Единицы количества информации:вероятностный и объемный подходы

Единицы количества информации:вероятностный и объемный подходы

Определить понятие «количество информации» довольно сложно. В решении этой проблемы существуют два основных подхода. Исторически они возникли почти одновременно. В конце 40-х годов XX века один из основоположников кибернетики, американский математик Клод Шеннон, развил вероятностный подход к измерению количества информации, а работы по созданию ЭВМ привели к «объемному» подходу.

Вероятностный подход

Рассмотрим в качестве примера опыт, связанный с бросанием правильной игральной кости, имеющей N граней. Результаты данного опыта могут быть следующие: выпадение грани с одним из следующих знаков: 1, 2,..., N.

Введем в рассмотрение численную величину, измеряющую неопределенность — энтропию (обозначим ее Н). Согласно развитой теории, в случае равновероятного выпадания каждой из граней величины N и Н связаны между собой формулой Хартли Н = log₂N.

Важным при введении какой-либо величины является вопрос о том, что принимать за единицу ее измерения. Очевидно, Н будет равно единице при N = 2. Иначе говоря, в качестве единицы принимается количество информации, связанное с проведением опыта, состоящего в получении одного из двух равновероятных исходов (примером такого опыта может служить бросание монеты, при котором возможны два исхода: «орел», «решка»). Такая единица количества информации называется «бит».

В случае, когда вероятности P_t результатов опыта (в примере, приведенном выше, — бросания игральной кости) неодинаковы, имеет место формула Шеннона

В случае равновероятности событий и формула Шеннона переходит в формулу Хартли.

Рассмотрим алфавит, состоящий из двух знаков 0 и 1. Если считать, что со знаками 0 и 1 в двоичном алфавите связаны одинаковые вероятности их появления (P(0)=P(1)=0.5), то количество информации на один знак при двоичном кодировании будет равно Н= Iog₂2 = 1 бит.

Таким образом, количество информации (в битах), заключенное в двоичном слове, равно числу двоичных знаков в нем.

Объемный подход

В двоичной системе счисления знаки 0 и 1 называют битами (bit — от английского выражения Binary digiTs — двоичные цифры). В компьютере бит является наименьшей возможной единицей информации. Объем информации, записанной двоичными знаками в памяти компьютера или на внешнем носителе информации, подсчитывается просто по числу требуемых для такой записи двоичных символов. При этом, в частности, невозможно нецелое число битов (в отличие от вероятностного подхода).

Для удобства использования введены и более крупные, чем бит, единицы количества информации. Так, двоичное слово из восьми знаков содержит один байт информации. 1024 байта образуют килобайт (Кбайт), 1024 килобайта — мегабайт (Мбайт), а 1024 мегабайта - Гигабайт (Гбайт).

Между вероятностным и объемным количеством информации соотношение неоднозначное. Далеко не всякий текст, записанный двоичными символами, допускает измерение объема информации в вероятностном (кибернетическом) смысле, но заведомо допускает его в объемном. Далее, если некоторое сообщение допускает измеримость количества информации в обоих смыслах, то это количество не обязательно совпадает, при этом кибернетическое количество информации не может быть больше объемного.

В прикладной информатике практически всегда количество информации понимается в объемном смысле.

Как ни важно измерение информации, нельзя сводить к нему все связанные с этим понятием проблемы. При анализе информации социального (в широком смысле) происхождения на первый план могут выступить такие ее свойства, как истинность, своевременность, ценность, полнота и т.д. Их невозможно оценить в терминах «уменьшение неопределенности» (вероятностный подход) или числа символов (объемный подход). Обращение к качественной стороне информации породило иные подходы к ее оценке. При аксиологическом подходе стремятся исходить из ценности, практической значимости информации, т.е. из качественных характеристик, значимых в социальной системе. При семантическом подходе информация рассматривается с точки зрения как формы, так и содержания. При этом информацию связывают с тезаурусом, т.е. полнотой систематизированного набора данных о предмете информации. Отметим, что эти подходы не исключают количественного анализа, но он становится существенно сложнее и должен базироваться на современных методах математической статистики.

