Общая постановка задачи изменения условий контракта

При изменении условий выплат решение заключается в разработке соответствующего уравнения эквивалентности. Если приведение платежей осуществляется на некоторую начальную дату, то получим следующие уравнения эквивалентности в общем виде:

 

– при использовании простых процентов;

 

– при использовании сложных процентов.

 

Здесь S_j и n_j – параметры заменяемых платежей; S_k и n_k – параметры заменяющих платежей.

Конкретный вид равенства определяется содержанием контракта, поэтому методику разработки уравнений эквивалентности рассмотрим на примерах [10, с. 79].

 

Пример 4.13. Две суммы 10 и 5 млн. руб. должны быть выплачены 1 ноября и 1 января следующего года. Стороны согласились пересмотреть порядок выплат: должник 1 декабря выплачивает 6 млн. руб. Остаток долга гасится 1 марта. Необходимо найти сумму остатка при условии, что пересчет осуществляется по ставке простых процентов, равной 20 % (K = 365). Графическое изображение условий задачи приведено на рис. 4.3:

 

Рис. 4.3

 

Пусть базовой датой будет момент выплаты 5 млн. руб. Уравнение эквивалентности тогда будет таким:

 

. Отсюда S = 9,531 млн. руб.

 

При изменении базовых дат приходим к незначительным смещениям результатов. Например, при приведении платежей к 1 марта получим следующее уравнение эквивалентности:

 

. Теперь S = 9,523 млн. руб. [10, с. 80].

 

 

 

Пример 4.14. Имеется обязательство уплатить 10 млн. руб. через 4 месяца и 7 млн. руб. через 8 месяцев после некоторой даты. По новому обязательству необходимо выплату произвести равными суммами через 3 и 9 месяцев. Изменение условий осуществляется с использованием простой ставки, равной 10 % (K = 360).

 

Примем в качестве базовой даты начало отсчета времени. Уравнение эквивалентности в таком случае выглядит так:

 

.

 

Отсюда S = 8,521 млн. руб. [10, с. 80–81].

 

Пример 4.15. Существует обязательство уплатить 100 тыс. руб. через 5 лет. Стороны согласились изменить условия погашения долга следующим образом: через 2 года выплачивается 30 тыс. руб., а оставшийся долг – спустя 4 года после первой выплаты (см. рис. 4.4). Необходимо определить сумму последнего платежа.

 

 

Рис. 4.4

 

Уравнение эквивалентности составим на начало отсчета времени:

 

,

 

где v – дисконтный множитель.

Аналогичное по смыслу равенство можно составить на любую дату, например, на конец шестого года. В этом случае

 

.

 

Данное уравнение легко получить из предыдущего, умножив его на . При решении любого из приведенных уравнений относительно S находим (при условии, что ставка равна 10 % годовых) S = 133,233 тыс. руб.

Выбор базовой даты при применении сложных процентов не влияет на результаты расчетов по замене платежей [10, с. 81].

 

 

Аннуитеты

Аннуитет – последовательность периодических платежей, сделанных через одинаковые промежутки времени. Пример: платежи при покупке в кредит.

Период времени между двумя последовательными платежами – это интервал платежа. Срок аннуитета – период времени от начала первого интервала до окончания последнего интервала платежа. Если платежи проводятся в моменты окончания интервалов, то это обыкновенный аннуитет, а если в начальные моменты интервалов – то это полагающий аннуитет.

Пример. Покупатель приобретает товар в рассрочку, выплачивая 100 тыс. руб. в день покупки и затем ежемесячно по 10 тыс. руб. в течение двух лет. Первый и последующие платежи он осуществляет в конце каждого месяца. В этом случае интервал платежа составляет 1 месяц, а срок аннуитета – 2 года [7, с. 22–27].