Особенности практического использования ДПФ.

При использовании ДПФ часто возникают 3 проблемы, из-за которых могут быть сделаны неверные выводы:

1)Появление ложных спектральных составляющих.

2)Размывание спектральных составляющих.

3)Паразитная амплитудная модуляция спектра.

Рассмотрим отдельно:

1)Возникает в том случае, если неправильно выбрана верхняя частота.

Это явление, при котором ВЧ-ые компоненты сигнала могут быть приняты за НЧ-ые. Причина: недостаточная частота дискретизации. Вывод: необходимо правильно выбирать . 2)Это явление всегда имеет место. Причина – ограниченный объем обрабатываемых данных (конечная выборка).

С этим явлением необходимо бороться. Исключить его полностью не удается, однако уменьшить боковые лепестки удается. Для этого используют весовые функции.

Подавление лепестков зависит от используемой весовой функции. Этих весовых функций существует много.

3)Она возникает в том случае, когда по отдельным дискретным отсчетам спектра пытаемся вычислить его значение на других частотах между этими дискретами.

Это связано с тем, что каждый коэффициент Фурье получается пропусканием сигнала через фильтры.

Используется подход, когда преобразуемый массив отсчета сигнала дополняется нулевыми отсчетами.

Позволяет вычислить промежуточные отсчеты.

Алгоритм ДПФ – хороший алгоритм, но у него есть недостаток: большие затраты времени и памяти при вычислении спектра.

10. Быстрое преобразование Фурье (БПФ).

Основная идея этого алгоритма заключается в том, что мы многократно расчленяем исходную выборку на несколько более коротких выборок и выполняем все вычисления с более короткими выборками, а затем по ним, используя свойство линейности, находим спектр исходной последовательности. БПФ – это тоже дискретное преобразование, только организованное специальным образом.

Рассмотрим реализацию алгоритма:

Запишем ДПФ:

; ;

.

Вычисление спектров:

На основе свойства линейности:

- во второй половине.

Эти формулы лежат в основе БПФ, т.е. когда по спектрам полученных массивов получаем спектр результирующего сигнала.

Обычно их изображают в виде направленного графа:

Рассмотрим массив из 8-ми исходных чисел:

На каждой ступени N/2 – умножений, а всего таких ступеней .

- коэффициент ускорения вычислений

Разновидности БПФ.

Существует много вариантов БПФ. Каждый из них позволяет получить дополнительный выигрыш в скорости вычисления для конкретной ситуации, но все они основаны на идеи проведения вычислений не с N-точечным ДПФ, а вычисление нескольких ДПФ меньшей размерности. Различаются способом разделения на мелкие части. Самый простой вариант, когда размеры массива представляют через целую степень 2. Разновидности: с прореживанием по времени и по частоте.

Алгоритм с прореживанием по времени: исходные данные разделяются на четную и нечетную последовательности. Алгоритм с прореживанием по частоте: исходную последовательность делят пополам, и затем вычисляют по ним четные и нечетные отсчеты спектра.

Исходная последовательность делится многократно, пока не дойдем до 2-х точечных массивов. Затем вычисляются промежуточные спектры.

Алгоритм для произвольного .

Разделяют массив: в одном чисел, в другом .

;

;

Окончательное выражение для спектра (n и k подставляем в формулы)

Кроме того, может быть БПФ с произвольным основанием, но чаще с основанием 2,4,16. Существуют еще некоторые специфические алгоритмы.