Понятие информации нельзя считать лишь техническим, междисциплинарным и даже наддисциплинарным термином. Информация — это фундаментальная философская категория. Дискуссии ученых о философских аспектах информации надежно показали несводимость информации ни к одной из этих категорий. Концепции и толкования, возникающие на пути догматических подходов, оказываются слишком частными, односторонними, не охватывающими всего объема этого понятия.

Попытки рассмотреть категорию информации с позиций основного вопроса философии привели к возникновению двух противостоящих концепций — функциональной и атрибутивной. «Атрибутисты» квалифицируют информацию как свойство всех материальных объектов, т.е. как атрибут материи. «Функционалисты» связывают информацию лишь с функционированием сложных, самоорганизующихся систем.

Можно попытаться дать философское определение информации с помощью указания на связь определяемого понятия с категориями отражения и активности. Информация есть содержание образа, формируемого в процессе отражения. Активность входит в это определение в виде представления о формировании некоего образа в процессе отражения некоторого субъект-объектного отношения. При этом не требуется указания на связь информации с материей, поскольку как субъект, так и объект процесса отражения могут принадлежать как к материальной, так и к духовной сфере социальной жизни. Однако существенно подчеркнуть, что материалистическое решение основного вопроса философии требует признания необходимости существования материальной среды — носителя информации в процессе такого отражения. Итак, информацию следует трактовать как имманентный (неотъемлемо присущий) атрибут материи, необходимый момент ее самодвижения и саморазвития. Эта категория приобретает особое значение применительно к высшим формам движения материи — биологической и социальной.

Известно большое количество работ, посвященных физической трактовке информации. Эти работы в значительной мере построены на основе аналогии формулы Больцмана, описывающей энтропию статистической системы материальных частиц, и формулы Хартли.

Информацию следует считать особым видом ресурса, при этом имеется в виду толкование «ресурса» как запаса неких знаний материальных предметов или энергетических, структурных или каких-либо других характеристик предмета. В отличие от ресурсов, связанных с материальными предметами, информационные ресурсы являются неистощимыми и предполагают существенно иные методы воспроизведения и обновления, чем материальные ресурсы. В связи с таким взглядом центральными становятся следующие свойства информации: запоминаемость, передаваемость, преобразуемость, воспроизводимость, стираемость.

Подводя итог сказанному, отметим, что предпринимаются (но отнюдь не завершены) усилия ученых, представляющих самые разные области знания, построить единую теорию, которая призвана формализовать понятие информации и информационного процесса, описать превращения информации в процессах самой разной природы. Движение информации есть сущность процессов управления, которые суть проявление имманентной активности материи, ее способности к самодвижению. С момента возникновения кибернетики управление рассматривается применительно ко всем формам движения материи, а не только к высшим (биологической и социальной). Многие проявления движения в неживых — искусственных (технических) и естественных (природных) системах также обладают общими признаками управления, хотя их исследуют в химии, физике, механике в энергетической, а не в информационной системе представлений. Информационные аспекты в таких системах составляют предмет новой междисциплинарной науки — синергетики.

Высшей формой информации, проявляющейся в управлении в социальных системах, являются знания. Это наддисциплинарное понятие, широко используемое в педагогике и исследованиях по искусственному интеллекту, также претендует на роль важнейшей философской категории. В философском плане познание следует рассматривать как один из функциональных аспектов управления. Такой подход открывает путь к системному пониманию генезиса процессов познания, его основ и перспектив.

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Системы счисления — одна из традиционных тем курса информатики, восходящих к программированию ЭВМ первых поколений в машинных кодах. В настоящее время данная тема сохраняет свое значение как весьма типичный случай кодирования информации, а также в связи с широким использованием шестнадцатеричных обозначений в машинно-ориентированных разделах программирования. Знание систем счисления полезно для понимания представления данных в памяти ЭВМ и операций над ними. Системы счисления (особенно по основанию 10) достаточно подробно изучаются в курсах математики и информатики средней общеобразовательной школы. В данном пособии эта тема предполагает повторение уже известных сведений, специализацию в отношении систем счисления по основанию 16, 8 и 2, а также обобщение в плане кодирования информации.

