Тема 14. Парная линейная регрессия

 

Справочный материал

 

· Регрессия Y на Х – функция зависимости математического ожидания переменной случайной величины Y от переменной случайной величины Х.

 

· Линия регрессии Y на Х – график функции регрессии Y на Х.

 

· Диаграмма рассеяния – нанесенные на координатную плоскость точки выборки двумерной случайной величины {(х_j, y_j)}.

 

· Метод наименьших квадратов – оценка числовых параметров, входящих в выбранное уравнение линии регрессии y = y (х), обеспечивающая наилучшее приближение графика этой линии ко всем точкам {(х_j, y_j)} выборки, путем минимизации функции соответствующих параметров .

 

· Выборочное уравнение линейной регрессии Y на Х: y = а + bх, где числовой параметр а – свободный член; числовой параметр b –коэффициент регрессии; b = , а = , и – выборочные средние случайных величин Х и Y, – выборочная дисперсия случайной величины Х, – выборочная ковариация Х и Y: = = , – выборочное среднее произведения случайных величин Х×Y: = .

· Выборочный коэффициент корреляции – точечная оценка меры тесноты (степени проявления) линейной корреляционной зависимости между двумя случайными величинами X и Y: , где , – выборочные СКО случайных величин Х и Y соответственно.

· Значимость линейной корреляционной связи между переменными X и Y по величине коэффициента корреляции в случае, когда объем выборки n >> 1, предлагается оценочно определять следующим образом:

Ø если = 0, то между X и Y линейная корреляционная связь отсутствует (при этом не исключена нелинейная корреляционная зависимость этих величин);

Ø если | | < , где n – объем выборки, то линейная корреляционная связь между X и Y маловероятна, то есть, может считаться незначимой;

Ø если ≤ | | ≤ 0,6, то между X и Y линейная корреляционная связь достаточно вероятна;

Ø если 0,6 < | | ≤ 0,8, то между X и Y линейная корреляционная связь тесная;

Ø если 0,8 ≤ | | < 1, то между X и Y линейная корреляционная связь очень тесная;

Ø если | | = 1, то X и Y распределены по нормальному закону и между ними имеет место линейная функциональная связь, то есть, Y = А + ВX.

· Алгоритмическая схема построения уравнения линейной регрессии y = а + bх по таблице статистической зависимости переменных случайных величин X и Y:

 

хj	x 1	x 2	…	xn
yj	y 1	y 2	…	yn

 

1) Определить объем выпорки n.

2) Найти выборочные средние = ; .

3) Заполнить расчетную таблицу:

 

j	х –	y –	(х – )^2	(y – )^2	(х – )∙(y – )
…
n
			∑(х – )^2	∑(y – )^2	∑(х – )∙(y – )

 

4) По значению сумм в трех последних столбцах, вычислить выборочные дисперсии , и выборочную ковариацию делением этих сумм на объем выборки n соответственно.

5) Найти выборочные стандартные отклонения и , и выборочный коэффициент корреляции = . По значению │ │ сделать вывод о значимости линейной корреляционной связи между переменными X и Y.

 

6) Найти параметры выборочного уравнения линейной регрессии Y на X: y = а + bх, где b = , а = .

7) Построить график прямой y = а + bх (желательно на фоне диаграммы рассеяния точек {(х_j, y_j)} выборки).

 

· Интерполяция – получение оценки математического ожидания значения переменной случайной величины Y для произвольного фиксированного значения в пределах интервала полученных вариант переменной величины X; точность оценки значения = а + b при интерполяции совпадает с точностью, с которой получено само выборочное уравнение регрессии.

 

· Экстраполяция – получение оценки математического ожидания значения переменной случайной величины Y для произвольного фиксированного значения вне интервала полученных вариант переменной величины X; точность оценки прогнозного значения = а + b при экстраполяции определяется доверительным интервалом: – d < M (y)_{фактич.} < + d, где d = t_γ (g, n– 1)× s (), g – доверительная вероятность, t_γ (g, n– 1) – коэффициент Стьюдента, n – объем выборки, средняя стандартная ошибка прогноза .

