Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Несобственные интегралы 1 рода ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3
Несобственный интеграл 1 рода возникает, когда по крайней мере одно из чисел a, b бесконечно. Определение и основные свойства Рассмотрим сначала ситуацию, когда нижний предел интегрирования конечен, а верхний равен +∞, другие варианты обсудим несколько позднее. Для f (x), непрерывной при всех интересующих нас x, рассмотрим интеграл I =∫+∞ af (x) dx. (19) Прежде всего надо установить смысл этого выражения. Для этого введем функцию I (N)=∫ Naf (x) dx и рассмотрим ее поведение при N →+∞. Определение. Пусть существует конечный предел A =lim N →+∞ I (N)=lim N →+∞∫ Naf (x) dx. Тогда говорят, что несобственный интеграл 1 рода (19) является сходящимся и ему приписывают значение A, саму функцию называют интегрируемой на интервале [ a,+∞). Если же указанного предела не существует или он равен ±∞, то говорят, что интеграл (19) расходится. Пример. Сходящиеся несобственные интегралы 1 рода обладают всеми стандартными свойствами обычных определенных интегралов. 1. Если f (x), g (x) интегрируемы на интервале [ a,+∞), то их сумма f (x)+ g (x) также интегрируема на этом интервале, причем ∫+∞ a (f (x)+ g (x)) dx =∫+∞ af (x) dx +∫+∞ ag (x) dx. 2. Если f (x) интегрируема на интервале [ a,+∞), то для любой константы C функция C ⋅ f (x)также интегрируема на этом интервале, причем ∫+∞ aC ⋅ f (x) dx = C ⋅∫+∞ af (x) dx. 3. Если f (x) интегрируема на интервале [ a,+∞), причем на этом интервале f (x)>0, то ∫+∞ af (x) dx >0. 4. Если f (x) интегрируема на интервале [ a,+∞), то для любого b > a интеграл ∫+∞ bf (x) dx сходится, причем ∫+∞ af (x) dx =∫ baf (x) dx +∫+∞ bf (x) dx (аддитивность интеграла по интервалу). Справедливы также формулы замены переменной, интегрирования по частям и т.д. (с естественными оговорками). Пример. Рассмотрим теперь вариант, когда нижний предел интегрирования равен −∞, а верхний конечен, т.е. рассмотрим интегралы I =∫ a −∞ f (x) dx. Однако этот вариант можно свести к предыдущему, если сделать замену переменных x =− s и поменять затем пределы интегрирования местами, так что I =∫+∞− ag (s) ds, g (s)= f (− s). Рассмотрим теперь случай, когда имеется два бесконечных предела, т.е. интеграл I =∫+∞−∞ f (x) dx,(21) причем f (x) непрерывна при всех x ∈R. Разобъем интервал на две части: возьмем c ∈R, и рассмотрим два интеграла,
I 1=∫ c −∞ f (x) dx, I 2=∫+∞ cf (x) dx. Определение. Если оба интеграла I1, I2 сходятся, то интеграл (21) называется сходящимся, ему приписывают значение I=I1+I2 (в соответствии с аддитивностью по интервалу). Если хотя бы один из интегралов I1, I2 расходится, интеграл (21) называется расходящимся. Можно доказать, что сходимость интеграла (21) не зависит от выбора точки c.
Несобственные интегралы 1 рода с интервалами интегирования (−∞, c ] или (−∞,+∞) также обладают всеми стандартными свойствами определенных интегралов (с соответствующей переформулировкой, учитывающей выбор интервал интегрирования). Признаки сходимости несобственных интегралов 1 рода Теорема (первый признак сравнения). Пусть f(x), g(x) - непрерывны при x>a, причем $0<f(x)a$. Тогда</f(x) 1. Если интеграл ∫+∞ ag (x) dx сходится, то сходится и интеграл ∫+∞ af (x) dx. 2. Если интеграл ∫+∞ af (x) dx расходится, то расходится и интеграл ∫+∞ ag (x) dx. Теорема (второй признак сравнения). Пусть f(x), g(x) - непрерывны и положительны при x>a, причем существует конечный предел θ =lim x →+∞ f (x) g (x), θ ≠0,+∞. Тогда интегралы ∫+∞ af (x) dx,∫+∞ ag (x) dx сходятся или расходятся одновременно. Пример. Задачи.
***
***
***
***
30.Вопрос.Несобственные интегралы второго рода (определения, примеры) Несобственные интегралы второго рода Определение. Пусть f(x) задана на полуинтервале [a,b) и Пусть далее для всякого существует интеграл Предел называется несобственным интегралом второго рода (интегралом от неограниченной функции) и обозначается Если существует и конечен, то несобственный интеграл второго рода называется сходящимся, если же он не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл второго рода называется расходящимся.
Примеры 1. Выяснить сходимость интеграла
|
|||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-08; просмотров: 672; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 52.91.255.225 (0.023 с.) |