Устойчивость дискретных фильтров.

Фильтр называется устойчивым, если при любом ограниченном по амплитуде входном сигнале {x_n} выходной сигнал фильтра является ограниченным.

│{x_n}│≤B → │{y_n}│≤D

│y_n│≤D (при любом n), n→∞, D=const и не зависит от n

Исходя из этого определения, нерекурсивный фильтр всегда устойчив.

Рекурсивный фильтр – это фильтр с ОС, поэтому он м.б. неустойчивым. В общем случае, рекурсивный фильтр устойчив, если устойчивым является решение соответствующего однородного линейного разностного уравнения.

- однородное разностное уравнение

Общий вид решения этого уравнения:

- это решение должно быть устойчивым

Здесь Z_1, Z₂,…Z_n – корни характеристического уравнения, которое получается из разносного:

1+a₁Z^-1+a₂Z^-2+….+a_nZ^-N=0

Коэффициенты c_l – это постоянные коэффициенты, которые определяются начальными условиями.

│Z_l│<1, т.е. все корни по модулю должны быть меньше 1. На комплексной плоскости корни должны лежать внутри единичной окружности.

Корни характеристического уравнения – полюса передаточной функции. Рекурсивный фильтр устойчив тогда, когда его полюса лежат внутри единичной окружности. Однако, устойчивость м.б. обеспечена и при нахождении полюсов за единичной окружностью. Это возможно, когда знаменатель передаточной функции имеет корни в этих же точках. Из выражения

следует еще одно условие устойчивости:

Эти критерии устойчивости относятся только к линейным дискретным фильтрам, т.е. когда отсутствует квантование отсчетов, и все арифметические операции выполняются точно.

20.Разновидности нерекурсивных фильтров и требования к ним.

НФ

ЛФЧХ

МФ

ЛФЧХ (с линейной фазочастотной характеристикой) делятся на 4 вида и различаются способом записи частотной характеристики:

1) N – нечетная, b_l=b_N-i-l, коэффициент симметричный;

2) N – четная, b_l=b_N-i-l, коэффициент симметричный;

3) N – нечетная, b_l=-b_N-i-l, коэффициент антисимметричный;

4) N – четная, b_l=-b_N-i-l, коэффициент антисимметричный.

Основное свойство передаточной функции фильтров заключается в том, что передаточную функцию можно представить в виде произведения 3х передаточных функций:

H_лфчх(Z)=H₁(Z)H₂(Z)H₃(Z)

При этом ее свойства таковы, что: . Отличается тем, что нули H₁(Z) совпадают с нулями общей функции H(Z), расположенным внутри единичной окружности или лежащим на единичной окружности. При этом они имеют четную кратность. Нули H₁(Z) совпадают с нулями H(Z), расположенных вне единичной окружности.

;

Z1^(1)

Z1^(2)

Z1^(3)

Z2^(1)

Z2^(2)

Z2^(3)

Z3

Z4

Передаточная функция H₃(Z)=const или ее нули совпадают с нулями исходной передаточной функции, расположенных на единичной окружности и имеющих нечетную кратность.

Фильтры первой группы применяются обычно в качестве избирательных фильтров, преобразователей Гильберта и т.д.

Вторую группу фильтров составляют минимальнофазовые фильтры. У этих фильтров нули передаточной функции находятся только внутри единичной окружности или на ней. Такие фильтры применяются в качестве избирательных, когда ГВЗ д.б. малым.