Задачи

 

14.1. В таблице приведены статистические данные числа дорожно-транспортных происшествий Y (в тыс.) в регионе в течение соответствующего года X:

 

хj
yj

 

В предположении линейной модели парной регрессии составить выборочное уравнение регрессии Y на X и определить прогнозное значение в 2015 году

Указание: для упрощения расчетов года отсчитывать от 2000-го года.

 

14.2. В таблице приведены среднее содержание в пробах руды окиси железа X и закиси железа Y в %:

 

хj
yj

 

В предположении линейной модели регрессии составить выборочное уравнение регрессии Y на X и сделать вывод о тесноте линейной корреляционной связи между рассматриваемыми переменными величинами.

 

14.3. В таблице приведены данные по основным фондам X однотипных предприятий (в млн. руб.) и средней себестоимости единицы продукции Y (в руб.):

 

хj
yj

В предположении линейной модели регрессии составить выборочное уравнение регрессии Y на X и сделать вывод о тесноте линейной корреляционной связи между рассматриваемыми переменными величинами.

 

14.4. В таблице приведены данные по ежегодным объемам средств, расходуемым предприятием-изготовителем на рекламу различной продукции X, и ежемесячным объемам реализации соответствующей продукции Y (в приведенных денежных единицах):

 

хj	1,2	1,4	1,6	1,8		2,2	2,4	2,6	2,8
yj

 

В предположении линейной модели регрессии составить выборочное уравнение регрессии Y на X и сделать вывод о тесноте линейной корреляционной связи между рассматриваемыми переменными величинами.

 

14.5. В таблице приведены данные по показателю использования в нескольких конструкторского бюро современных информационных технологий в условных единицах X и относительным срокам нахождения в этих бюро оптимального технического решения Y:

 

хj
yj

 

В предположении линейной модели регрессии составить выборочное уравнение регрессии Y на X и сделать вывод о тесноте линейной корреляционной связи между рассматриваемыми переменными величинами.

 

14.6. Построить диаграмму рассеяния и линию регрессии y = a + bx по выборочным данным случайных величин Х и Y:

 

14.6.1.

xi

14.6.2.

xi

yi

yi

 

14.6.5.

xi

14.6.6.

xi

yi

yi

 

14.6.7.

xi

14.6.8.

xi

yi

yi

 

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1.