АЛГЕБРА ЛОГИКИ

В обычной алгебре буквы обозначают числа, а операции над ними символизируют соответствующие операции над числами; в алгебре логики буквы (обычно прописные латинские) означают высказывания, а операции над ними символизируют операции над высказываниями. В математической логике, как и в обычной логике, есть тождества, верные для любых высказываний.

Алгебра логики оперирует с двоичными переменными, т.е. с такими переменными, которые могут принимать только одно из двух возможных значений. Другими словами, наши высказывания, не зависимо от их содержания, рассматриваются только с точки зрения истинности: верно или неверно, истинно или ложно. Следует еще добавить, что объектом алгебры логики является только утвердительные высказывания, например:

1.сегодня идет дождь; 2. 1983г-високосный год; 3.стриж - перелетная птица.

Из этих трех высказываний первое может быть истинно или ложно, второе - ложно, третье - истинно. В этих высказываниях говорится только об одном факте (истинном или ложном), и потому они называются простыми. Основным понятием математической логики является высказывание.

ВЫСКАЗЫВАНИЕ это повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.

Если связываются два или более простых высказываний, то получаются сложные высказывания. Но как определить истинность сложного высказывания? В этом нам помогают три основных действия алгебры логики: отрицание, сложение и умножение.

ОТРИЦАНИЕ (инверсия). Отрицание высказывания получим, если присоединим частицу НЕ к сказуемому высказывания или “НЕВЕРНО, ЧТО” ко всему выражению.

Как вы уже заметили, для обозначения отрицания над прописной буквой ставится черта (в этом случае читаем: А с чертой или не А) или знак 

Действие логического отрицания выражается следующей таблицей:

А	А

или словами: отрицая верное высказывание, мы говорим ложь (не истину); отрицая неверное высказывание, мы говорим истину.

УМНОЖЕНИЕ (конъюнкция). Умножение двух высказываний выражается с помощью союза И. Результат умножения называют логическим произведением. Обозначается знаками /\, &.

Важнейшим является вопрос об истинности логического произведения и о том, как она зависит от истинности отдельных высказываний. Независимо от содержания логическое произведение является истинным только в том случае, если истинны составные части произведения (отдельные высказывания).

Например:

1. 2>3 5x5=15 (2>3) и (5x5=15)	А=0 В=0 А & В=0
2. 2<3 5x5=15 (2<3) и (5x5=15)	А=1 В=0 А & В=0
3. 2>3 5x5=25 (2>3) и (5x5=25)	А=0 В=1 А & В=0
4. 2<3 5x5=25 (2<3) и (5x5=25)	А=1 В=1 А & В=1
5. Погода безоблачная Не идет дождь Погода безоблачная И не идет дождь	А=1 В=1 А & В=1
6. Река Ангара вытекает из озера Байкал Сосна – вечнозеленое дерево Река Ангара вытекает из озера Байкал И сосна – вечнозеленое дерево	А=1 В=1 А & В=1

Таблицу, по которой определяют истинность логического произведения в зависимости от истинности отдельных высказываний, называют таблицей истинности. Она имеет следующий вид:

 

A	B	А & В		&
			или

СЛОЖЕНИЕ (дизъюнкция). Сложение двух высказываний выражается с помощью союза ИЛИ. Результат сложения называют логической суммой. Обозначается знаком V.

И в этом случае важнейшим является вопрос об истинности логической суммы и ее зависимости от истинности отдельных высказываний. Независимо от содержания высказываний для истинности логической суммы достаточно, чтобы хотя бы одно из составляющих высказываний было истинно.

Например:

Логическая сумма допускает одновременную истинность îäíîãî èç двух высказываний, так как ее истинность определяется следующей таблицей:

A	B	А V В		V
			или

 

ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ

В алгебре высказываний любую логическую функцию можно выразить через основные логические операции, записать ее в виде логического выражения и упростить, применяя законы логики и свойства логических операций. По формуле логической функции легко рассчитать ее таблицу истинностè. Необходимо только учитывать порядок выполнения логических операций (приоритет) и скобки. Операции в логическом выражении выполняются слева направо с учетом скобок. Приоритет логических операций:

Номер приоритета	Имя функции	знак
3.	ИНВЕРСИЯ
2.	КОНЪЮНКЦИЯ	&
1.	ДИЗЪЮНКЦИЯ	V

Таблицы истинности сложных высказываний получают путем последовательного выполнения указанных действий.

