Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии



ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

 

(общий курс)

 

Контрольные задания и примеры их решения

для студентов 1 курса экономических специальностей

заочной формы обучения

 

1 семестр

 

 

Составители: Н. Т. Ахтямов

Д. С. Гарипов

В. В. Максимов

В. А. Паняев

 

 

Самара

 
2010

УДК 519.7

 

Высшая математика (общий курс): контрольные задания и примеры их решения для студентов 1 курса экономических специальностей заочной формы обучения / составители: Н. Т. Ахтямов, Д. С. Гарипов, В. В. Максимов, В. А. Паняев. – Самара: СамГУПС, 2010. – 35 с.

 

 

Утверждены на заседании кафедры 1.09.2009 г., протокол № 1.

Печатаются по решению редакционно-издательского совета университета.

 

 

Контрольные задания составлены в соответствии с Государственным образовательным стандартом и типовой программой по высшей математике и охватывают следующие разделы общего курса: элементы аналитической геометрии и линейной алгебры, дифференциальное исчисление функций одной переменной.

Приведены 30 вариантов контрольных заданий и образцы их решений.

 

Составители: к.ф-м.н., Наиль Тагирович Ахтямов

преп. Дмитрий Сергеевич Гарипов

доц., к.т.н. Валерий Владимирович Максимов

доц., к.т.н. Валерий Алексеевич Паняев

 

 

Рецензенты: к. ф-м.н., доц. СГУ Г. В. Воскресенская;

к. т. н., доц. СамГУПС В. Л. Шур

 

Под редакцией доц. О. Ф. Марковича

 

Подписано в печать 04.02.2010. Формат 60×901 1/16.

Усл. печ. л. 2,2. Тираж 200 экз. Заказ № 6.

 

 

 
© Самарский государственный университет путей сообщения, 2010

СОДЕРЖАНИЕ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ

I. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

1. Понятие матрицы, виды матриц, операции над матрицами.

2. Определители второго и третьего порядка. Свойства определителей.

Вычисление определителей. Понятие об определителе n -го порядка.

3. Обратная матрица. Элементарные преобразования. Ранг матрицы и его вычисление.

4. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

5. Формулы Крамера для систем линейных уравнений.

6. Метод обратной матрицы для решения систем линейных уравнений.

7. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

8. Векторы. Линейные операции над векторами.

9. Линейная зависимость и независимость векторов на плоскости и в трехмерном пространстве.

10. Разложение вектора по координатному базису. Координаты вектора, их геометрический и экономический смысл. Линейные операции над векторами в координатной форме. Деление отрезка в данном отношении.

11. Скалярное произведение векторов, его свойства и вычисление. Длина вектора. Угол между векторами, условие ортогональности.

12. Векторное произведение, его свойства и вычисление. Условие коллинеарности векторов. Условие компланарности векторов.

13. Смешанное произведение трех векторов, его свойства. Вычисление объемов.

14. Прямая на плоскости. Различные виды уравнений прямой. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

15. Плоскость. Способы задания плоскости и соответствующие им виды уравнений. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.

16. Прямая в пространстве. Различные виды уравнений прямой в пространстве.

17. Линии второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Канонические уравнения и свойства.

18. Полярные координаты. Уравнение линии в полярных координатах.

19. Цилиндрические поверхности и поверхности вращения.

20. Поверхности второго порядка общего вида.

II. Введение в математический анализ

1. Понятие функции. Основные элементарные функции, их графики.

2. Числовая последовательность, предел последовательности.

3. Предел функции. Основные теоремы о пределах.

4. Бесконечно малые и бесконечно большие величины, основные свойства. Сравнение бесконечно малых величин.

5. Первый и второй замечательные пределы.

6. Раскрытие простейших неопределенностей.

7. Непрерывность функций.

III. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1. Производная функции, ее геометрический, механический и экономический смысл.

2. Правила и формулы дифференцирования. Дифференцирование сложной

функции.

3. Логарифмическое дифференцирование.

4. Производные высших порядков.

5. Дифференцирование неявных функций. Параметрическая функция и ее

дифференцирование.