Значения функции стандартного распределения j (x) =

x	с о т ы е д о л и x
0,0	0,3989	0,3989	0,3989	0,3988	0,3986	0,3984	0,3982	0,3980	0,3977	0,3973
0,1	0,3970	0,3965	0,3961	0,3956	0,3951	0,3945	0,3939	0,3932	0,3925	0,3918
0,2	0,3910	0,3902	0,3894	0,3885	0,3876	0,3867	0,3857	0,3847	0,3836	0,3825
0,3	0,3814	0,3802	0,3790	0,3778	0,3765	0,3752	0,3739	0,3726	0,3712	0,3697
0,4	0,3683	0,3668	0,3653	0,3637	0,3621	0,3605	0,3589	0,3572	0,3555	0,3538
0,5	0,3521	0,3508	0,3485	0,3467	0,3448	0,3429	0,3410	0,3391	0,3372	0,3352
0,6	0,3332	0,3312	0,3292	0,3271	0,3251	0,3230	0,3209	0,3187	0,3166	0,3144
0,7	0,3123	0,3101	0,3079	0,3056	0,3034	0,3011	0,2989	0,2966	0,2943	0,2920
0,8	0,2897	0,2874	0,2850	0,2827	0,2803	0,2780	0,2756	0,2732	0,2709	0,2685
0,9	0,2661	0,2637	0,2613	0,2589	0,2565	0,2541	0,2516	0,2492	0,2468	0,2444
1,0	0,2420	0,2396	0,2371	0,2347	0,2323	0,2299	0,2275	0,2251	0,2227	0,2203
1,1	0,2179	0,2155	0,2131	0,2107	0,2083	0,2059	0,2036	0,2012	0,1989	0,1965
1,2	0,1942	0,1919	0,1895	0,1872	0,1849	0,1826	0,1804	0,1781	0,1758	0,1736
1,3	0,1714	0,1691	0,1669	0,1647	0,1626	0,1604	0,1582	0,1561	0,1539	0,1518
1,4	0,1497	0,1476	0,1456	0,1435	0,1415	0,1394	0,1374	0,1354	0,1334	0,1315
1,5	0,1295	0,1276	0,1257	0,1238	0,1219	0,1200	0,1182	0,1163	0,1145	0,1127
1,6	0,1109	0,1092	0,1074	0,1057	0,1040	0,1023	0,1006	0,0989	0,0973	0,0957
1,7	0,0940	0,0925	0,0909	0,0893	0,0878	0,0863	0,0848	0,0833	0,0818	0,0804
1,8	0,0790	0,0775	0,0761	0,0748	0,0734	0,0721	0,0707	0,0694	0,0681	0,0669
1,9	0,0656	0,0644	0,0632	0,0620	0,0608	0,0596	0,0584	0,0573	0,0562	0,0551
2,0	0,0540	0,0529	0,0519	0,0508	0,0498	0,0488	0,0478	0,0468	0,0459	0,0449
2,1	0,0440	0,0431	0,0422	0,0413	0,0404	0,0396	0,0387	0,0379	0,0371	0,0363
2,2	0,0355	0,0347	0,0339	0,0332	0,0325	0,0317	0,0310	0,0303	0,0297	0,0290
2,3	0,0283	0,0277	0,0270	0,0264	0,0258	0,0252	0,0246	0,0241	0,0235	0,0229
2,4	0,0224	0,0219	0,0213	0,0208	0,0203	0,0198	0,0194	0,0189	0,0184	0,0180
2,5	0,0175	0,0171	0,0167	0,0163	0,0158	0,0154	0,0151	0,0147	0,0143	0,0139
2,6	0,0136	0,0132	0,0129	0,0126	0,0122	0,0119	0,0116	0,0113	0,0110	0,0107
2,7	0,0104	0,0101	0,0099	0,0096	0,0093	0,0091	0,0088	0,0086	0,0084	0,0081
2,8	0,0079	0,0077	0,0075	0,0073	0,0071	0,0069	0,0067	0,0065	0,0063	0,0061
2,9	0,0060	0,0058	0,0056	0,0055	0,0053	0,0051	0,0050	0,0048	0,0047	0,0046
3,0	0,0044	0,0043	0,0042	0,0040	0,0039	0,0038	0,0037	0,0036	0,0035	0,0034
3,1	0,0033	0,0032	0,0031	0,0030	0,0029	0,0028	0,0027	0,0026	0,0025	0,0025
3,2	0,0024	0,0023	0,0022	0,0022	0,0021	0,0020	0,0020	0,0019	0,0018	0,0018
3,3	0,0017	0,0017	0,0016	0,0016	0,0015	0,0015	0,0014	0,0014	0,0013	0,0013
3,4	0,0012	0,0012	0,0012	0,0011	0,0011	0,0010	0,0010	0,0010	0,0009	0,0009
3,5	0,0009	0,0008	0,0008	0,0008	0,0008	0,0007	0,0007	0,0007	0,0007	0,0006
3,6	0,0006	0,0006	0,0006	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0004
3,7	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003
3,8	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002
3,9	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0001	0,0001
Для 4,00 ≤ x ≤ 4,23значение функции с точностью до четырех знаков после запятой равно 0,0001
Для x ≥ 4,24значение функции с точностью до четырех знаков после запятой равно 0,0000

 

Приложение 2.

