Множества. Окрестность точки.

Функции.

Множества. Окрестность точки.

Погрешности.

 

1) Множество – совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку (обозначение: А, В,..., Х, У).

2) Элементы множества – объекты, из которых состоит множество ().

х Х – элемент х принадлежит множеству Х,

- пустое множество,

3) А = - множество А состоит из всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству .

4) Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является элементом множества А.

Обозначается В А (В включено в А) - рисунок

М = К – множества равны (или совпадают), т.е. состоят из одних и тех же элементов.

5) Объединением (суммой) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному множеству.

Обозначается А В = или .

(рисунок)

6) Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество состоящее из элементов, принадлежащих и множеству А, и множеству В.

Обозначается А В = или .

(рисунок)

7)Окрестность точки

Пусть х₀ – любое действительное число,

ε > 0 – сколь угодно малое число,

тогда (х₀ – ε; х₀ + ε) – эпсилон-окрестность точки х₀.

(х₀ – ε < x < х₀ + ε – попадание точки х в ε – окрестность точки х₀).

8)Абсолютная и относительная погрешности

R – множество действительных чисел.

Пусть А – точное число,

а – приближенное число (при измерениях), в вычислениях заменяющее число А.

 

∆ =│А – а │ - абсолютная погрешность приближенного числа а,

 

δ = - относительная погрешность приближенного числа а.

Примеры: (Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., I часть, № 601, № 605)

Пример. При измерении физической величины имеем а – приближенное значение точного значения А.Длина крышки стола 2 м. При измерении получили длину 1,99 м. Определить абсолютную и относительную погрешности.

РЕШЕНИЕ.

 

Абсолютная погрешность: ∆ = | 2 – 1,99 | = 0,01.

Относительная погрешность: δ = ,

δ = 0,005 ∙ 100% = 0,5%.

 

ОТВЕТ: ∆ = 0,01; δ = 0,5%

6.2 Функция одной переменной (ФОП).

 

Пусть Х и У – два непустых множества.

Определение.

Если каждому элементу х Х по определенному правилу ставится в соответствие один и только один элемент у У, то говорят, что на множестве Х задана функция (или отображение) с множеством значений У.

Х – область определения функции (D(f),),

У – множество значений функции (Е(f)).

 

f – правило, по которому получается значение.

 

Обозначение функции y = f(x), y = у(x) и т.п. введено Эйлером.

 

Наглядным представлением функции служит её график: множество всех точек плоскости Оху с координатами (х; у), где у = f(x)), х D(f).

 

 

Обратная функция

 

Пусть задана функция y = f(x) с областью определения D и множеством значений Е. Если каждому значению у Е соответствует единственное значение х D, то определена функция х = (у) с областью определения Е и множеством значений D. Такая функция х = (у) называется обратной к функции у =f(x).

Пример.

(графики основных элементарных функций).

 

Техника вычисления пределов

Вычисление предела функции основано на непосредственной подстановке х =а в формулу функции f(x).

Пример. Вычислить пределы:

 

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

 

Замечательные пределы

Первый замечательный предел: .

Второй замечательный предел: ,

е ≈ 2,71828…

Основные теоремы о пределах

Если ,

 

1) = А В

 

2)

 

3) = А В

4) , В 0

Различают точки разрыва.

Разрыв I рода:

- если левый и правый пределы существуют, но не равны между собой (скачок);

- если левый и правый пределы равны, но значение функции в точке х = а не равно пределу функции в этой точке (устранимый разрыв).

Разрыв II рода:

- один из односторонних пределов равен ∞ или не существует.

Функции.

Множества. Окрестность точки.

Погрешности.

 

1) Множество – совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку (обозначение: А, В,..., Х, У).

2) Элементы множества – объекты, из которых состоит множество ().

х Х – элемент х принадлежит множеству Х,

- пустое множество,

3) А = - множество А состоит из всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству .

4) Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является элементом множества А.

Обозначается В А (В включено в А) - рисунок

М = К – множества равны (или совпадают), т.е. состоят из одних и тех же элементов.

5) Объединением (суммой) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному множеству.

Обозначается А В = или .

(рисунок)

6) Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество состоящее из элементов, принадлежащих и множеству А, и множеству В.

Обозначается А В = или .

(рисунок)

7)Окрестность точки

Пусть х₀ – любое действительное число,

ε > 0 – сколь угодно малое число,

тогда (х₀ – ε; х₀ + ε) – эпсилон-окрестность точки х₀.

(х₀ – ε < x < х₀ + ε – попадание точки х в ε – окрестность точки х₀).

8)Абсолютная и относительная погрешности

R – множество действительных чисел.

Пусть А – точное число,

а – приближенное число (при измерениях), в вычислениях заменяющее число А.

 

∆ =│А – а │ - абсолютная погрешность приближенного числа а,

 

δ = - относительная погрешность приближенного числа а.

Примеры: (Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., I часть, № 601, № 605)

Пример. При измерении физической величины имеем а – приближенное значение точного значения А.Длина крышки стола 2 м. При измерении получили длину 1,99 м. Определить абсолютную и относительную погрешности.

РЕШЕНИЕ.

 

Абсолютная погрешность: ∆ = | 2 – 1,99 | = 0,01.

Относительная погрешность: δ = ,

δ = 0,005 ∙ 100% = 0,5%.

 

ОТВЕТ: ∆ = 0,01; δ = 0,5%

6.2 Функция одной переменной (ФОП).

 

Пусть Х и У – два непустых множества.

Определение.

Если каждому элементу х Х по определенному правилу ставится в соответствие один и только один элемент у У, то говорят, что на множестве Х задана функция (или отображение) с множеством значений У.

Х – область определения функции (D(f),),

У – множество значений функции (Е(f)).

 

f – правило, по которому получается значение.

 

Обозначение функции y = f(x), y = у(x) и т.п. введено Эйлером.

 

Наглядным представлением функции служит её график: множество всех точек плоскости Оху с координатами (х; у), где у = f(x)), х D(f).