Билет №8 (Линейный оптимальные быстродействия. Теорема для линейных оптимальных быстродействиях)

Рассмотрим управляемые объекты, движение которых описывается линейными уравнениями относительно величин x¹…xⁿ, u¹…u^r, уравнениями вида, , i=1..n, – некоторые постоянные коэффициенты. Одним из наиболее важных случаев, когда u¹…u^r в уравнениях представляют собой отдельный управляющий параметр, область изменения которого не зависит от значений остальных управляющих параметров и задается неравенством a^β<=u^β<=b^β, где β=1…r, эти неравенства определяет r-мерный параллелепипед.

A=

B=

Для того, чтобы записать эти уравнения в векторном виде, мы ввели в рассмотрение матрицы А и В, элементами которых являются коэффициенты . Как обычно, результат применения матрицы А к вектору Х будем записывать Ах, т.е. y=Ax есть n-мерный вектор, координаты которого определяются формулами y’= , i=1…n.

Аналогично для любого r-мерного вектора u=(u¹…u^r) через Вu обозначается n-мерным вектор, i-я координата которого равна , i=1…u. Пользуясь матрицами A и B мы можем записать

Теорема

Пусть u(t)=T, t₀<=t<=t₁ – допустимое управление переводящее фазовую точку из некоторого положения x⁰ЭS₀ в положение

Равновесия. Для оптимального управления u(t) необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло принципу максимума

 

Билет №9 (План решения линейной задачи ОУ)

Линейной задачей ОУ мы будем называть задачу об отыскании оптимального быстродействия в случае, когда выполняются три условия:

1. Уравнение движения объекта – линейное

2. Предписанное конечное состояние совпадает с началом координат в пространстве Хn

3. Областью управления U является n-мерный выпуклый многогранник, при этом начало координат принадлежит этому множеству, но не является его вершинами

 

Систем является системой линейных уравнений с постоянными коэффициентами. В нее не входят переменные xⁱ u^j и поэтому система эта решается независимо от всех остальных уравнений

Система однозначно решается, если задано начальное значение ψ₀=(ψ₁₀… ψ_n0) в момент времени t₀, величины ψ=(ψ₁… ψ_n) и есть первый шаг решения задачи оптимального управления.

Задача

Ψ(t) системы ψ при произвольно заданном начальном значении ψ(t₀)= ψ_0.

Решение этой задачи дается классическими теоремами о линейных ДУ с постоянными коэф. Существуют такие хорошие разработанные приближенные методы решения этой задачи. Так как далее принцип максимума является необходимым условием оптимальности, то всякое управление должно удовлетворять условию максимума. Таким образом в силу принципа максимума в конечном счете траектория x(t) однозначно определяется выбором начального значения ψ₀ – даже произвольно, есть шансы что мы попадем в начало координат. Однако при разных ψ₀, будут получаться разные траектории, исходящие из x₀. Оптимальное управление это такая траектория x(t) при которой u(t) и ψ₀ будут проходить через начало координат. Это непосредственно вытекает из того, что если траектория x(t) ведет в начало координат, то принцип максимума является достаточным условием оптимальности. И тогда следующая задача – задача на поиск траектории, приходящей в начало координат. Используем приближенное линейного решения. Взяв произвольное начальное значение ψ₀ и улучшаем его так, чтобы траектория, соответствующая этому улучшению проходила через начало координат. Если окажется, что процесс последовательных улучшений сравнительно быстро сходится к требуемому значению, то таким образом мы получаем возможность к приближенному решению.