Тема 11. Неравенства маркова и чебышева 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Тема 11. Неравенства маркова и чебышева



 

Справочный материал

 

· Неравенство Маркова: если все значения случайной величины Х неотрицательны, то вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, превосходящее заданное число Q > 0, удовлетворяет неравенству Маркова: р (Х > Q) ≤ аQ, где а = М (Х) – математическое ожидание Х; для противоположного события: р (ХQ) ≥ 1 – а Q.

 

· Неравенство Чебышёва: вероятность того, что абсолютное значение центрированной случайной величины превзойдет заданное число ε > 0, удовлетворяет неравенству Чебышёва: р (│ Ха │> ε) ≤ σ 2e 2, где а = М (Х) – математическое ожидание Х, σ 2 = D (X) – дисперсия Х; для противоположного события: р (│ Ха │≤ e) ≥ 1 – σ 2e 2.

· Алгоритмическая схема оценки вероятности с помощью неравенств Маркова и Чебышева –

 

Установить случайную величину Х искомого события. Исследовать область возможных значений, принимаемых Х. Установить область значений Х для рассчитываемой вероятности.

 

               
 
 
     
 
   

 


нет

 


Выполняются условия использования неравенства Чебышёва: 1. Известно или можно рассчитать дисперсию D (X) = σ 2. 2. Возможные отклонения Х симметричны относительно М (Х) = а в исходном интервале или вне исходного (модуль | Ха | ограничен числом e > 0). 3. Неравенство нетривиально, то есть, σ 2 < e 2.

Выполняются условия использования неравенства Маркова: 1. Х ≥ 0, Q > 0. 2. Известно или можно рассчитать математическое ожидание М (Х) = а. 3. Неравенство нетривиально, то есть, а < Q.

 

 


Установить необходимую форму неравенства Чебышёва: р (│ Ха │> ε) ≤ σ 2e 2 или р (│ Ха │≤ e) ≥ 1 – σ 2e 2. В условиях схемы Бернулли при отсутствии информации о вероятностях p = p (A) и q = 1 – р воспользоваться неравенством рq ≤ 0,25.
Установить необходимую форму неравенства Маркова: р (Х > Q) ≤ а Q или р (Х Q) ≥ 1 – а Q и выполнить соответствующий расчет оценки. При наличии либо возможности получения сведений о дисперсии D (X) = σ 2 рассчитать оценку искомой интервальной вероятности согласно одной из соответствующих систем: или

 


Задачи

 

11.1. Номинальный размер выпускаемой детали а = 10 мм с допуском ±0,1 мм. Оценить вероятность того, что взятая наудачу деталь из произведенной продукции окажется бракованной, если СКО размера детали при изготовлении s = 0,05 мм.

 

11.2. Вероятность приезда в санаторий родителя с детьми равна 0,2. Оценить вероятность того, что из 600 прибывших в санаторий взрослых число родителей с детьми окажется в пределах от 100 до 140 включительно.

 

11.3. Среднее число телевизоров, получаемых ремонтной мастерской в течение недели, равно 10 при СКО 4. Оценить вероятность того, что в предстоящую неделю в мастерскую поступят не более 25 телевизоров.

 

11.4. Вероятность выхода из строя очистительного сооружения за год равна 0,005. Оценить вероятность того, что из работающих 50 сооружений за год выйдет из строя более одного.

 

11.5. Согласно статистическим данным 20 % всех регионов страны имеют «потребительскую корзину», превышающую доход средней семьи. Оценить вероятность того, что из 40 случайно выбранных регионов «потребительская корзина» окажется непомерной для средней семьи не более чем в 10 из них.

 

11.6. Число яиц, бракуемых на птицефабрике, составляет 5% от общего числа ежедневного производства. Оценить вероятность того, что из 2000 снесенных курами за сутки яиц число отбракованных окажется не менее 50, но не более 150.

 

11.7. Вероятность задержки рейса самолета по техническим причинам равна 0,03. Оценить вероятность того, что из 1200 планируемых в течение месяца вылетов из аэропорта произойдет по этим причинам задержка более 72 рейсов.

 

11.8. Среднее число подключений абонентов на АТС за минуту равно 120. Оценить вероятность того, что в течение одной минуты произойдет более 500 подключений.

 

11.9. На телефонной станции неправильное коммутационное подключение к абоненту происходит с вероятностью 1/200. Оценить вероятность того, что в процессе 1000 подключений число неправильных окажется не более 10.

 

11.10. Номинальное значение диаметра втулки равно 5 мм, а дисперсия, вследствие погрешностей при изготовлении, не превосходит 0,01. Оценить вероятность того, что размер втулки будет отличаться от номинала не более чем на 0,5 мм.

 

11.11. Случайная величина Х имеет закон распределения:

 

хj       4,5    
pj 0,1 0,4 0,3 0,05 0,05 0,1

 

Пользуясь неравенством Маркова, оценить вероятность того, что случайная величина Х примет значение, превышающее 4.

 

11.12. Среднее изменение курса акций в течение месяца составляет 0,5 %. Оценить вероятность того, что в течение месяца курс акций изменится не более чем на 2%.

 

11.13. Среднее число клиентов, обслуживаемых банком за день, равно 30. Оценить вероятность того, что в течение дня будет обслужено не более 60 человек.

 

11.14. Среднее число звонков в офис фирмы в течение дня равно 30. Оценить вероятность того, что в течение дня будет более 90 звонков.

 

11.15. Вероятность того, что акции, переданные на депозит, будут востребованы, равна 0,075. Оценить вероятность того, что из 1000 клиентов от 60 до 90 востребуют свои акции.

 

11.16. Во время плановой проверки из аптечного киоска изъято 120 лекарственных препаратов. Оценить вероятность того, что число фальсифицированных лекарственных препаратов на этот раз отклонится от ожидаемого числа более чем на 10.

 

11.17. Сумма всех вкладов в отделении банка составляет 70 млн. руб. Вероятность того, что случайно проверенный вклад не превысит 0,5 млн. рублей, равна 0,8. Оценить число вкладчиков этого отделения банка.

 

11.18. Вероятность опоздания пассажира на поезд равна 0,007. Оценить вероятность того, что из 2000 пассажиров, купивших билеты на поезд, опоздавших окажется более 28.

 

11.19. Среднее число автобусов автопарка, отправляемых в ремонт после месяца эксплуатации, равно 5 при СКО 4. Оценить вероятность того, что в течение месяца в ремонт будет отправлено не более 15 автобусов.

 

11.20. Оценить вероятность того, что из 1000 деталей число нестандартных окажется в границах от 25 до 75 при ожидаемом количестве 50.

 

11.21. Оценить вероятность того, в целях выведения новой породы лошадей из 20 новорожденных жеребцов число отбракованных будет отличаться от ожидаемого числа не более чем на 3.

 

11.22. Собака-ищейка в среднем отыскивает 96 % разыскиваемых объектов. Оценить вероятность того, что из 25 разыскиваемых объектов собакой будет найдено не менее 23-х.

 

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-02-17; просмотров: 864; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.89.200.155 (0.009 с.)