Тема 3. Спрощення системи паралельних сил

Нехай на тверде тіло діє система паралельних сил . Доведемо, що така система сил еквівалентна або одній силі, або двом паралельним силам, рівним за величиною і протилежно спрямованим.

Спочатку розглянемо випадок двох паралельних сил , спрямованих в одну сторону. Нехай – точка прикладання сили , а – точка прикладання сили .

Доповнимо систему сил двома силами , які рівні за величиною й протилежно спрямовані уздовж прямої . За аксіомою 1 система сил врівноважена. Внаслідок цього згідно з аксіомою 2 система сил еквівалентна системі сил , . Сили й , що прикладені до точки тіла, за аксіомою 3 еквівалентні одній силі , прикладеної до точки . Сили й , що прикладені до точки тіла, еквівалентні одній силі , прикладеної до точки тіла. Система сил , є збіжною й, отже, еквівалентна одній силі

 

= + == + = .

 

Таким чином, вихідна система паралельних сил еквівалентна одній силі (рівнодіючої). Вона паралельна силам .

Визначимо положення лінії дії рівнодіючої . Ясно, що лінія дії сили проходить через точку перетину ліній дії сил . Ця лінія паралельна силам . Визначимо точку перетину лінії дії рівнодіючої з прямою . З подоби трикутника зі сторонами й трикутнику зі сторонами й випливає, що . Аналогічно, . Оскільки , із двох останніх рівностей випливає висновок: точка на відрізку повинна мати таке положення, щоб , або у векторній формі .

Віднесемо тверде тіло до декартової системи координат . Нехай у цій системі координат точка має координати , , , а точка – координати , , . Визначимо координати точки . Скористаємося для цього встановленою тільки що рівністю . З неї випливає, що , , . Із цих рівностей легко визначимо

 

 

Точку називають центром системи паралельних сил .

Перейдемо тепер до випадку, коли на тверде тіло діє довільна система паралельних сил , спрямованих в одну сторону. Тільки що було доведено, що система паралельних сил еквівалентна одній силі , яка прикладена в центрі цієї системи. Систему двох паралельних однаково спрямованих сил і , прикладених до точок тіла й (), можна згідно сказаному замінити одною силою , яка прикладена в центрі системи паралельних сил :

,

 

,

 

Продовживши описаний процес спрощення системи паралельних сил , прикладених до точок тіла (, , ), (, , ), …..., прийдемо до висновку, що система паралельних сил , спрямованих в одну сторону, еквівалентна одній силі , прикладеної до точки тіла з координатами

 

, ,

(3.1)

 

Точку називають центром системи однаково спрямованих паралельних сил . Ця точка є точкою прикладення рівнодіючої вихідної системи паралельних сил.

Розглянемо тепер випадок довільної системи паралельних сил. Її можна собі представляти у вигляді двох різних однаково спрямованих систем сил. Кожна із систем однаково спрямованих сил еквівалентна одній силі. Тому вихідна система паралельних сил еквівалентна двом паралельним силам, спрямованим у протилежні сторони. Якщо ці сили не рівні за величиною, то їх описаним вище способом можна звести до одної еквівалентної сили. Якщо ж розглянуті дві паралельні сили рівні за величиною, протилежно спрямовані, то їх не можна звести до одної сили. Вони утворюють самостійний елемент статики твердого тіла – пару сил. Пара сил викликає рух обертання твердого тіла в просторі, яке на початку руху перебувало в стані спокою.

Нехай – дві паралельні сили, що утворюють пару сил. Точку прикладення сили позначимо буквою , а точку прикладення сили – буквою . Пару сил характеризують вектором , який називають моментом пари.

Момент пари сил () повністю характеризує механічну дію пари на тверде тіло. Ця дія відмінна по характеру від дії сили на тіло. Тому пара сил – це (як і сила) самостійний єлемент статики. З означення пари сил ясно, що момент пари сил спрямований перпендикулярно площині, в якій розташовані сили , у ту сторону, щоб поворот площини під дією пари сил здійснювався проти ходу годинникової стрілки, якщо дивитися на площину з кінця вектора .

Властивості пар сил характеризують теореми [1]:

Теорема 1. Пари сил, розміщені в одній площині, еквівалентні, якщо рівні їх моменти. Інакше: пару сил, що діє на тверде тіло, можна замінити іншою парою сил, розміщеною у тій же площині дії з моментом, що дорівнює моменту першої пари.

