найти экстремумы функций:

а) ; б) .

Ответ: а) ymax=y(11/4)=13/4; б) ymin=y(e)=e.

1.4.6. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на отрезке:

а) , хÎ[0,4]; б) , хÎ[0,1];

в) , хÎ[0,1].

Ответ: а) 8;0; б) 1; 3/5; в) π/4; 0.

 

Промежутки выпуклости, вогнутости графика функции.

Точки перегиба. Асимптоты

 

Кривая называется выпуклой в точке х=х0, если в некоторой окрестности этой точки кивая расположена под касательной, проведенной в этой точке (рис.6а), если же кривая лежит над касательной, то функция называется вогнутой (рис.6б).

В качестве достаточных условий выпуклости, вогнутости графика функций можно принять следующие: если y">0, то кривая вогнутая, если y"<0, то кривая выпуклая.

Точкой перегиба называется точка, разделяющая интервал выпуклости от интервала вогнутости. Необходимым условием существования точки перегиба является равенство нулю второй производной от функции, достаточным – изменение знака второй производной при переходе через точку, подозрительную на точку перегиба.

Пусть имеется кривая, ветвь которой в том или ином направлении удаляется в бесконечность. Если расстояние от точки кривой до некоторой прямой по мере удаления точки кривой в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой графика кривой.

Существует три вида асимптот: вертикальная, горизонтальная, наклонная.

Пусть y=f(x), а – точка разрыва функции или граничная точка области определения.

Если , то прямая х=а есть вертикальная асимптота.

Если , то прямая х=b – горизонтальная асимптота.

Наклонная асимптота имеет вид у=kx+b, где ; .

Замечание. Пределы при х®∞, х®-∞ находятся отдельно.

 

Алгоритм полного исследования функции y=f(x)

 

1. Найти область определения функции; точки разрыва.

2. Найти асимптоты графика функции.

3. Определить четность, нечетность, периодичность функции.

4. Установить промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.

5. Определить интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции.

6. Найти точки пересечения графика с осями координат.

7. При необходимости вычислить значения функции в дополнительных точках.

___________________

 

1.5.1. Найти промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба:

а) у=х5-5х-6; б) у=(х-5)5/3+2;

в) у=хех; г) у=х4-8х3+24х2.

Ответ: а) (-∞;0) – выпуклая; (0;∞) – вогнутая;

б) р(5;2) – точка перегиба;

в) (-∞;-2) – выпуклая; (-2;∞) – вогнутая;

г) точек перегиба нет.

1.5.2. Найти асимптоты графика функций:

а) ; б) ;

в) ; г) y=-xarctgx.

Ответ: а) х=-2, у=3; б) х=1, х= -6, у=0; в) у=х-6;

г)

1.5.3. Исследовать функции и построить их графики:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Ответ: а) уmin(2)=3; асимптоты у=х, х=0;

б)уmin(2Ö3)=3Ö3, уmax(-2Ö3)= -3Ö3; (0;0) – точка перегиба; х=±2, у=х – асимптоты;

в) уmax(е2)=2/е, у=0 – асимптоты;

г) уmax(1)=е.

1.5.4. Найти промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба:

а) ; б) ;

в) y=ln|x|; г) .

Ответ: а) (2;-8/3); б) ; в) точек перегиба нет;

г) .

1.5.5. Найти асимптоты графиков функций:

а) ; б) y=x-arctgx;

в) .

Ответ: а) х=0; у=1; б) ; в) у=2х; х=0.

1.5.6. Исследовать функции и построить графики:

а) ; б) .

Ответ: а) у=-х – наклонная асимптота; б) уmin(6)=13,5; (0;0) – точка перегиба; х=2; у=х+4 – асимптоты.

 







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-08; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 35.175.120.59 (0.009 с.)