6. Дифференциал функции, его геометрический и механический смысл. Правила

нахождения дифференциала.

7. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей.

IV. Исследование функции с помощью производных

1. Монотонные функции. Условия возрастания и убывания функций.

2. Экстремумы функции. Необходимые условия экстремумов. Достаточные

условия существования экстремумов.

3. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

4. Вертикальные и наклонные асимптоты кривых.

5. Общая схема исследования функции и построение графика.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

1. Высшая математика для экономистов / под ред. Н.Ш. Кремера. – 3-е изд. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. – 479 с.

2. Общий курс высшей математики для экономистов / под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2008. – 656 с.

3. Писменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. – М.: Айрес-пресс, 2007. – 608с.

4. Шипачев В.С. Высшая математика: учеб. для вузов. – М.: Высшая школа, 2007. – 479 с.

5. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 2000. – 320 с.

6. Пискунов И.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. Т. 1, 2. –М.: Интеграл-пресс, 2002.

7. Справочник по высшей математике / под ред. А.А. Гусака. – Мн.: Тетра- Системс, 1999. – 640 с.

8. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч.1, 2. – М.: Высшая школа, 2006.

9. Климова Е.Н., Маркович О.Ф. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии: конспект лекций. – Самара: СамГАПС, 2003. – 74 с.

10. Додонова Н.Л., Маркович О.Ф., Паняев В.А. Высшая математика (общий курс). Рабочая программа, методические указания и контрольные задания для студентов 1 курса заочной формы обучения экономических специальностей. – Самара: СамГУПС, 2009. –89 с. (№ 2312).

 

Правила выполнения и оформления контрольных работ

При выполнении контрольных работ необходимо строго придерживаться указанных ниже правил.

1. Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного. Необходимо оставлять поля для замечаний рецензента.

2. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании строго по положенному варианту. Контрольные работы, содержащие не все задания, а также задания не своего варианта, не допускаются к собеседованию..

3. Номер варианта определяется остатком от деления на 30 числа, составленного из двух последних цифр шифра студента (номера зачетной книжки).

4. Решения задач надо располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.

5. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие.

6. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

7. После получения прорецензированной работы студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты и выполнить все рекомендации рецензента. Работа над замечаниями (ошибками) приводится в конце контрольной работы, после рецензии.

8. В случае, если работа не будет допущена к собеседованию и отсутствия прямого указания рецензента на то, что студент может ограничиться представлением исправленных решений отдельных задач, вся работа должна быть выполнена заново.

9. Теоретический материал и методические указания к выполнению контрольных заданий приведены в работе [10] - МУ № 2312.

 

Задания на контрольную работу № 1

Задания на контрольную работу № 2

Примеры решения заданий контрольной работы № 1

Матрицы и определители

 

Сумма (разность) определяется только для матриц одинаковой размерности. Пусть

. Тогда .

При умножении матрицы А на число нужно все элементы матрицы А умножить на это число.

Если , то .

Произведением матрицы на матрицу называется матрица , элементы которой находятся по формуле . В общем случае

Пусть , .

Имеем: , где

следовательно

.

Определителем второго порядка называется число, равное . (1.1)

Примеры.

1) ; 2) .

Определителем третьего порядка называется число, равное сумме произведений элементов его первой строки на их алгебраические дополнения.

 

. (1.2)

 

Аналогично определяются определители более высоких порядков.

Вычислим определитель, разложив его по элементам первой строки:

.

Определители третьего порядка можно вычислить и по правилу треугольников (правилу Саррюса) по схеме:

 

. (1.3)

 

Пример.

Системы линейных уравнений

Метод Крамера

Пример. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера

.

Вычислим определитель системы

 

 

Вычислим определители D 1, D 2, D 3, заменяя в определителе D элементы первого, второго и третьего столбцов соответственно элементами столбца из свободных членов.

.

Таким образом,

, х 2= , .

Итак,

х 1=1, х 2=6, х 3=5.

