Векторы. Действия над векторами.

Векторы. Действия над векторами.

Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х ={X₁,X₂,...X_n} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X₁,X₂,X₃). n=1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. | AB |=| a | - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одинак-ую длинну.

1.умножение на число: произведение вектора А на число l наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми: а) А || В. б) l>0, то А ­­ В, l<0, то А ­¯ В. в)l>1, то А < В,)l<1, то А > В. 2. Разделить вектор на число n значит умножить его на число, обратное n: а /n= a *(1/n).

3.Суммой неск-их векторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора. 4. Разностью векторов а и в наз-ся вектор c, который, будучи сложенным с вектором в даст вектор а.

 

Декартова прямоугольная система координат. Базис.

Базисом на плоскости называется совокупность фиксированной точки и 2х неколлинеарных векторов, проведенных к ней.

Базисом в пространстве наз. совокупность фиксированной точки в пространстве и 3х некомпланарных векторов.

 

Любой вектор на плоскости может быть разложен по векторам базиса на плоскости. Любой вектор в пространстве может быть разложен по векторам базиса в пространстве.

ОС = OA + OB, OA =x* i, OB =j*y, OC =x i +y j. Числа х,у наз-ся координатами вектора ОС в данном базисе

 

 

 

Действия над векторами.

а =х₁ i +y₁ j +z₁ k; b =х₂ i +y₂ j +z₂ k

l* a =l(х₁ i +y₁ j +z₁ k)= l(х₁) i +l (y₁) j +l(z1) k

a ± b =(x₁±x₂) i +(y₁±y₂) j +(z₁±z₂) k

ab =x₁x₂ ii +y₁x₂ ij +x₂z₁ ki +x₁y₂ ij +y₁y₂ jj + z₁y₂ kj +x₁z₁ ik +y₁z₂ jk +z₁z₂ kk =x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂

ii =1; ij =0; и т.д.

скалярное произведение 2х векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

аа =x²+y²+z²=| a |² a {x,y,z}, aa =| a |*| a |, то a ²=| a| ²

ab =|a|*|b|*cosj

а) ав =0,<=> а ^ в, x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂=0

б) а || в - коллинеарны, если, x₁/x₂=y₁/y₂=z₁/z₂

 

Скалярное произведение векторов и его свойства.

-(“skala”-шкала) 2х векторов а и в наз. число, равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними. (а, в)- скалярное произведение. а * в =| а |*| в |*cosj, j=p/2, cosp/2=0, a^b=> ab =0. Равенство “0” скаляргного произведения необходимое и достаточное условие их перпендикулярности (ортогональности).

 

Векторное произведение 2х векторов.

левая ----- правая

Тройка векторов а, в, с наз. правоориентированной (правой), если с конца 3го вектора с кратчайший поворот от 1го ко 2му вектору мы будем видеть против час. стрелки. Если кратчайший поворот от 1го ко 2му по час. стрелки - левая. Векторным произведением 2х векторов а и в наз. такой вектор с, который удовлетворяет условиям: 1. | c |=| a |*| b |*sinj. 2. c ^ a и c ^ b. 3. тройка а, в, с -правая.

 

Плоскость в пространстве.

Ур-е в плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно заданному вектору.

N -вектор нормали

M₀M {x-x₀,y-y₀,z-z₀}

 

Для того, чтобы точка MÎP, необходимо и достаточно чтобы вектора N ^ M₀M (т.е. N * M₀M =0)

A(x-x₀)+B(y-y₀)+С(z-z₀)=0 - ур-е плоскости, проходящей через данную точку ^вектору.

 

 

Общее уравнение плоскости.

Ax+By+Сz-Ax₀-By₀-Сz₀=0

-Ax₀-By₀-Сz₀=D, где D=Ax+By+Сz

Ax+By+Сz+D=0

Частный случай:

Если D=0, то Ax+By+Сz=0(проходит ч/з 0;0)

Если A=0, то By+Сz+D=0

Если B=0, то Ax +Сz+D=0

Если C=0, то Ax+By+D=0

Если A=B=0, то Сz+D=0

Если A=C=0, то By+D=0

Если A=D=0, то By+Сz=0

Если B=D=0, то Ay+Сz=0

 

Кривые линии 2-го порядка.

Кривые 2го порядка описываются с помощью общего ур-я:

Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0, где

а) Каноническое ур-е эллипса

- Каноническое ур-е эллипса

Если a=b, то x²+b²=a² - ур-е окружности.

б) Ур-е гиперболы: x²/a²-y²/b²=1

в) ур-е параболы: y²=2px или y=ax²

г) ур-е сферы: x²+y²+z²=а² (r²=(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²)

д) ур-е эллипса: x²/a²-y²/b²+z²/c²=1

 

Парабола и ее свойства.

Множество точек плоскости, координаты которых по отношению к системе декартовых координат удовлетворяет уравнению y=ax², где х и у - текущие координаты, а- нек. число, наз. параболой.

Если вершина нах. в О(0,0), то ур-е примет вид

y²=2px-симметрично отн. оси ОХ

х²=2pу-симметрично отн. оси ОУ

Точка F(p/2,0) наз. фокусом параболы, а прямая x=-p/2 - ее директриса.

Любой точке М(х,у), принадлежащей параболе, расстояние до фокуса = r=p/2

Св-ва:

1. парабола предст. собой ¥ точек плоскости, равноотстающих от фокуса и от директрисы y=ax².

 

25.Эллипс и его св-ва:

Кривая второго порядка наз. эллипсом если коэффициенты А и L имеют одинаковые знаки

Аx²+Cy²=d

ур.-е

наз. канонич. ур.-ем эллипса, где При а=в представляет собой ур-е окружности х²+y²=а²

Точки F₁(-c,0) и F₂(c,0) - наз. фокусами эллипса а.

Отношение e=с/а наз. его эксцентриситетом (0<=e<=1)

Точки A₁,A₂,B₁,B₂ -вершины эллипса.

Св-во:
Для любой точки эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянной, =2а.

 

Гипербола и ее св-ва.

Кривая 2го порядка наз. гиперболой, если в ур-ии Ax²+Cy²=d, коэффициент А и С имеют противоположные знаки, т.е. А*С<0

б) Если d>0, то каноническое ур-е гиперболы примет вид: x²/a²-y²/b²=1, F1(c,o) и F₂(-c,0) - фокусы ее, e>0, e=c/a - эксцентриситет.

Св-во:
для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная = 2а.

б) если d=0, ур-е примет вид x²/a²-y²/b²=0, получаем 2 перекрестные прямые х/а±у/b=0

в) если d<0, то x²/a²-y²/b²=-1 - ур-е сопряженной гиперболы.

 

Векторы. Действия над векторами.

Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х ={X₁,X₂,...X_n} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X₁,X₂,X₃). n=1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. | AB |=| a | - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одинак-ую длинну.

1.умножение на число: произведение вектора А на число l наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми: а) А || В. б) l>0, то А ­­ В, l<0, то А ­¯ В. в)l>1, то А < В,)l<1, то А > В. 2. Разделить вектор на число n значит умножить его на число, обратное n: а /n= a *(1/n).

3.Суммой неск-их векторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора. 4. Разностью векторов а и в наз-ся вектор c, который, будучи сложенным с вектором в даст вектор а.