Значения нормированной функции лапласа F (x) =

x	с о т ы е д о л и x
0,0	0,0000	0,0040	0,0080	0,0120	0,0160	0,0199	0,0239	0,0279	0,0319	0,0359
0,1	0,0398	0,0438	0,0478	0,0517	0,0557	0,0596	0,0636	0,0675	0,0714	0,0753
0,2	0,0793	0,0832	0,0871	0,0910	0,0948	0,0987	0,1026	0,1064	0,1103	0,1141
0,3	0,1179	0,1217	0,1255	0,1293	0,1331	0,1368	0,1406	0,1443	0,1480	0,1517
0,4	0,1554	0,1591	0,1628	0,1664	0,1700	0,1736	0,1772	0,1808	0,1844	0,1879
0,5	0,1915	0,1950	0,1985	0,2019	0,2054	0,2088	0,2123	0,2157	0,2190	0,2224
0,6	0,2257	0,2291	0,2324	0,2357	0,2389	0,2422	0,2454	0,2486	0,2517	0,2549
0,7	0,2580	0,2611	0,2642	0,2673	0,2704	0,2734	0,2764	0,2794	0,2823	0,2852
0,8	0,2881	0,2910	0,2939	0,2967	0,2995	0,3023	0,3051	0,3078	0,3106	0,3133
0,9	0,3159	0,3186	0,3212	0,3238	0,3264	0,3289	0,3315	0,3340	0,3365	0,3389
1,0	0,3413	0,3438	0,3461	0,3485	0,3508	0,3531	0,3554	0,3577	0,3599	0,3621
1,1	0,3643	0,3665	0,3686	0,3708	0,3729	0,3749	0,3770	0,3790	0,3810	0,3830
1,2	0,3849	0,3869	0,3888	0,3907	0,3925	0,3944	0,3962	0,3980	0,3997	0,4015
1,3	0,4032	0,4049	0,4066	0,4082	0,4099	0,4115	0,4131	0,4147	0,4162	0,4177
1,4	0,4192	0,4207	0,4222	0,4236	0,4251	0,4265	0,4279	0,4292	0,4306	0,4319
1,5	0,4332	0,4345	0,4357	0,4370	0,4382	0,4394	0,4406	0,4418	0,4429	0,4441
1,6	0,4452	0,4463	0,4474	0,4484	0,4495	0,4505	0,4515	0,4525	0,4535	0,4545
1,7	0,4554	0,4564	0,4573	0,4582	0,4591	0,4599	0,4608	0,4616	0,4625	0,4633
1,8	0,4641	0,4649	0,4656	0,4664	0,4671	0,4678	0,4686	0,4693	0,4699	0,4706
1,9	0,4713	0,4719	0,4726	0,4732	0,4738	0,4744	0,4750	0,4756	0,4761	0,4767
2,0	0,4772	0,4778	0,4783	0,4788	0,4793	0,4798	0,4803	0,4808	0,4812	0,4817
2,1	0,4821	0,4826	0,4830	0,4834	0,4838	0,4842	0,4846	0,4850	0,4854	0,4857
2,2	0,4861	0,4864	0,4868	0,4871	0,4875	0,4878	0,4881	0,4884	0,4887	0,4890
2,3	0,4893	0,4896	0,4898	0,4901	0,4904	0,4906	0,4909	0,4911	0,4913	0,4916
2,4	0,4918	0,4920	0,4922	0,4925	0,4927	0,4929	0,4931	0,4932	0,4934	0,4936
2,5	0,4938	0,4940	0,4941	0,4943	0,4945	0,4946	0,4948	0,4949	0,4951	0,4952
2,6	0,4953	0,4955	0,4956	0,4957	0,4959	0,4960	0,4961	0,4962	0,4963	0,4964
2,7	0,4965	0,4966	0,4967	0,4968	0,4969	0,4970	0,4971	0,4972	0,4973	0,4974
2,8	0,4974	0,4975	0,4976	0,4977	0,4977	0,4978	0,4979	0,4979	0,4980	0,4981
2,9	0,4981	0,4982	0,4982	0,4983	0,4984	0,4984	0,4985	0,4985	0,4986	0,4986
3,0	0,4987	0,4987	0,4987	0,4988	0,4988	0,4989	0,4989	0,4989	0,4990	0,4990
3,1	0,4990	0,4991	0,4991	0,4991	0,4992	0,4992	0,4992	0,4992	0,4993	0,4993
3,2	0,4993	0,4993	0,4994	0,4994	0,4994	0,4994	0,4994	0,4995	0,4995	0,4995
3,3	0,4995	0,4995	0,4995	0,4996	0,4996	0,4996	0,4996	0,4996	0,4996	0,4997
3,4	0,4997	0,4997	0,4997	0,4997	0,4997	0,4997	0,4997	0,4997	0,4997	0,4998
3,5	0,4998	0,4998	0,4998	0,4998	0,4998	0,4998	0,4998	0,4998	0,4998	0,4998
3,6	0,4998	0,4998	0,4998	0,4998	0,4998	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999
3,7	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999
3,8	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999
Для x ≥ 3,9значение функции с точностью до четырех знаков после запятой равно 0,5000