 

Метод обратной матрицы

Определение. Матрица А называется невырожденной, если D=det А 0.

Каждая невырожденная матрица А имеет обратную , причем для матрицы третьего порядка с элементами : обратная матрица имеет вид:

 

, (1.4)

 

где А 11, А 12 ,…, А 33 – алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы , располагаемые по столбцам в новой матрице.

Пример. Решить систему уравнений матричным методом:

. Имеем: А = , Х = , Н = .

, .

Для нахождения обратной матрицы А -1вычисляем все алгебраические дополнения элементов матрицы А:

, , ,

, , ,

, , .

Составляем обратную матрицу (1.4):

 

.

 

Тогда

.

Таким образом, х 1=1, х 2=6, х 3=5.

 

Линии второго порядка

Если центр окружности, эллипса, гиперболы или вершина параболы находятся в точке ,то соответствующие уравнения этих кривых будут иметь вид:

— окружность;

— гипербола;

— эллипс;

или — параболы.

Пример. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка и построить эту линию .

Преобразуем уравнение, выделяя полные квадраты с переменными и :

,

,

,

,

— это уравнение гиперболы с центром в точке , действительная полуось а= 4, мнимая полуось (рис. 2).

   

Примеры решения заданий контрольной работы № 2

Пределы

Рассмотрим наиболее важные для практики пределы:

1. Если функция определена в точке x = x 0, то ; 2. ;

3. ; 4. – первый замечательный предел;

5. – второй замечательный предел ();

6. ; 7. .

Примеры. Найти пределы функций.

1. при а) х 0 = 3; б) х 0 = ¥.

2. ; 3. .

Решение:

1. а) .

Подстановка предельного значения аргумента х 0=3 приводит к неопределенности вида .

Для раскрытия получившейся неопределенности найдем корни числителя: х 1=3 и х 2= ; и корни знаменателя: х 1=3 и х 2= . Тогда применяя формулу

ах 2 + bх+с=а (х-х 1)(х-х 2), получим:

2 х 2 - 5 х- 3 = = (х- 3)(2 х+ 1);

3 х 2-4 х -15= =(х -3)(3 х +5).

После преобразования числителя и знаменателя, и сокращения дроби на (х –3) (до перехода к пределу), повторяем непосредственную подстановку предельного значения.

.

б) .

При х ®¥ получаем неопределенность . Для раскрытия неопределенности разделим многочлены числителя и знаменателя на старшую степень аргумента, т. е. на х 2.

2. .

При вычислении пределов от тригонометрических функций обычно применяется первый замечательный предел: .

3. = .

Для того, чтобы применить второй замечательный предел, воспользуемся подстановкой t=х +3. Тогда x = t –3, 2 x =2 t –6 и, если , то и .

Таким образом,

Непрерывность функции

Определение. Функция называется непрерывной в точке х = х 0, если она в этой точке определена и .

Пример. Исследовать на непрерывность функцию

.

Построим график этой функции (рис. 3).

 

 
 

 


Данная функция состоит из трех аналитических выражений, каждое из которых непрерывно в своей области. Поэтому функция может иметь разрывы только в местах перехода от одного аналитического выражения к другому, т.е. в точках х =0 и х =1.

Исследуем эти точки:

а) х =0:

; ; .

Так как предел функции при слева, равен пределу функции при справа и равен значению функции при х =0, то в этой точке функция непрерывна.

б) х =1:

; .

Так как предел слева не равен пределу справа, то в точке х =1 функция имеет разрыв 1-го рода, со скачком .

Решение.

1. .

Найдем производную данной функции:

Так как дифференциал функции , получим:

.

2. .

Найдем производную данной функции:

Следовательно, .

3. .

Найдем производную данной функции. Применяем формулу (2.1) производной произведения двух функций,

 

Следовательно, .

4. .

Найдем производную данной функции. Применяем формулу (2.2) производной частного двух функций,

.

Следовательно, .

Пример. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке .

Найдем значение функции в точке x 0, ; производную функции и значение производной в точке x 0, :

; ; .