Таблицу, показывающую, какие значения принимает сложное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний, называют таблицей истинности сложного высказывания.

Сложные высказывания часто называют формулами логики высказываний.

Построить таблицу истинности достаточно просто.

Алгоритм построения таблицы истинности:

1. подсчитать количество переменных n в формуле;

2. определить число строк в таблице m= 2ⁿ;

3. подсчитать количество логических операций в формуле;

4. установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;

5. определить количество столбцов в таблице: число переменных и число операций;

6. выписать наборы входных переменных с учетом того, что они представляют собой натуральный ряд n- разрядных двоичных чисел от 0 до 2ⁿ-1;

7. провести заполнение таблицы истинности по столбикам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в п. 4 последовательностью.

Пример.

Для формулы

Х = (А & В V  С)

составим следующую таблицу истинности:

A	B	C	A & B	С	А & В V С	(А & В V С)

Наборы входных переменных во избежание ошибок иногда рекомендуют перечислять следующим образом:

а) определить количество наборов входных переменных;

б) разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть колонки 0, а нижнюю - 1;

в) разделить колонку значений второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами 0 или 1, начиная с группы 0;

г) продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей, заполняя их группами 0 или 1 до тех пор, пока группы 0 и 1 не будут состоять из одного символа.

ЗАКОНЫ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Некоторые сложные высказывания, несмотря на их различный вид, имеют одинаковые таблицы истинности при одних и тех же значениях входящих в них простые высказываний. Такие сложные высказывания называют равносильными. Для того чтобы убедиться в эквивалентности двух сложных высказываний, необходимо составить таблицу эквивалентности. Например, для

Х1 = (А V В) & (А V С); Х2 = А V В&С

таблица истинности будет следующей:

А	В	С	АVВ	АVС	(АVВ)&(АVС)	В&С	АVВ&С

Шестой и восьмой столбцы в этой таблице одинаковы. Следовательно,

Х1=Х2 и (А V В) & (А V С) = А V В &С.

В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные преобразования формул. Приведем соотношения, отражающие эти законы.

1. Закон двойного отрицания:

(А)=А

2. Переместительный (коммутативный) закон:

-для логического сложения:

А V В= В V А;

-для логического умножения:

А & В = В & А.

В обычной алгебре

a + b = b + a, a * b =b * a.

3. Сочетательный (ассоциативный) закон:

- для логического сложения:

(А V В) V С = А V (В V С)= AV BVC;

- для логического умножения:

(А & В) & С = А & (В & С)=A & B & C.

В обычной алгебре

(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c,

a* (b * c) = (a * b) * c = a * b * c.

4. Распределительный (дистрибутивный) закон:

- для логического сложения:

(А V В) & С = (А & С) V (В & С);

- для логического умножения:

(А & В) V С = (А V С) & (В V С).

В обычной алгебре

(a + b)* c = a * c + b * c.

5. Закон общей инверсии (законы де Моргана):

- для логического сложения:

(А V В) = А & В;

- для логического умножения:

(А & В) = А V В.

6. Закон идемпотентности:

-для логического сложения:

А V А = А;

-для логического умножения:

А & А = А.

7. Законы исключения констант:

-для логического сложения:

А V 1 = 1, А V 0 = А;

-для логического умножения:

А & 1 = А, А & 0 = 0.

8. Закон противоречия:

А & А = 0

значение которого всегда равно 0 (никогда не истинно).

Например:

неверно, что поезд движется И поезд не движется;

9. Закон исключенного третьего:

А V А = 1

Из двух противоречивых высказываний одно истинно.

Например: верно, что снег белый ИЛИ снег не белый.

10. Закон поглощения:

-для логического сложения:

А V (А & В) = А;

- для логического умножения:

А & (А V В) = А.