Доведення

4Нехай дві пари сил і розміщені в одній площині з рівними моментами.

Доведемо, що ці пари сил еквівалентні. Оскільки

 

; ; ,

то

або

.

 

Продовжимо лінії дії сил заданих пар до їх перетину в точках А і В й перенесемо сили й у ці точки. Відповідно до правила паралелограма розкладемо кожну з цих сил на складові, спрямовані по лінії АВ і лініях дії сил пари .

Тоді з подібності трикутників Аа₁а₂ і Bb₁b₂ випливає, що і являють собою зрівноважені сили, відкинувши які одержуємо пару з плечем , яка еквівалентна парі з плечем .

З подібності трикутників Аа₁а₂ і АDB

,

 

а з подібності трикутників АCD і BED

 

.

 

Відповідно до останніх двох виразів одержуємо

 

.

 

Порівнюючи рівності і , установлюємо, що сили пари рівні за модулем силам заданої пари , тобто пара еквівалентна парі , сили якої перенесені по їх лініях дії в точки А і В.

Таким чином, пара еквівалентна парі , що і потрібно було довести. 3

Оскільки положення пари є довільним. То з доведеної теореми випливає, що пару сил, не змінюючи її дії на тіло, можна:

- переносити в будь-яке місце у площині дії пари;

- повертати плече пари на будь-який кут у площині дії пари;

- змінювати довжину плеча і модулі сил пари так, щоб величина моменту пари при цьому не змінювалась.

Дія пари на тверде тіло цілком характеризується її моментом, і щоб задати пару, що лежить у заданій площині, досить задати момент цієї пари. Якій величині при цьому дорівнюють сили пари або її плече і де місце розміщення пари в площині її дії – не є істотним.

Теорема 2. Пари сил у просторі еквівалентні, якщо рівні їх моменти. Інакше: дія пари сил на тверде тіло не змінюється від перенесення цієї пари сил у паралельну площину.

 

 

 

Нехай дані дві пари сил і , які розміщені в паралельних площинах I і II і мають рівні моменти: . Доведемо, що ці пари сил еквівалентні.

Доведення

4Візьмемо в площині II відрізок CD, рівний і паралельний відрізку АВ, і

у точках C і D прикладемо дві системи зрівноважених (еквівалентних нулю) сил , і , , рівних за модулем і паралельних силам пари :

 

.

 

Складемо сили і , а також і за правилом складання двох паралельних сил, спрямованих в один бік. За модулем усі ці сили рівні між собою, тому їх рівнодіючі

 

;

 

прикладені в точці О перетину діагоналей прямокутника ABCD, рівні за модулем і спрямовані по одній прямій у протилежні боки.

Тоді сили і як зрівноважені можна відкинути. Із зазначеного виходить, що пара заміняється такою ж парою , але розміщеною в паралельній площині II.

Оскільки справедлива рівність

 

,

 

то пара , що еквівалентна парі , еквівалентна відповідно до теореми 1 і парі . Отже, пара еквівалентна парі , але яка розміщена в іншій, паралельній площині, що і потрібно було довести. 3

З доведеної теореми випливає, що пару сил, не змінюючи її дії на тіло, можна:

- переносити в будь-яку площину, паралельну площині її дії;

- змінювати плече і силу пари, не змінюючи при цьому величини моменту пари.

Отже, при паралельному перенесенні вектора моменту пари сил у будь-яку точку тіла дія пари сил на тверде тіло не зміниться. Таким чином, момент пари сил є вільний вектор, тобто характеризується тільки модулем і напрямком, а точкою прикладення моменту пари може бути будь-яка точка твердого тіла, на яке діє пара сил. Вектор моменту пари сил визначає всі три її елементи: положення площини дії пари, напрямок обертання і числове значення моменту.

Таким чином, механічний вплив у статиці твердого тіла характеризується трьома типами векторів: силою – ковзним вектором, моментом сили відносно точки і парою сил – вільним вектором.

Теорема 3. Дві пари, розміщені у площинах, які перетинаються, еквівалентні одній парі з моментом, що дорівнює сумі моментів даних пар.

Нехай дві пари сил і мають моменти і (відповідно) та розміщені у площинах I і II,які перетинаються (див. рисунок нижче). Випадки, коли пари лежать в одній або паралельних площинах, є окремими випадками того, що розглядається.

