Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Метод скорейшего спуска для случая линейной системы
Рассмотрим систему линейных уравнений: с действительной матрицей и столбцом свободных членов . Тогда и . И исходная система имеет вид: , где – невязка вектора и .
Соответственно, окончательно имеем: . Пример. Методом скорейшего случая решить систему уравнений:
Решение. В качестве начального приближения выберем . Тогда , ,
. Вычисляя коэффициент , получим: .
Отсюда , причем невязка . Аналогично вычисляя, получим: ; ;
;
. Процесс скорейшего случая для линейных систем сходится медленно. Так, здесь точное решение: ; ; ; .
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ Метод наименьших квадратов В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в виде набора точек с координатами , где – общее количество точек. Как правило, эти табличные данные получены экспериментально и имеют погрешности. Рис. 12
При аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную зависимость (например, многочлен), которая позволила бы «сгладить» экспериментальные погрешности, вычислить значения функции в точках, не содержащихся в исходной таблице. Эта функциональная зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. В качестве критерия точности чаще всего используют критерий наименьших квадратов, т.е. определяют такую функциональную зависимость , при которой обращается в минимум. Погрешность приближения оценивается величиной . В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен . Формула минимизируемой функции примет вид . Условия минимума можно записать, приравнивая нулю частные производные по всем переменным, . Получим систему уравнений или , . Эту систему уравнений перепишем в следующем виде: , . Введем обозначения: . Последняя система может быть записана так: , . Её можно переписать в развернутом виде: .
Матричная запись системы имеет следующий вид: . Для определения коэффициентов , и, следовательно, искомого многочлена, необходимо вычислить суммы и решить последнюю систему уравнений. Матрица этой системы является симметричной и положительно определенной.
Погрешность приближения в соответствии с исходной формулой составит . Рассмотрим частные случаи и . Линейная аппроксимация . . ; , . Отсюда система для нахождения коэффициентов имеет вид: . Её можно решить методом Крамера. Квадратичная аппроксимация . . . . , . Или в развёрнутом виде Решение системы уравнений находится по правилу Крамера. Пример. Построим по методу наименьших квадратов многочлены первой и второй степени и оценим степень приближения. Значения в точках , приведены в следующей таблице.
Вычислим коэффициенты по формулам для линейной и квадратичной аппроксимация ; . Для линейной аппроксимации система уравнений определения коэффициентов и многочлена первой степени имеет вид: . Решая эту систему, получим: . . Для квадратичной аппроксимации система уравнений определения коэффициентов и многочлена второй степени имеет вид: . И коэффициенты равны: . Тогда . Сравним значения, рассчитанные для функциональной зависимости, с исходными данными. Результаты приведены в табл. 3. Таблица 3
Погрешность приближения в соответствии с исходными формулами составит: . .
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-17; просмотров: 283; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.9.141 (0.009 с.) |