11.Закон исключения (склеивания):

-для логического сложения:

(А & В) V (А & В) = A;

-для логического умножения:

(А V В) & (А V В) = A

5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

СТРОГАЯ ДИЗЪЮНКЦИЯ. В отличие от рассмотренной выше операции дизъюнкции, можно рассмотреть строгую дизъюнкцию (двойное или), которой в естественном языке соответствует связка либо, либо.Имеет обозначение 

Суть этой операции ясна из приведенной таблицы:

A	B	А  В		
			или

ИМПЛИКАЦИЯ (лат. Implicatio - тесно связываю), или логическое следование, соответствует обороту если, то и обозначается .

Высказывание А  В ложно в том и только в том случае, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.

Таблица истинности импликации:

 

A	B	А В		
			Или

ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (лат. Aequivalens- равноценное), или равнозначность, соответствует оборотам речи тогда и только тогда и в том и только в том случае. Операция обозначается .

Выражение А В истинно в том и только в том случае, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

Таблица истинности эквиваленции:

A	B	А В
			или

НЕ ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (лат. Aequivalens- равноценное), или сложение по модулю 2, ñîответствует оборотам речи тогда и только тогда (в том и только в том случае) если значения не совпадают. Операция обозначается ≠ или .

Выражение А ≠ В истинно в том и только в том случае, когда оба исходных высказывания одновременно принимают разные значения.

Таблица истинности не эквиваленции:

A	B	А ≠ В		≠
			или

ШТРИХ ШЕФФЕРА. (отрицание конъюнкции) в отличиè от рассмотренной выше операции принимает противоположное значение, т.е. если оба высказывания истинны, то результат ложен, а иначе результат истинен. Обозначается |

 

 

Суть этой операции ясна из приведенной таблицы:

A	B	А | В		|
			или

Приоритет логических операций. (порядок выполнения операций при вычислении логических выражений). Логические операции выполняются слева направо с учетом приоритета логической операции:

1. в начале выполняются операции с высшим приоритетом,

1. равноприîритетные операции выполняются слева направо.

Уровень приоритета	Операции
	&
	V
	, , ≠, |, 

Пример.

Рассмотрим два высказывания:

А={ Петя выучит уроки };

В={ Пете поставят хорошую отметку }.

Их эквиваленцией является новое высказывание:

А В = {Петя выучит уроки тогда и только тогда, когда Пете поставят хорошую отметку}.

Это высказывание истинно, если:

1. Петя не выучит уроки и Пете не поставят хорошую отметку;

1. Петя выучит уроки и Пете поставят хорошую отметку.

Это высказывание ложно, если:

1. Петя выучит уроки, но Пете не поставят хорошую отметку;

1. Петя не выучит уроки, хотя Пете поставят хорошую отметку.

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

В литературе описывается много разных задач, которые могут быть решены с помощью математической логики.

Для решения логических задач нужно:

1. Внимательно изучить условие.

1. Выделить элементарные (простые) высказывания и обозначить их - как принято-большими латинскими буквами.
2. Записать условие задачи на языке алгебры логики, соединив простые высказывания в сложные при помощи логических операций &, V - и т. п.
3. Полученное выражение упростить, используя законы алгебры логики; преобразуя выражение, заменить заведомо истинные или ложные высказывания (в соответствии с условием задачи) их значением.
4. Выбрать решение - набор значений простые высказываний, при котором выражение (п.3) является истинным.
5. Проверить, удовлетворяет ли полученное решение условию задачи.

Рассмотрим несколько задач.

ЗАДАЧА 1

Три друга, Андрей (А), Василий (В) и Степан (С), получили три путевки на три смены в спортивный лагерь. Андрей имеет возможность поехать в лагерь в первую или вторую смену, Василий - в первую или третью, а Степан - во вторую или третью. Можно ли удовлетворить желания всех троих и сколькими способами?

Решение

Рассмотрим простые высказывания:

С₂=(желание Степана поехать во вторую смену),

А₁=(желание Андрея поехать в первую смену) и т.д.

Желания друзей выразятся следующим образом:

А₁ V А₂=1 (желание Андрея),

В₁ V В₃=1 (желание Василия),

С₂ V С₃=1 (желание Степана).