 

 

Приложение 3.

Значения функции для 0 ≤ x< 1, e ≈ 2,7183

x	с о т ы е д о л и x
0,0	1,0000	0,9900	0,9802	0,9704	0,9608	0,9512	0,9418	0,9324	0,9231	0,9139
0,1	0,9048	0,8958	0,8869	0,8781	0,8694	0,8607	0,8521	0,8437	0,8353	0,8270
0,2	0,8187	0,8106	0,8025	0,7945	0,7866	0,7788	0,7711	0,7634	0,7558	0,7483
0,3	0,7408	0,7334	0,7261	0,7189	0,7118	0,7047	0,6977	0,6907	0,6839	0,6771
0,4	0,6703	0,6637	0,6570	0,6505	0,6440	0,6376	0,6313	0,6250	0,6188	0,6126
0,5	0,6065	0,6005	0,5945	0,5886	0,5827	0,5769	0,5712	0,5655	0,5599	0,5543
0,6	0,5488	0,5434	0,5379	0,5326	0,5273	0,5220	0,5169	0,5117	0,5066	0,5016
0,7	0,4966	0,4916	0,4868	0,4819	0,4771	0,4724	0,4677	0,4630	0,4584	0,4538
0,8	0,4493	0,4449	0,4404	0,4360	0,4317	0,4274	0,4232	0,4190	0,4148	0,4107
0,9	0,4066	0,4025	0,3985	0,3946	0,3906	0,3867	0,3829	0,3791	0,3753	0,3716

Примечание

1. Значения функции e ^{– x}, содержащей только тысячные доли в показателе, приведены в таблице

е^– ^0,001 = 0,9990	е^– ^0,004 = 0,9960	е^– ^0,007 = 0,9930
е^– ^0,002 = 0,9980	е^– ^0,005 = 0,9950	е^– ^0,008 = 0,9920
е^– ^0,003 = 0,9970	е^– ^0,006 = 0,9940	е^– ^0,009 = 0,9910

 

2. При расчете значений функций с показателем степени, содержащим десятые, сотые и тысячные доли, можно использовать обе вышеприведенные таблицы. Например, e ^{– 0,825}= e ^{– 0,82}∙ e ^{– 0,005} ≈ 0,4404 ∙ 0,9950 ≈ 0,4382.

