Тема 4.6 Бинарные отношения и их свойства.

 

Декартовым произведением двух множеств называется .

Бинарным отношением между множествами А и В называется всякое подмножество их декартового произведения.

Бинарное отношение – множество, состоящее из двоек чисел.

Если тогда бинарным отношением между А и В будет 2^mn.

Среди всех бинарных отношений выделяют две и дают им следующие названия:

1. универсальное бинарное отношение – состоит из всех элементов множества .

2. нулевое бинарное отношение – не содержит ни одного элемента и совпадает с пустым множеством.

Бинарным отношением на множестве А называется любое подмножество

Обратным бинарным отношением к бинарному отношению Р называется множество Р^-1: .

Свойства бинарных отношений:

1) Бинарное отношение Р на множестве А называется рефлексивным, если для любого элемента х множества А, двойка чисел .

2) Бинарное отношение Р называется симметричным, если из того что двойка чисел следует, что .

Бинарное отношение Р называется антисимметричным если из того, что двойка чисел и следует, что .

3) Бинарное отношение называется транзитивным, если из того, что и следует, что .

4) Бинарное отношение Р называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Самостоятельная работа №10.

Контрольная работа

 

Вариант 1

 

Первый уровень сложности – задачи №№ 1,2,3 – оценка “удовлетворительно”

Второй уровень сложности – любые четыре задачи – оценка “хорошо”

Третий уровень сложности – все задачи – оценка “отлично”

 

1. Найти области истинности следующих предикатов:

а). « на множестве действительных чисел R»

б). « на множестве действительных чисел R»

в). « на множестве действительных чисел»

2. Дана формула . Являются ли вхождения переменной x свободными?

3. Высказывательная форма x+y=z, с переменными, упорядоченными по алфавиту и принимающими значения из множества однозначных натуральных чисел, задаёт предикат F(x,y,z). Выпишите тройки чисел, компоненты которых находятся в отношении F.

4. Задано бинарное отношение . Определите свойства заданного бинарного отношения (рефлексивность, симметричность, антисимметричность и транзитивность).

5. Пусть бинарные отношения P и S определены на М, где М-множество всех людей следующим образом:

P= {(x,y) | x,y M,x является отцом y}

S= {(x,y) | x,y M,x - дочь y}

Описать явно следующие отношения:

а). PS b) c). d)

 

Вариант 2

 

Первый уровень сложности – задачи №№ 1,2,3 – оценка “удовлетворительно”

Второй уровень сложности – любые четыре задачи – оценка “хорошо”

Третий уровень сложности – все задачи – оценка “отлично”

 

1. Найти области истинности следующих предикатов:

а). « x,y - множество действительных чисел»

б). « на множестве действительных чисел R»

в). « если и »

2. Дана формула . Являются ли вхождения переменной x связанными?

3. Высказывательная форма «x – среднее арифметическое y и z», с переменными, упорядоченными по алфавиту и принимающими значения из множества однозначных натуральных чисел, задаёт предикат F(x,y,z). Выпишите тройки чисел, компоненты которых находятся в отношении F.

4. Задано бинарное отношение . Определите свойства заданного бинарного отношения (рефлексивность, симметричность, антисимметричность и транзитивность).

5. Пусть бинарные отношения P и S определены на М, где М-множество всех людей следующим образом:

P= {(x,y) | x,y M, x является отцом y}

S= {(x,y) | x,y M, x - дочь y}

Описать явно следующие отношения:

а). b) c). d)

 

Вариант 3

 

Первый уровень сложности – задачи №№ 1,2,3 – оценка “удовлетворительно”

Второй уровень сложности – любые четыре задачи – оценка “хорошо”

Третий уровень сложности – все задачи – оценка “отлично”

 

1. Найти области истинности следующих предикатов:

а). « x - множество действительных чисел»

б). « на множестве натуральных чисел N»

в). « на множестве натуральных чисел N»

2. Дана формула . Являются ли вхождения переменных x и y связанными?

3. Высказывательная форма «y равен квадратному корню из произведения чисел x и z», с переменными, упорядоченными по алфавиту и принимающими значения из множества однозначных натуральных чисел, задаёт предикат F(x,y,z). Выпишите тройки чисел, компоненты которых находятся в отношении F.

4. Задано бинарное отношение . Определите свойства заданного бинарного отношения (рефлексивность, симметричность, антисимметричность и транзитивность).

5. Пусть бинарные отношения P и S определены на М, где М-множество всех людей следующим образом:

P= {(x,y) | x,y M, x является матерью y}

S= {(x,y) | x,y M, x - сын y}

Описать явно следующие отношения:

а). PS b) c). SP d)

 

Вариант 4

 

Первый уровень сложности – задачи №№ 1,2,3 – оценка “удовлетворительно”

Второй уровень сложности – любые четыре задачи – оценка “хорошо”

Третий уровень сложности – все задачи – оценка “отлично”

 

1. Найти области истинности следующих предикатов:

а). « x,y - множество действительных чисел»

б). « на множестве действительных чисел R»

в). « на множестве действительных чисел»

2. Дана формула . Являются ли вхождения переменной y связанными?

3. Высказывательная форма «x+y делится нацело на z», с переменными, упорядоченными по алфавиту и принимающими значения из множества однозначных натуральных чисел, задаёт предикат F(x,y,z). Выпишите тройки чисел, компоненты которых находятся в отношении F.

4. Задано бинарное отношение . Определите свойства заданного бинарного отношения (рефлексивность, симметричность, антисимметричность и транзитивность).

5. Пусть бинарные отношения P и S определены на М, где М-множество всех людей следующим образом:

P= {(x,y) | x,y M, x является отцом y}

S= {(x,y) | x,y M, x - дочь y}

Описать явно следующие отношения:

а). b) c).PS d)