Так как уравнение касательной, проходящей через т. , имеет вид

, получим:

; или .

Уравнение нормали, проходящей через т. , имеет вид

.

Для рассматриваемого случая получим:

; или .

Сделаем чертеж (рис. 4).

Уравнение данной линии запишем в виде или . Это парабола с вершиной в точке (2, 1) и осью симметрии, параллельной оси ОУ.

 

 

Правило Лопиталя

 

Пусть функции и определены, непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x 0, за исключением, может быть, самой точки x 0. Причем в указанной окрестности производная функции не равна нулю. Тогда, если и , или и , то предел отношения этих функций представляет собой неопределенность вида или . Если при этом существует предел отношения производных данных функций и он равен некоторому числу k, то этому же числу равен предел отношения самих функций. Это можно записать так:

.

При этом x 0 может быть как конечным числом, так и бесконечностью.

Примеры. Найти

1) ; 2) ; 3) .

Решение.

1) .

.

3)

(напомним, что ).

 

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

 

(общий курс)

 

Контрольные задания и примеры их решения

для студентов 1 курса экономических специальностей

заочной формы обучения

 

1 семестр

 

 

Составители: Н. Т. Ахтямов

Д. С. Гарипов

В. В. Максимов

В. А. Паняев

 

 

Самара

 
2010

УДК 519.7

 

Высшая математика (общий курс): контрольные задания и примеры их решения для студентов 1 курса экономических специальностей заочной формы обучения / составители: Н. Т. Ахтямов, Д. С. Гарипов, В. В. Максимов, В. А. Паняев. – Самара: СамГУПС, 2010. – 35 с.

 

 

Утверждены на заседании кафедры 1.09.2009 г., протокол № 1.

Печатаются по решению редакционно-издательского совета университета.

 

 

Контрольные задания составлены в соответствии с Государственным образовательным стандартом и типовой программой по высшей математике и охватывают следующие разделы общего курса: элементы аналитической геометрии и линейной алгебры, дифференциальное исчисление функций одной переменной.

Приведены 30 вариантов контрольных заданий и образцы их решений.

 

Составители: к.ф-м.н., Наиль Тагирович Ахтямов

преп. Дмитрий Сергеевич Гарипов

доц., к.т.н. Валерий Владимирович Максимов

доц., к.т.н. Валерий Алексеевич Паняев

 

 

Рецензенты: к. ф-м.н., доц. СГУ Г. В. Воскресенская;

к. т. н., доц. СамГУПС В. Л. Шур

 

Под редакцией доц. О. Ф. Марковича

 

Подписано в печать 04.02.2010. Формат 60×901 1/16.

Усл. печ. л. 2,2. Тираж 200 экз. Заказ № 6.

 

 

 
© Самарский государственный университет путей сообщения, 2010

СОДЕРЖАНИЕ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ

I. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

1. Понятие матрицы, виды матриц, операции над матрицами.

2. Определители второго и третьего порядка. Свойства определителей.

Вычисление определителей. Понятие об определителе n -го порядка.

3. Обратная матрица. Элементарные преобразования. Ранг матрицы и его вычисление.

4. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

5. Формулы Крамера для систем линейных уравнений.

6. Метод обратной матрицы для решения систем линейных уравнений.

7. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

8. Векторы. Линейные операции над векторами.

9. Линейная зависимость и независимость векторов на плоскости и в трехмерном пространстве.

10. Разложение вектора по координатному базису. Координаты вектора, их геометрический и экономический смысл. Линейные операции над векторами в координатной форме. Деление отрезка в данном отношении.

11. Скалярное произведение векторов, его свойства и вычисление. Длина вектора. Угол между векторами, условие ортогональности.

12. Векторное произведение, его свойства и вычисление. Условие коллинеарности векторов. Условие компланарности векторов.

13. Смешанное произведение трех векторов, его свойства. Вычисление объемов.

14. Прямая на плоскости. Различные виды уравнений прямой. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

15. Плоскость. Способы задания плоскости и соответствующие им виды уравнений. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.

16. Прямая в пространстве. Различные виды уравнений прямой в пространстве.

