Теорема о циркуляции вектора В

. Циркуляцией вектора В по заданному замкнутому контуру называется интеграл

где d l — вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура, B_l=B cos a — составляющая вектора В в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода), a — угол между векторами В и d l.

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В):

циркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной m ₀ на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

(118.1)

где n — число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему; ток противоположного направления считается отрицательным. Например, для системы токов, изображенных на рис. 173,

Выражение (118.1) справедливо только для поля в вакууме, поскольку, как будет показано ниже, для поля в веществе необходимо учитывать молекулярные токи.

В каждой точке этого контура вектор В одинаков по модулю и направлен по касатель­ной к окружности (она является и линией магнитной индукции). Следовательно, циркуляция вектора В равна

Согласно выражению (118.1), получим В× 2p r=m ₀ I (в вакууме), откуда

Таким образом, исходя из теоремы о циркуляции вектора В получили выражение для магнитной индукции поля прямого тока, выведенное выше (см. (110.5)).

Сравнивая выражения (83.3) и (118.1) для циркуляции векторов Е и В, видим, что между ними существует принципиальное различие. Циркуляция вектора Е электростати­ческого поля всегда равна нулю, т. е. электростатическое поле является потенциальным. Циркуляция вектора В магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется вихревым.

Теорема о циркуляции вектора В имеет в учении о магнитном поле такое же значение, как теорема Гаусса в электростатике, так как позволяет находить магнитную индукцию поля без применения закона Био - Савара - Лапласа.

 

3.6. Применение теоремы о циркуляции вектора В для расчета:

a. Индукции магнитного поля прямого тока

b. Индукции магнитного поля соленоида

 

Если отрезок проходит внутри соленоида на любом расстоянии от его оси, контур охватывает суммарный ток nli, где n – число витков соленоида, i – сила тока в соленоиде. Поэтому согласно

откуда

B=μ₀ni

(μ₀– магнитная постоянная)

В гауссовой системе эта формула имеет вид

Если отрезок располагается вне соленоида, то охватываемый контуром ток равен нулю, вследствие чего

 

 

3.7. Сила, действующая на контур с током в однородном и неоднородном магнитном поле.