Доведемо, що дві пари, які діють на тверде тіло, можна замінити однією еквівалентною парою – рівнодіючою парою, яка чинила б на тіло таку саму дію, як і вся система двох пар.

 

Доведення.

4Приведемо обидві пари до одного спільного плеча АВ, розміщеного на лінії перетину площин I і II. Перетворені у такий спосіб пари позначимо і . При цьому повинні виконуватися рівності

 

,

.

 

Склавши за правилом паралелограма сили, прикладені в точках А і В, одержимо

; .

Отже,

 

і сили й утворюють пару, еквівалентну даним парам. Знайдемо момент цієї пари:

 

або

,

 

тобто теорема доведена: момент еквівалентної пари дорівнює сумі моментів пар, що додаються. 3

Отже, щоб скласти дві пари, що розміщені в площинах, які перетинаються, необхідно скласти їх моменти за правилом паралелограма у будь-якій точці тіла.

Помітимо, що отриманий результат справедливий і для пар, розміщених у паралельних площинах і. Зокрема, в одній площині (згідно з теоремою 2 пари, що розміщені в паралельних площинах, попередньо можна перенести в одну площину).

Установлене правило складання моментів пар сил називається правилом паралелограма моментів. Згідно з цим правилом можна розв’язати і зворотну задачу, тобто розкласти будь-яку пару сил на дві складові пари. А застосовуючи послідовно правило паралелограма до кожних двох моментів пар, можна будь-яку кількість пар замінити однією, еквівалентною заданій системі пар, - рівнодіючою парою.

Нехай дана система пар , ,..., , довільно розміщених у просторі з моментами , ,..., відповідно. Переносячи моменти пар у будь-яку точку О простору і послідовно їх складаючи, можна побудувати многокутник моментів пар, замикаюча сторона якого являє собою момент пари, яка є еквівалентною даній системі пар:

 

.

 

Таким чином, система пар зводиться до однієї пари, момент якої дорівнює векторній (геометричній) сумі моментів усіх пар.

Для пар, розміщених в одній площині, правило їх складання формулюється як окремий випадок попереднього: пари, що діють на тверде тіло і розміщені в одній площині, можна звести до однієї пари, алгебраїчний момент якої дорівнює сумі алгебраїчних моментів пар, які складаються, тобто

 

.

 

Так само складаються і пари сил, які розміщені в паралельних площинах, тому що всі ці пари попередньо можна перенести в одну площину.

Підіб'ємо підсумок сказаному про систему паралельних сил: довільна система паралельних сил еквівалентна або одній силі, або парі сил.

Ознайомимося тепер з поняттям центру ваги тіла й опишемо способи його визначення. Якщо розміри твердого тіла малі в порівнянні з радіусом Землі ( км.), то сили тяжіння його частинок до центру Землі можна практично вважати системою паралельних сил, спрямованих вертикально вниз.

Центр системи паралельних сил ваги всіх малих частинок тіла називають центром ваги тіла.

Якщо тіло віднести до декартової системі координат з осями , то координати його центру ваги можна обчислити за формулами:

 

, ,

(3.2)

 

Тут – координати - тої частинки тіла, – її вага. Оскільки , то у формулах (3.2) сили ваги можна замінити масами частинок і одержати інші формули для координат центру ваги тіла, більш зручні для застосувань

 

, ,

. (3.3)

 

На практиці для визначення положення центру ваги тіла користуються такими способами:

Спосіб симетрії. Якщо тіло має центр, вісь або площину матеріальної симетрії, то центр ваги такого тіла знаходиться в центрі матеріальної симетрії, на осі матеріальної симетрії або в площині матеріальної симетрії.

Дійсно, нехай тіло має площину матеріальної симетрії. Не обмежуючи загальності міркувань, будемо вважати, що ця площина є площиною введеної нами декартової системи координат . Це означає, що для кожної частки тіла з координатою існує така ж частка, симетрично розташована відносно зазначеної площини, яка має таку ж масу як вихідна частка й координату . Отже, якщо тіло має площину матеріальної симетрії , то частці маси з координатами , яка не лежить у площині матеріальної симетрії, буде відповідати частка такої ж маси , але з координатами . Якщо ж частка лежить у площині матеріальної симетрії, то її координата . Це означає, що нерівні нулю доданки у чисельнику дробу (3.3) для координати можна розбити на пари, які відповідають симетричним часткам (з координатами і й однаковими масами). Сума цих доданків дорівнює нулю. Сума інших доданків з координатою також дорівнює нулю. Отже, , тобто центр ваги тіла знаходиться в площині матеріальної симетрії тіла. Аналогічно доводяться інші твердження для способу симетрії.

Приклад 1. Визначити центр тяжіння однорідного колового циліндра радіусу R і висоти h.

 

 

Розв’язання.

Однорідний коловий циліндр має вісь матеріальної симетрії, яка проходить через центри основ циліндра, та площину матеріальної симетрії, яка проходить через середину висоти паралельно основам. Отже центр тяжіння знаходься одночасно на висоті циліндра та на площині симетрії, тобто на середині висоти.

Спосіб розбивки. Якщо тіло можна мислено розбити на скінчене число частин, центри ваги яких відомі, то координати центру ваги вихідного тіла можна визначити за формулами (3.3). У цих формулах тепер – число частин, на які розбито тіло, – координати центру ваги - тої частини тіла, – маси частин. Зазначені формули випливають із означення центру ваги тіла або що те ж саме з означення центру системи паралельних сил , координати точок прикладання яких відомі:

Приклад 2. Визначити центр тяжіння плоскої однорідної пластинки.

 

Розв'язання. Скористаємось способом розбивки (дивись рисунок).

Позначимо через масу одиниці площі матеріалу пластинки, тобто її щільність. Для першої частини пластинки:

 

, , .

 

Для другої частини пластинки:

 

, , .

 

Отже

.

 

Оскільки пластинка має вісь матеріальної симетрії, то .

Отже координати центра ваги пластинки такі:

 

, .

 

Спосіб від’ємних мас. Розглянемо тіло, яке має декілька вирізів, причому відомі маси вирізаних частин тіла й координати центрів ваг цих вирізів. Заповнимо мислено вирізи вилученими частинами тіла, потім розіб'ємо реконструйоване тіло на частини (у число частин обов'язково повинні входити усі вирізи), після цього для визначення координат центру ваги вихідного тіла скористаємося формулами (3.3), але в цих формулах маси вирізів треба вважати від’ємними.

Пояснимо сказане прикладом. Визначимо центр ваги круглої однорідної пластинки радіуса , яка має виріз радіуса . Центр вирізу знаходиться на відстані від центру суцільного кола.

 

Позначимо буквою щільність пластинки, тобто масу одиниці площі пластинки. Початок осі декартової системи координат помістимо в центр суцільного кола й спрямуємо вісь до центру вирізу. Тоді координата центру ваги суцільної пластинки , а координата центру ваги вирізу . Розглядувану пластинку з вирізом можна вважати складеною із двох частин: суцільної пластинки й вилученої з неї круглої пластинки. Маса суцільної пластинки , маса вирізаної пластинки . За способом від’ємних мас координата центру ваги пластинки з вирізом обчислюється за формулою

 

 

Очевидно, що вісь є віссю матеріальної симетрії пластинки з вирізом, тому . Отже, центр ваги розглянутої круглої однорідної пластинки із круглим вирізом знаходиться в точці з координатами , .

Теорема Гульдіна. Об'єм тіла обертання однорідної плоскої фігури навколо осі, яка лежить у площині фігури й не перетинає фігуру (торкання дозволяється), дорівнює добутку площі фігури на довжину кола, яке описує її центр ваги при обертанні навколо осі.

 

.

Приклад. Визначимо за допомогою теореми Гульдіна положення центру ваги півкругу радіуса . Помістимо початок декартової системи координат в середину прямолінійного діаметру півкругу. Вісь направимо перпендикулярно цьому діаметру вглиб пластинки, вісь уздовж діаметру так, щоб система координат виявилася правою.

 

 

Оскільки вісь є віссю симетрії півкруга, то центр ваги фігури лежить на цій осі, тому . Залишається знайти . Скористаємося теоремою Гульдіна. Якщо обертати півкруг навколо осі , то об'єм тіла обертання (кулі) , а довжина кола, яке опише центр ваги півкруга, рівна . Згідно з теоремою Гульдіна

 

= .

 

Звідси знаходимо шукану координату центру ваги півкруга

 

.

 

Отже, центр ваги півкруга знаходиться у точці з координатами

 

, .