Чтобы определить, как одновременно удовлетворить желания всех троих, образуем конъюнкцию (умножение) написанных выше сумм:

(А₁ V А₂) & (В₁ V В₃) & (С₂ V С₃)=

(А₁ & В₁ V А₁ & В₃ V А₂ & В₁ V А₂ & В₃)*(С₂ V С₃)=

А₁ & В₁ & С₂ V А₁ & В₁ & С₃ V А₁ & В₃ & С₂ V А₁ & В₃ & С₃ V

0 0 1 0

А₂ & В₁ & С₂ V А₂ & В₁ & С₃ V А₂ & В₃ & С₂ V А₂ & В₃ & С₃ =

0 1 0 0

А₁В₃С₂ + А₂В₁С₃.

Нули в равенстве означают, что получились несовместимые условия: в одну смену не может отдыхать больше, чем один из трех. Результат, выраженный словами, звучит так: существуют две возможности удовлетворить желания трех друзей:

1. Андрею - первая смена, Стеïан - вторая смена, Василию - третья смена;

1. Василий - первая смена, Андрей - вторая смена, Стеïан - третья смена.

ЗАДАЧА 2

Брауну, Джонсу и Смиту предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка. Похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На следствии Браун показал, что преступники скрылись на синем “Бъюике”, Джонс сказал, что это был черный “Крайслер”, а Смит утверждает, что это был “Форд Мустанг” и ни в коем случае не синий. Стало известно, что, желая запутать следствие, каждый из них указал правильно либо только марку машины, либо только её цвет.

Какой марки и цвета был автомобиль?

Решение.

Рассмотрим простые высказывания:

А = (машина синего цвета),

В = (машина марки “Бъюик”),

С = (машина черного цвета),

D = (машина марки “Крайслер”),

Е = (машина марки “Форд Мустанг”).

Так как либо цвет, либо марка машины каждым из соучастников названа верно, то из их слов можно заключить, что:

A V B = 1 (из слов Брауна),

C V D = 1 (из слов Джонса),

A V E = 1 (из слов Смита).

Если все эти истинные высказывания логически перемножить, то получится истинное сложное высказывание:

(A V B) & (C V D) & (A V E) = 1 & 1 & 1 = 1.

По аналогии с алгеброй чисел выполним преобразование левой части этого выражения:

(A&C& A) V (A&C&E) V (A&D& A) V (B&C& A) V (A&D&E) V

0 0 0 1 0

(B&C&E) V(B&D& A) V (B&D&E) = 1

0 0 0

Нули в равенстве означают, что получились несовместимые условия: так как разыскиваемый автомобиль определенной марки и цвета, то все логические произведения, содержащие высказывания о разных цветах одного автомобиля или о разных марках, являются ложными.

Единственное выражение, значение которого может быть истинным это B&C& A =1, т.е. автомобиль был черного цвета марки “Бъюик”.

ЗАДАЧА 3

Алеша, Боря и Гриша нашли в земле старинный сосуд. Рассматривая удивительную находку, каждый высказал по два предложения:

Алеша: “Это сосуд греческий и изготовлен в V веке”.

Боря: “Это сосуд финикийский и изготовлен в III веке”.

Гриша: “Это сосуд не греческий и изготовлен в IV веке”.

Учитель истории сказал ребятам, что каждый из них прав только в одном из двух предположений.

Где и в каком веке изготовлен сосуд?

Решение.

Рассмотрим простые высказывания:

А = (сосуд греческий),

В = (сосуд финикийский),

С = (сосуд изготовлен в III веке),

D = (сосуд изготовлен в IV веке),

Е = (сосуд изготовлен в V веке).

Запишем предположения школьников на языке алгебры логики.

А V Е = 1 (слова Алеша),

В V С = 1 (слова Бори),

А V D = 1 (слова Гриши).

Если все эти высказывания логически перемножить, то получится истинное сложное высказывание:

(A V E)&(B V C)&(A V D) = 1

Раскроем скобки:

A&B &A V A&B&E V A&A&C V A&E&C V D&A&B V

0 1 0 0 0

D&B&E V D&A&C V D&E&C.