17. Линии второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Канонические уравнения и свойства.

18. Полярные координаты. Уравнение линии в полярных координатах.

19. Цилиндрические поверхности и поверхности вращения.

20. Поверхности второго порядка общего вида.

II. Введение в математический анализ

1. Понятие функции. Основные элементарные функции, их графики.

2. Числовая последовательность, предел последовательности.

3. Предел функции. Основные теоремы о пределах.

4. Бесконечно малые и бесконечно большие величины, основные свойства. Сравнение бесконечно малых величин.

5. Первый и второй замечательные пределы.

6. Раскрытие простейших неопределенностей.

7. Непрерывность функций.

III. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1. Производная функции, ее геометрический, механический и экономический смысл.

2. Правила и формулы дифференцирования. Дифференцирование сложной

функции.

3. Логарифмическое дифференцирование.

4. Производные высших порядков.

5. Дифференцирование неявных функций. Параметрическая функция и ее

дифференцирование.

6. Дифференциал функции, его геометрический и механический смысл. Правила

нахождения дифференциала.

7. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей.

IV. Исследование функции с помощью производных

1. Монотонные функции. Условия возрастания и убывания функций.

2. Экстремумы функции. Необходимые условия экстремумов. Достаточные

условия существования экстремумов.

3. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

4. Вертикальные и наклонные асимптоты кривых.

5. Общая схема исследования функции и построение графика.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

1. Высшая математика для экономистов / под ред. Н.Ш. Кремера. – 3-е изд. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. – 479 с.

2. Общий курс высшей математики для экономистов / под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2008. – 656 с.

3. Писменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. – М.: Айрес-пресс, 2007. – 608с.

4. Шипачев В.С. Высшая математика: учеб. для вузов. – М.: Высшая школа, 2007. – 479 с.

5. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 2000. – 320 с.

6. Пискунов И.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. Т. 1, 2. –М.: Интеграл-пресс, 2002.

7. Справочник по высшей математике / под ред. А.А. Гусака. – Мн.: Тетра- Системс, 1999. – 640 с.

8. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч.1, 2. – М.: Высшая школа, 2006.

9. Климова Е.Н., Маркович О.Ф. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии: конспект лекций. – Самара: СамГАПС, 2003. – 74 с.

10. Додонова Н.Л., Маркович О.Ф., Паняев В.А. Высшая математика (общий курс). Рабочая программа, методические указания и контрольные задания для студентов 1 курса заочной формы обучения экономических специальностей. – Самара: СамГУПС, 2009. –89 с. (№ 2312).

 

Правила выполнения и оформления контрольных работ

При выполнении контрольных работ необходимо строго придерживаться указанных ниже правил.

1. Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного. Необходимо оставлять поля для замечаний рецензента.

2. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании строго по положенному варианту. Контрольные работы, содержащие не все задания, а также задания не своего варианта, не допускаются к собеседованию..

3. Номер варианта определяется остатком от деления на 30 числа, составленного из двух последних цифр шифра студента (номера зачетной книжки).

4. Решения задач надо располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.

5. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие.

6. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

7. После получения прорецензированной работы студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты и выполнить все рекомендации рецензента. Работа над замечаниями (ошибками) приводится в конце контрольной работы, после рецензии.

8. В случае, если работа не будет допущена к собеседованию и отсутствия прямого указания рецензента на то, что студент может ограничиться представлением исправленных решений отдельных задач, вся работа должна быть выполнена заново.

9. Теоретический материал и методические указания к выполнению контрольных заданий приведены в работе [10] - МУ № 2312.

 

Задания на контрольную работу № 1

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

№№1.1-1.30. Даны числа a, b и матрицы А, В, С. Найдите .

 

1.1. ,

1.2. ,

1.3. ,

1.4. ,

1.5. ,

1.6. ,

1.7. ,

1.8. ,

1.9. ,

1.10. ,

1.11. , ,

1.12. , ,

1.13. , ,

1.14. , ,



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 353; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.193.208.105 (0.307 с.)