Основні методи побудування загальних параметрів еліптичних кривих

12.2.1 Загальні параметри еліптичних кривих над полями .

При викладенні питань побудування загальних параметрів еліптичних кривих будемо орієнтуватись на такі джерела як [50, 132 – 135, 167 - 171 ]

До загальних параметрів еліптичної кривої Е над полем відносяться наступні параметри:

Розмір поля , який визначає базове кінцеве поле , де повинно бути простим числом.

Бітовий рядок , якщо еліптична крива генерована випадково. В [22] наведено приклад того, як генерувати випадкову еліптичну криву та контролювати її параметри, використовуючи для ініціалізації строку (необов’язково).

Параметри та еліптичної кривої, які визначають рівняння еліптичної кривої , що використовується: .

Базова точка порядку з координатами та .

Порядок базової точки за умови, що та - просте число.

Кофактор взаємозв’язку порядку кривої та порядку базової точки , причому .

Крива, тобто її параметри 1-6, ні в якому випадку не повинні вибиратись із переліку значень, що виключені із списку (не рекомендуються або заборонені).

Проведений аналіз дозволив сформулювати вимоги до розміру та властивостей загальних параметрів еліптичних кривих. Сутність цих вимог викладена нижче.

Порядок кривої порядок базової точки еліптичної кривої та модуль перетворення є взаємозв’язаними

(1.38)

(1.39)

(1.40)

(1.41)

Якщо підставити (2.1.7) та (2.1.8) в (2.1.6) одержимо

(1.42)

(1.43)

Співвідношення (1.40) – (1.43) дозволяють вибрати вказані загальні параметри ЕК.

 

12.2.2 Методи побудови загальних параметрів еліптичних кривих над полем .

Побудова загальних параметрів є в обчисленні параметрів кривої та визначенні її порядку. Аналіз джерел показав, що методи побудови загальних параметрів еліптичних кривих можна розділити на 2 групи:

методи, що ґрунтуються на побудові загальних параметрів вибраного порядку підгрупи базової точки, на основі якого обчислюються параметри кривої. Прикладом такого методу є метод „ комплексного множення ”[61 ];

методи обчислення порядку кривої, параметри якої вибрані випадково. До них відносяться методи Скуфа, SEA та „ Великих та малих кроків ” [134 – 135, 167 - 172].

Методи побудови на основі комплексного множення (вибраного порядку підгрупи базової точки) мають такі обмеження та недоліки:

порядок еліптичної кривої обчислюється попередньо та не є випадковим;

обмежене число кривих, що можуть використовуватися;

взаємна пов’язаність параметрів еліптичної кривої між собою;

значна складність обчислення кореня поліному. Причому максимально допустиме значення поліному не перевищує ;

обмеженість загальних параметрів значенням дискримінанти кривої.