Тема 13. Статистические оценки

Справочный материал

 

· Генеральная совокупность – исходное множество всех объектов с исследуемым признаком. Количество объектов N в генеральной совокупности называется объемом генеральной совокупности.

· Выборочная совокупность (выборка) – подмножество объектов генеральной совокупности, отбираемых для непосредственного исследования. Количество объектов n в выборочной совокупности называется объемом выборочной совокупности.

· Варианты – различные числовые значения исследуемого признака объектов выборки.

· Эмпирическая частота варианты – число n_j, показывающее сколько раз варианта х_j встречается в выборке объемом n; , где m – число различных вариант в выборке.

· Эмпирическая частость варианты – число n_j ∕ n, показывающее долю объектов выборки, приходящихся на варианту х_j; = 1, где m – число различных вариант в выборке.

· Статистическое распределение выборки – соответствие между вариантами и их эмпирическими частотами или частостью.

· Выборочное среднее – среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности в выборке: = , где х_k – значения признака генеральной совокупности, получаемые при исследовании каждого объекта выборки, n – объем выборки, m – число различных вариант в выборке, х_j – варианты; n_j – частота варианты.

· Выборочная дисперсия – среднее арифметическое квадратов отклонения значений признака генеральной совокупности в выборке от выборочного среднего: = , где – выборочное среднее квадрата значения признака генеральной совокупности.

· Выборочное среднее квадратическое отклонение (выборочное СКО) – корень квадратный из выборочной дисперсии; для нормально распределенной генеральной совокупности – выборочное стандартное отклонение.

· Точечная оценка – число, получаемое на основе выборочных данных для оценки числовой характеристики распределения значения признака генеральной совокупности (далее – оценки параметра генеральной совокупности); поскольку выборочные данные – случайные величины, то и точечная оценка – случайная величина.

 

· Несмещенная точечная оценка – точечная оценка , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру генеральной совокупности q при любом объеме выборки.

 

· Несмещенная оценка математического ожидания параметра генеральной совокупности – выборочное среднее .

 

· Несмещенная оценка дисперсии параметра генеральной совокупности – исправленная выборочная дисперсия , где n – объем выборки, называется исправленным выборочным средним квадратическим/стандартным отклонением.

 

· Интервальная оценка – интервал числовых значений, получаемый на основе выборочных данных для оценки параметра генеральной совокупности; поскольку выборочные данные – случайные величины, то границы интервала, в пределах которого с некоторой вероятностью окажется оцениваемый параметр, – случайные величины.

 

· Доверительная вероятность γ (надежность оценки) – вероятность того, что значение оцениваемого параметра генеральной совокупности окажется в пределах полученной интервальной оценки.

 

· Уровень значимости α – вероятность того, что значение оцениваемой числовой характеристики генеральной совокупности окажется вне полученной интервальной оценки: α = 1 – γ, где γ – доверительная вероятность.

 

· Доверительный интервал – числовой интервал, обычно, с симметричными относительно полученной несмещенной точечной оценки границами ( – δ, + δ), в который с заданной доверительной вероятностью попадает значение оцениваемого параметра генеральной совокупности q, т.е. – δ < q < + δ с доверительной вероятностью γ.

· Точность оценки δ – модуль разности граничного значения доверительного интервала и значения точечной оценки, относительно которого этот интервал построен.

 

· Точность оценки математического ожидания нормального распределения генеральной совокупности: δ = tσ ∕ , если известно стандартное отклонение σ генеральной совокупности, и δ = t_γ s ∕ , если не известно стандартное отклонение σ генеральной совокупности, где n – объем выборки, s – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, γ – заданная доверительная вероятность, t – параметр, определяемый из уравнения F (t) = γ ∕ 2; F (х) – нормированная функция Лапласа, t_γ – коэффициент Стьюдента.

 

· Точность оценки стандартного отклонения нормального распределения генеральной совокупности: δ = sq (γ, n), q (γ, n) – параметр, табулированные значения которого приведены в Приложении 5; поскольку доверительный интервал для стандартного отклонения определяется как s – sq (γ, n) < σ < s + sq (γ, n) или s (1 – q) < σ < s (1 + q)), то при 1 – q < 0 в силу неотрицательности σ в качестве нижней границы доверительного интервала следует считать 0.

 

Задачи

 

13.1. Найти несмещенную оценку математического ожидания генеральной совокупности по следующему статистическому распределению выборки:

xj
nj

 

13.2. Найти несмещенные оценки математического ожидания и стандартного отклонения по следующему статистическому распределению выборки для случайной величины Х генеральной совокупности:

 

xj	– 2	–1
nj

 

13.3. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному статистическому распределению выборки:

 

xj
nj

 

13.4. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если генеральное стандартное отклонение σ = 5, выборочное среднее = 14 и объем выборки n = 25.

 

13.5. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожидания нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если генеральное стандартное отклонение σ = 10, выборочная средняя = 40, объем выборки n = 25.

 

13.6. Из генеральной совокупности извлечена выборка объемом n = 10:

 

xj	– 2
nj

 

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

 

13.7. а) По данным выборки оценить доверительный интервал значения математического ожидания нормальной случайной величины признака генеральной совокупности с надежностью g = 0,95.

б) Используя формулы для доверительного интервала математического ожидания случайной величины Х, определить эквивалентное значение стандартного отклонения σ этого признака генеральной совокупности.

 

xj
nj

 

13.8. Из генеральной совокупности с нормально распределенной случайной величиной Х извлечена выборка объемом n = 10. Исправленное стандартное отклонение выборки составило s = 0,2. Найти доверительный интервал, накрывающий генеральное стандартное отклонение s (X) с надежностью g = 0,999.

 

13.9. Из генеральной совокупности с нормально распределенной случайной величиной Х со стандартным отклонением s = 4 извлечена выборка объемом n = 25. Получено выборочное среднее = 10. С какой вероятностью математическое ожидание генеральной совокупности а окажется в интервале (8; 12)?