Определение платежей аннуитета и процентной ставки

Уравнения (5.6) и (5.7) связывают текущую стоимость Р, итоговую стоимость S, платежи В и процентную ставку i. Разрешая эти уравнения относительно В или n, получают зависимости для определения величины платежей или числа периодов платежей.

 

; (5.11)

 

; (5.12)

 

; (5.13)

 

. (5.14)

 

Пример 5.3. Банк начисляет 5 % в год. Какой величины нужно делать ежеквартальные вклады, чтобы накопить через 5 лет 500 тыс. руб.

 

По формуле (5.12):

 

; ; руб.

 

 

 

Пример 5.4. Сколько раз нужно делать платежи, чтобы выплатить кредит в сумме 100 тыс. руб., делая ежемесячные взносы по 5000 руб. при ставке кредита 2 % в месяц?

 

По формуле (5.13):

 

i = 0,02; P = 100000; B = 5000;

 

.

 

 

Решение уравнения обычно дает не целые значения для числа периодов n. В этом случае следует округлить результат до меньшего целого и определить величину последнего платежа. В примере 5.4 необходимо найти величину 26-го платежа B ₂₆. Используя уравнение эквивалентности для конца 25-го периода, получим:

 

, (5.15)

 

откуда

. (5.16)

 

Тогда получим величину последнего платежа для примера 5.4:

 

руб.

 

В случае, если возникают задачи по определению необходимой процентной ставки i при известных платежах В и числе периодов n, то для достижения известного результата P или S можно воспользоваться уравнениями (5.6) и (5.7). Однако аналитического решения для i эти уравнения не имеют и могут быть решены лишь численно.

 

Пример 5.5. Какова должна быть процентная ставка для того, чтобы кредит в размере 100 тыс. руб. был оплачен за 20 платежей, каждый в размере 10000 руб.?

 

, или i = 7,75 %.

 

 

Инвестиции

Инвестиция – расходование ресурсов в расчете на получение доходов в будущем по истечении достаточно длительного периода времени. Любая инвестиция подвержена риску в том смысле, что надежда на получение дохода может и не оправдаться. Различают 2 вида инвестиций: финансовые и реальные. Первые представляют собой вложения капитала в долгосрочные финансовые активы (акции, облигации); вторые – в развитие материально-технической базы предприятий производственной и непроизводственной сферы. В России реальные инвестиции называют капитальными вложениями [7, с. 28–37].

 

 

Чистый приведенный доход (ЧПД)

ЧПД – текущая стоимость денежных потоков за вычетом текущей стоимости денежных оттоков. Расчет данной величины предусматривает дисконтирование денежных потоков, т. е. все доходы и затраты приводятся к одному моменту времени. ЧПД – это обобщенный конечный результат инвестиционной деятельности в абсолютном измерении.

При разовой инвестиции ЧПД рассчитывается таким образом:

 

, (6.1)

 

где R_k – годовой доход в k -м году; n – число лет, в течение которых поступают доходы; i – процент дисконтирования; I – величина начальных инвестиций.

Выбор ставки дисконтирования – важный момент. Она должна отражать ожидаемый усредненный уровень ссудного процента на финансовом рынке. Для определения эффективности инвестиционного проекта отдельной фирмы в качестве ставки дисконтирования используют средневзвешенную цену капитала, используемого фирмой для финансирования данного инвестиционного проекта.

Если проект предполагает не разовую инвестицию, а последовательные инвестирования финансовых ресурсов течение m лет, то формула будет такой:

 

, (6.2)

 

где I_j – инвестиции в j -м году.

ЧПД оценивает, на сколько приведенный доход перекрывает приведенные затраты. Если D ≤ 0, то проект не имеет прибыли.

Одно из важных свойств ЧПД состоит в том, что ЧПД разных проектов можно суммировать, поскольку данный показатель аддитивен во времени. Это позволяет использовать его при анализе оптимальности инвестиционного портфеля.

 

Пример 6.1. Предприятие осуществляет инвестиционный проект на 5 лет при ежегодной инфляции 10 %. Затраты и доходы по годам прогнозируются в следующем виде:

 

Годы, j
Затраты, Ij, руб.	100 000	50 000	30 000	20 000	10 000
Доходы, Rk, руб.		50 000	100 000	100 000	50 000

 

Найти ЧПД.

 

руб.

 

Если просто суммировать доходы и инвестиции без учета дисконтирования то, расходы составят 210 тыс. руб., а доходы – 300 тыс. руб., прибыль – 90 тыс. руб.

 

 

Срок окупаемости

Срок окупаемости – минимальное целое число лет, необходимых для возмещения стартовых инвестиций. Найти его можно из формулы:

 

. (6.3)

 

Для данных из примера 6.1 срок окупаемости N_ок найдем следующим образом:

; ; .

 

Таким образом, N_ок = 4 года.

При необходимости более точного определения срока окупаемости можно воспользоваться линейной интерполяцией:

 

, (6.4)

 

где – первый положительный ЧПД; – доход в предшествующем году. Для примера 6.1 получим

 

года.

 

Если доходы можно представить в виде аннуитета, то

. (6.5)

 

Так как логарифма отрицательного числа не существует, то необходимо выполнение условия:

 

. (6.6)

 

Пример 6.2. Вложения I = 10 000 руб. принесут ежегодный доход R = 1000 руб. при инфляции 5 %. Найти срок окупаемости этих вложений.

 

лет.

 

Без учета инфляции срок окупаемости составил бы лет.

 

 

Функция риска

Если ожидаемый ЧПД удовлетворяет условию

 

, (6.7)

 

где – минимальная допустимая величина дохода, то проект может быть принят. Поскольку при расчете ЧПД всегда сталкиваются с неопределенностью, например, при нахождении ставки дисконтирования i и величины ожидаемого дохода R, то для оценки возможности того, что действительный доход окажется ниже критического , вводят функцию риска F_r.

Если известны вероятностные характеристики D, то функцию риска F_r можно определить как вероятность того, что доход D окажется меньше :

 

, (6.8)

 

где F (D) – функция распределения вероятностей случайной величины D. Эта функция является интегралом от функции плотности f (x) распределения вероятностей случайной величины:

 

. (6.9)

 

Для равномерно распределенной случайной величины на интервале , где – максимально возможный доход. Эта функция указывает на равную вероятность получения любого дохода из этого интервала. В данном случае функции риска будет:

 

, (6.10)

 

и риск возрастает линейно от 0 (при ожидании минимально возможного дохода) до 1 (при ожидании максимально возможного дохода).

Часто в реальных расчетах используют нормальное распределение с плотностью

 

. (6.11)

 

В этом случае вероятность того, что случайная величина X не превзойдет уровня , определяют по интегралу Лапласа:

 

. (6.12)

 

Этот интеграл вычисляется численно.

Можно определить величину , необходимую для достижения заданного риска, решив уравнение

 

, (6.13)

 

где R – величина допустимого риска.

Например, для m = 2 и R = 0,1 получим = 0,78 – величина среднеквадратического отклонения, обеспечивающая 10-процентный риск.