Предельная дискретизация сигналов с ограниченным спектром.

Наиболее завершенной предельной дискретизацией является дискретизация на основе теоремы Котельникова. В соответствии с этой теоремой мы можем восстановить сигнал по дискретным отсчетам по формуле:

; w_в- верхняя частота в спектре сигнала

Если сигнал конечной длительности, то можно взять только N = T/∆t отсчетов:

-погрешность

; - общая погрешность

Это не корректная модель.

Всегда, когда делается дискретизация возникает вопрос восстановления. Восстановление на практике производится двумя способами: фильтрационным и интерполяционным.

Фильтрационный способ основан на теореме Котельникова.

. Фильтр с такой импульсной характеристикой должен иметь частотную характеристику в виде прямоугольника. Но реально это получить не возможно. Возникают ошибки.

В интерполяционном методе нужно сгенерировать N функций:

и просуммировать. Важно правильно выбрать w_в.

Всегда, когда делают преобразование аналогового сигнала в цифровую форму, ставят фильтр.

wв

ФНЧ

ФНЧ

АЦП

В связи с этими особенностями восстановление по Котельникову на практике не используется. Основная ценность этой теоремы в том, что она доказывает принципиальную возможность восстановления сигнала. Она справедлива только для детерминированных сигналов. Для случайных процессов теорема справедлива в том случае, если спектр сигнала равномерен и ограничен.

На практике чаще всего используются интерполяционные многочлены. Наиболее распространенный многочлен Ла – Гранжа:

К – порядок многочлена; чем больше к, тем больше отсчетов используется для восстановления. Наиболее распространены интерполяции 0, 1 и 2 порядков.

; - приведенная погрешность

Для того, чтобы правильно выбрать частоту дискретизации в соответствии с формулами, необходимо:

-задается или определяется допустимая погрешность, определяется верхняя частота сигнала;

-по верхней частоте находят допустимый интервал дискретизации;

-выбирают вид интерполяции;

-рассчитывают требуемый шаг дискретизации

5. Квантование непрерывных сигналов. Преобразование сигналов в цифровую форму.

Квантование непрерывных сигналов.

Суть квантования по уровню заключается в замене множества значений непрерывного сигнала дискретным конечным множеством заранее установленных значений. При этом непрерывная шкала мгновенных значений сигнала размером x_max заменяется дискретной шкалой, содержащей N_кв значений (уровней). Деления этой шкалы называются уровнями квантования. Интервал между уровнями называется – шаг квантования:

При этом квантование может быть равномерным или неравномерным. Если Δx=const– равномерное квантование. Если Δx≠const - то неравномерное.

Квантование заключается в том, что мгновенному значению сигнала ставится в соответствие уровень квантования. Это производится 3-мя способами:

1) Ближайший снизу.

2) Ближайший сверху

3) Округление

x

X(t)

 

Xкв(t)

 

t

 

Шум квантования

 

-

Основная характеристика этого шума – дисперсия:

- мощность шума

- пик фактор.

Отношение с/ш при квантовании определяется числом уровней квантования и статистикой (пик фактор).

Преобразование дискретизированных сигналов в цифровую форму.

Нужно заменить отсчеты их цифровым изображением в виде чисел в определенной системе счисления. n – основание, r – разряд.

- общее число элементов кода.

Стараются эту величину минимизировать, т.е. найти оптимальную систему счисления.

;

Нужно найти экстремум по n:

;

=> n=e

n		2.72
V/Vopt	1.06		1.006	1.06	1.42	1.58	1.77

Для представления в цифровом виде сигналов двоичная система используется, т.к. она близка к оптимальной и просто реализуются элементы.

 

 

8. Дискретное преобразование Фурье. Свойства ДПФ.

В современной радиотехнике большое количество задач решается в частотной области. Необходимо из сигнала вычислить спектр.

Рис. 1. Непрерывный сигнал и соответствующий ему спектр

Рис. 2. Дискретизированный сигнал и его спектр

Рис. 3. Дискретный спектр и соответствующий ему сигнал

;

- прямое ДПФ

- обратное ДПФ

Свойства ДПФ:

1.Свойство периодичности: ДПФ формирует периодический спектр, а ОДПФ – периодический сигнал.

2.Свойство симметрии: при четном N и действительном

В частности, при , т.е. - действительное число. - тоже действительное число, т.к. .

3.Свойство линейности:

4.Сдвиг

,

Если (умножить) смещать спектр по фазе, то появляется сдвиг сигнала по времени.