0 0 0

Исходя из того, что сосуд мог быть изготовлен только в одной стране и в одном веке, нули в равенстве означают, что получились несовместимые условия.

Единственное выражение, значение которого может быть истинным это E&B& A = 1.

Мы установили, что сосуд финикийский и изготовлен в V веке, что удовлетворяет условию задачи.

ЗАДАЧА 4

Виктор, Роман, Леонид и Сергей заняли на математической олимпиаде четыре первых места. Когда их спросили о распределении мест, они дали три таких ответа:

1. Сергей -первый, Роман - второй;

2. Сергей - второй, Виктор - третий;

3. Леонид - второй, Виктор - четвертый.

Известно, что в каждом ответе только одно утверждение истинно.

Как распределились места?

Решение.

Рассмотрим простые высказывания:

С₁ = (Сергей занял первое место),

Р₂ = (Роман занял второе место),

С₂ = (Сергей занял второе место),

В₃ = (Виктор занял третье),

Л₂ = (Леонид занял второе место),

В₄ = (Виктор занял четвертое место).

На языке алгебры логики ответы ребят можно записать следующим образом:

С₁ V Р₂ = 1,

С₂ V В₃ = 1,

Л₂ V В₄ = 1.

Конъюнкция истинных высказываний истинна. Следовательно, имеет место равенство:

(С₁ V Р₂) & (С₂ V В₃) & (Л₂ V В₄ ) = 1.

Раскроем скобки:

С₁&С₂&Л ₂ V C₂&Р₂&Л₂ V С ₁&В₃&Л₂ V Р₂&В₃&Л₂ V С₁&С₂&В₄ V

0 0 1 0 0

V С₂&Р₂&В₄ V С₁&В₃&В₄ V Р₂&В₃&В₄

0 0 0

Нули в равенстве означают, что получились несовместимые условия, исходя из того, что участник математической олимпиаде не может одновременно занимать несколько мест и каждое место распределяется одному участнику.

Единственное выражение, значение которого может быть истинным это

С₁&В₃&Л₂ = 1.

Другими словами, места на олимпиаде распределились так:

Сергей - 1-е место,

Леонид - 2-е место,

Виктор - 3-е место,

Роман - 4-е место.

ЗАДАЧА 5

“КОМИССАР МЕГРЭ”

Мегрэ, вернувшись домой, позвонил на набережную Орфевр.

— Говорит Мегрэ. Есть новости?

— Да, шеф. Поступили сообщения от инспекторов. Торранс установил, что если Франсуа был пьян, то либо Этьен убийца, либо Франсуа лжет. Жуссье считает, что или Этьен убийца, или Франсуа не был пьян, и убийство произошло после полуночи. Инспектор Люка просил передать вам, что если убийство произошло после полуночи, то либо Этьен убийца, либо Франсуа лжет. Затем звонила…

— Все. Спасибо. Этого достаточно. — Комиссар положил трубку. Он знал, что трезвый Франсуа никогда не лжет. Теперь он знал все.

Решение

Рассмотрим следующие простые высказывания:

А= {Франсуа был пьян},

В= {Этьен убийца},

С= {Франсуа лжет},

D= {убийство произошло после полуночи}.

Перепишем на языке алгебры логики условие задачи. Инспектора комиссара Мегрэ установили, что

А (ВV С)=1,

В V (А& D)=1,

D (ВV С)=1.

Сам Мегрэ знает, что

А & С=1.

Истинной будет и конъюнкция четырех высказываний:

(A (B V C) & (B V (A & D)) & (D (B V C)) & (A & C).

(Ответ: Франсуа был пьян, Этьен убийца, Франсуа лжет, убийство произошло после полуночи.)

ЗАДАЧА 6.

По обвинению в ограблении перед судом предстали Иванов, Петров, Сидоров. Следствием установлено следующее:

1. Если Иванов не виновен или Петров виновен, то Сидоров виновен.

1. Если Иванов не виновен, то Сидоров не виновен.

Виновен ли Иванов?

Решение

Рассмотрим простые высказывания:

А= Иванов виновен,

В= Петров виновен.

С= Сидоров виновен.

Запишем на языке алгебры логики факты, установленные следствием: