Движение тел в вязкой жидкости. Закон стокса

Вязкость проявляется при движении не только жидкости по трубам, но и тел в жидкости. При небольших скоростях сила со­противления движущемуся телу в соответствии с уравнением Ньютона пропорциональна вязкости жидкости, скорости движе­ния тела и зависит от размеров тела. Так как невозможно указать общую формулу для силы сопротивления, то ограничимся рас­смотрением частного случая.

Наиболее простой формой тела является сфера. Для сфериче­ского тела (шарика) зависимость силы сопротивления при его движении в сосуде с жидкостью от перечисленных выше факто­ров выражается законом Стокса:

где r — радиус шарика, v — скорость движения. Этот закон полу­чен в предположении, что стенки сосуда не влияют на движение тела.

При падении шарика в вязкой среде (рис. 7.6) на него действу­ют три силы: а) сила тяжести mg = ⁴/₃ ρπr²g; б) выталкивающая (архимедова) сила F_A = m_жg = ⁴/₃ p_жρr³g, где m_ж — масса вытес­ненной шаром жидкости, ρ_ж — ее плотность; в) F_Tp — сила сопро­тивления, вычисляемая по формуле (7.13).

При попадании шарика в вязкую жидкость его скорость умень­шается. Так как сила сопротивления прямо пропорциональна скорости, то и она будет уменьшаться до тех пор, пока движение не станет равномерным. В этом случае (рис. 7.6)

или в скалярной форме при подстановке соответст­вующих выражений для сил

 

где v₀ — скорость равномерного движения (паде­ния) шарика. Из (7.14) получаем

 

Формула (7.15) справедлива для движения шари­ка не только в жидкости, но и в газе. Она может быть использована, в частности, для вычисления времени выпадения пы­ли в воздухе. Поясним это следующим примером. Для воздуха — среды, в которой взвешены различные частицы пыли, — вязкость η = 0,000175 П. Около 80% пыли, обнаруженной в легких умерших людей, составляют частицы размером от 5 до 0,2 мкм. Если считать пылинки шарообразными, а плотность пыли равной плотности зем­ли (р = 2,5 г/см³), то, вычисляя скорость падения этих пылинок по формуле (7.15), найдем, что ее значения находятся в пределах 0,2— 0,0003 см/с. Для полного выпадения такой пыли в комнате высотой 3 м потребуется около 12 суток при условии полной неподвижности воздуха и отсутствия броуновского движения.

§ 7.4. Методы определения вязкости жидкости. Клинический метод определения вязкости крови

 

Совокупность методов измерения вязкости называют вискози­метрией, а приборы, используемые для таких целей, — вискозиметрами. Рассмотрим наиболее распространенные методы вискозиметрии. Капиллярный метод основан на формуле Пуазейля и заключается в измерении времени протекания через капилляр жидкости известной массы под действием силы тяжести при определенном' перепаде давлений. Капиллярные вискозиметры различной формы показаны на рис. 7.7, а, б (1 — измерительные резервуары, М₁ и М₂ — метки, обозначающие границы этих резервуаров, 2 — капилляры, 3 — приемные сосуды).

Капиллярный вискозиметр применяется для определения вяз­кости.

 

 

Капиллярными вискозиметрами измеряют вязкость от значений 10^-5 Па • с, свойственных газам, до значений 10⁴ Па • с, ха­рактерных для консистентных смазок.

Метод падающего шарика используется в вискозиметрах, осно­ванных на законе Стокса. Из формулы (7.15) находим

Таким образом, зная величины, входящие в правую часть этой формулы, и измеряя скорость равномерного падения шарика, можно найти вязкость данной жидкости.

Предел измерений вискозиметров с движущимся шариком со­ставляет 6 • 10⁴- 250 Па•с.

Применяются также ротационные вискозиметры, в которых жидкость находится в зазоре между двумя соосными телами, на­пример цилиндрами. Один из цилиндров (ротор) вращается, а другой неподвижен. Вязкость измеряется по угловой скорости ро­тора, создающего определенный момент силы на неподвижном цилиндре, или по моменту силы, действующему на неподвижный цилиндр, при заданной угловой скорости вращения ротора.

С помощью ротационных вискозиметров определяют вязкость жидкостей в интервале 1—10⁵ Па • с, т. е. смазочных масел, рас­плавленных силикатов и металлов, высоковязких лаков и клеев, глинистых растворов и т. п.

В ротационных вискозиметрах можно менять градиент скорости, задавая разные угловые скорости вращения ротора. Это позволяет измерять вязкость при разных градиентах и установить зависимость η = f(dv/dx), которая характерна для неньютоновских жидкостей.

В настоящее время в клинике для определения вязкости крови используют вискозиметр Гесса с двумя капиллярами. Схема его устройства дана на рис. 7.7, в. Два одинаковых капилляра a₁b₁ и a₂b₂ соединены с двумя трубочками 1 и 2. Посредством резиновой груши или втягивая воздух ртом через наконечник 3, поочередно благодаря тройнику с краном 4, заполняют капилляр a_lb₁ и трубоч­ку 1 до отметки 0 дистиллированной водой, а капилляр a₂b₂ и тру­бочку 2 до отметки 0 — исследуемой кровью. После этого теми же способами одновременно перемещают обе жидкости до тех пор, по­ка кровь не достигнет цифры 1, а вода — другой отметки в своей трубке. Так как условия протекания воды и крови одинаковы, то объемы наполнения трубок 1 и 2 будут различными вследствие то­го, что вязкости этих жидкостей неодинаковы. Хотя кровь и явля­ется неньютоновской жидкостью, используем с некоторым прибли­жением формулу Пуазейля (7.8) и запишем очевидную пропорцию:

 

Учитывая, что общий объем V жидкости при равномерном ее течении связан с Q формулой V = Qt, где t — время истечения жидкости, вместо (7.16) получаем

 

где V_K — объем крови в трубке 2 от отметки 0 до отметки 1; V_B — объем воды в трубке от отметки 0 до отметки, полученной при измерении; η_к и η_в — соответственно вязкость крови и воды. Отношение вязкости крови к вязкости воды при той же температуре называют относительной вязкостью крови.

В вискозиметре Гесса объем крови всегда одинаков, а объем во­ды отсчитывают по делениям на трубке 1, поэтому непосредствен­но получают значение относительной вязкости крови. Для удобст­ва втсчета сечения трубок 1 и 2 делают различными так, что, не­смотря на разные объемы крови и воды, их уровни в трубках будут примерно одинаковы.

Вязкость крови человека в норме 4—5 мПа • с при патологии колеблется от 1,7 до 22,9 мПа * с, что сказывается на скорости оседания эритроцитов (СОЭ). Венозная кровь обладает несколько большей вязкостью, чем артериальная. При тяжелой физической работе увеличивается вязкость крови. Некоторые инфекционные заболевания увеличивают вязкость крови, другие же, например брюшной тиф и туберкулез, — уменьшают.