Методы расчета спектральных характеристик

В настоящее время традиционные способы определения спектров сигналов основаны на использовании разложения функций в ряды Фурье или представления их интегралами Фурье с применением системы базисных ортогональных функций.

Любая периодическая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле (интервал, на котором функция определена, может быть разбит на конечное число интервалов, в каждом из которых функция непрерывна и монотонна, и во всякой точке разрыва функции существуют переходы от одного конечного значения к другому), может быть представлена рядом Фурье. Если ряд Фурье представлен в тригонометрической форме, то его запись имеет следующий вид:

Для расчета спектральных характеристик непериодического сигнала используются прямое и обратное преобразование Фурье

 

Таким образом, можно сделать вывод, что спектральный анализ является важным методом для обработки сигнала, который позволяет охарактеризовать частотный состав измеряемого сигнала.

 

2 Свойства преобразования Фурье

 

2.1 Необходимость изучения свойств преобразования Фурье

Преобразование Фурье — преобразование функции, превращающее её в совокупность частотных составляющих. Более точно, преобразование Фурье — это интегральное преобразование, которое раскладывает исходную функцию на базисные функции, в качестве которых выступают синусоидальные функции, то есть представляет исходную функцию в виде интеграла синусоид различной частоты, амплитуды и фазы. Оно позволяет выделять регулярные составляющие в сложном колебательном сигнале.

Неоспоримым достоинством преобразования Фурье является его гибкость – преобразование может использоваться как для непрерывных функций времени, так и для дискретных.

Для определения спектра непериодического сигнала (одиночного импульса) рассмотрим спектр периодической последовательности импульсов, устремив период повторения импульсов Т к бесконечности. При этом частота повторения будет стремиться к нулю, расстояние между соседними спектральными линиями будет уменьшаться, и в пределе вместо дискретного спектра получим спектр непрерывный. Для получения формулы спектра одиночного сигнала используется прямое преобразование Фурье, с помощью которого можно получить спектральную плотность сигнала

A для получения синтеза используется обратное преобразование Фурье:

2.2 Свойства преобразования Фурье

Линейность

Спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов.

 

Дано

 

Сдвиг сигнала

Пусть сигнал существует на интервале и имеет спектральную плотность . Задержав сигнал на время , получим новый сигнал на интервале Найдем спектральную плотность такого сигнала.

Вводя новую переменную , получим

В итоге запишем

Вывод: Сдвиг во времени сигнала на величину приводит к изменению фазовой характеристики спектра на величину . Амплитудный спектр не изменяется.

 

Производная сигнала

Дифференцирование сигнала можно рассматривать как почленное дифференцирование всех гармонических составляющих, входящих в его спектр. Гармоническую составляющую сигнала, то есть колебание в полосе частот , можно представить в форме

.

Заключенную в квадратные скобки величину можно рассматривать как амплитуду колебания в полосе частот . Продифференцировав по времени , получим:

,

Спектральная плотность производной равна:

 

В итоге получим:

То есть дифференцирование во временной области равносильно умножению спектра сигнала в частотной области на величину .

Интеграл от сигнала

Проинтегрируем обратное преобразование Фурье:

Получим, что

То есть интегрирование во временной области равносильно делению спектра сигнала на величину .

Смещение спектра сигнала

Применим преобразование Фурье к произведению :

 

Получаем, что

В итоге

 

Таким образом, происходит расщепление спектра на две части, смещенных соответственно на величины + и .

 

Изменение масштаба времени

Пусть колебание подверглось сжатию во времени. Новое сжатое колебание связано с исходным колебанием соотношением Длительность импульса в n раз меньше, чем у исходного импульса. Спектральная плотность сжатого импульса

Вывод: При сжатии сигнала в n раз на временной оси во столько же раз расширяется его спектр, а модуль спектральной плотности при этом уменьшается в n раз. Очевидно, что при растягивании колебаний во времени (то есть при n<1) имеет место сужение спектра у увеличение модуля спектральной плотности.

Таким образом, вследствие большого разнообразия сигналов, для удобства расчета их спектральных характеристик используется прямое и обратное преобразование Фурье, а также его свойства.