 

3. При расчете значений функции e ^{– x} при x ≥ 1 можно использовать алгебраические преобразования. Например,

e ^{– 1}≈ ≈ 0,3679;

e ^{– 1,5}= e ^{– 1}∙ e ^{– 0,5}≈ 0,3679 ∙ 0,6065 ≈ 0,2231 или e ^{– 1,5}= e ^{– 0,75}∙ e ^{– 0,75}≈ (0,4724)² ≈ 0,2231;

e ^{– 3,5} = e ^{– 3}∙ e ^{– 0,5}≈ (0,3679)³∙ 0,6065 ≈ 0,0302.

 

4. Для получения значения функции с любой требуемой точностью можно использовать формулу разложения этой функции в ряд Маклорена, сходящийся для всех x:

(при этом погрешность получаемого значения функции определяется абсолютной величиной первого отброшенного члена ряда).

 

5. При расчете значений функции с положительным показателем можно воспользоваться соотношением e ^а ≈ ^{– а}. Например, e ^0,825 = 1/ e ^{– 0,825} ≈ 1/0,4382 ≈ 2,282.

 

 

Приложение 4.

Значения коэффициентов стьюдента t_γ = t (γ, n)

(n – объем выборки, γ – доверительная вероятность)

 

γ n	γ = 0,8	γ = 0,9	γ = 0,95	γ = 0,98	γ = 0,99	γ = 0,999
	1,886	2,920	4,303	6,965	9,925	31,599
	1,638	2,353	3,182	4,541	5,841	12,924
	1,533	2,132	2,776	3,747	4,604	8,610
	1,476	2,015	2,571	3,365	5,032	6,859
	1,440	1,943	2,447	3,143	3,707	5,959
	1,415	1,895	2,365	2,998	3,499	5,405
	1,397	1,860	2,306	2,896	3,355	5,401
	1,383	1,833	2,262	2,821	3,250	4,781
	1,372	1,812	2,228	2,764	3,169	4,587
	1,363	1,796	2,201	2,718	3,106	4,437
	1,356	1,782	2,179	2,681	3,055	4,318
	1,350	1,771	2,160	2,650	3,012	4,221
	1,345	1,761	2,145	2,624	3,977	4,140
	1,341	1,753	2,131	2,602	2,947	4,073
	1,337	1,746	2,120	2,583	2,921	4,015
	1,333	1,740	2,110	2,567	2,898	3,965
	1,330	1,734	2,101	2,552	2,878	3,922
	1,328	1,729	2,093	2,539	2,861	3,883
	1,325	1,725	2,086	2,528	2,845	3,850
	1,323	1,721	2,080	2,518	2,831	3,819
	1,321	1,717	2,074	2,508	2,819	3,792
	1,319	1,714	2,069	2,500	2,807	3,767
	1,318	1,711	2,064	2,492	2,797	3,745
	1,316	1,708	2,060	2,485	2,787	3,725
	1,315	1,706	2,056	2,479	2,779	3,707
	1,314	1,703	2,052	2,473	2,771	3,690
	1,313	1,701	2,048	2,467	2,763	3,674
	1,311	1,699	2,045	2,462	2,756	3,659
	1,307	1,692	2,032	2,443	2,720	3,600
	1,304	1,685	2,023	2,426	2,708	3,558
	1,301	1,681	2,016	2,415	2,692	3,527
	1,299	1,677	2,009	2,405	2,679	3,502
	1,296	1,672	2,001	2,391	2,662	3,464
	1,294	1,668	1,996	2,383	2,649	3,439
	1,292	1,664	1,991	2,376	2,640	3,418
	1,291	1,662	1,987	2,370	2,633	3,403
	1,290	1,660	1,984	2,365	2,627	3,392
	1,289	1,658	1,980	2,358	2,617	3,374
	1,288	1,656	1,976	2,353	2,609	3,357
	1,286	1,653	1,972	2,345	2,601	3,340
	1,283	1,648	1,965	2,334	2,586	3,310
∞	1,282	1,645	1,960	2,326	2,576	3,291

 

 

Приложение 5.