Теория потенциалов, определение, основные свойства.

Пусть в точке расположен заряд величины , тогда в любой точке пространства будет создаваться поле, потенциал которого: . Для системы зарядов, потенциал имеет вид: .

Диполь: Пусть в точках и расположены заряды, величиной –e и +e. - момент диполя, будем сближать точки и , сохраняя величину (увеличивая e), то в пределе при получим точечный диполь, расположенный в точке Q, потенциал которого равен: .

 

Рассмотрим интеграл: , - интегрируема (непрерывна) везде, кроме , если . Рассмотрим его сходимость и непрерывность.

Определение: будем говорить, что это интеграл сходиться равномерно в окрестности точки , если для любого существует такое , (), что для любой точки , ( - окрестность т. , ) выполняется: .

Теорема: если сходится равномерно в окрестности точки , то существует и непрерывна в точке .

Доказательство: разобьём на 2 функции: , рассмотрим разность: (она мала, если и близки).

Докажем более подробно. Поскольку сходится в окрестности , то берём и выбираем такое , что и , тогда выполняется и . Так как , то интеграл не является не собственным, и непрерывна в точке . Значит, для того же существует такое , что выполняется . Пусть , тогда выполняется , и , а следовательно и .

Чтд.

Замечание: из равномерной сходимости следует сходимость интеграла.

При определении интеграла предполагалось, что промежуток интегрирования конечен и подынтегральная функция определена и непрерывна на этом промежутке. Такой интеграл называется собственным. Если нарушается хотя бы одно из этих условий, то интеграл называется несобственным.

a) Объёмный потенциал

Потенциал поля, созданного зарядами, распределёнными в области с плотностью , равен и называется объёмным потенциалом.

Свойство 1. Объёмный потенциал определён и непрерывен всюду.

Если , то интеграл не является не собственным. Поскольку подынтегральная функция, как функция , непрерывна в точке , то непрерывен в этой точке и интеграл .

Если , то, согласно теореме и замечанию, достаточно доказать равномерную сходимость, интеграла в окрестности точки . Для этого оценим интеграл: , мы увеличили область, поместив всё в шар , радиуса . Перейдём в последнем интеграле к сферическим координатам и получим тогда: , чтобы интеграл был меньше заданного , достаточно взять .

Свойство 2. Объёмный потенциал имеет всюду непрерывные частные производные первого порядка по координатам точки .

Если , то интеграл не является не собственным. Поскольку подынтегральная функция, как функция точки , имеет в точке непрерывные частные производные первого порядка по координатам точки , то этим свойством обладает и интеграл , причём производные вычисляются путём дифференцирования под знаком интеграла: , , - (1), где - координаты точки .

Если , то, согласно теореме и замечанию, достаточно доказать равномерную сходимость в окрестностях точки интегралов от производных в правых частях формул. Тогда законно дифференцирование под знаком интеграла, причём для производных , и справедливы формулы (1). Для определённости рассмотрим интеграл: . Оценим его: , т.к. .

Далее, , достаточно взять для того, чтобы выполнялось неравенство .

Свойство 3. Объёмный потенциал является гармонической функцией вне области , в которой расположены заряды (массы). Это свойство следует из того, что для точек интеграл не является не собственным, и поэтому оператор Лапласа можно вносить под знак интеграла:

, т.к. для точек (а точнее P≠Q) имеем .

Свойство 4. в точках области объёмный потенциал удовлетворяет соотношению: , т.к. , .

Вторые производные рвутся.

 

Свойство 5. При стремлении точки наблюдения к бесконечности объёмный потенциал стремится к нулю ( - огр.).

Применим теорему о среднем: , где - суммарный заряд. Т.о. .

b) Потенциал простого слоя

Потенциал поля, созданного зарядами, распределёнными по поверхности с плотностью , равен и называется потенциалом простого слоя.

Свойство 1. Потенциал простого слоя определён всюду.

Если (не принадлежит несущей поверхности ), это очевидно, т.к. имеет конечное значение для любых р.

Если , то интеграл является несобственным по двумерной области . Из математического анализа известно, что несобственный интеграл по двумерной области абсолютно сходится, если , в нашем случае , следовательно, интеграл сходится.

Свойство 2. Потенциал простого слоя и непрерывен всюду.

Если , то интеграл не является не собственным, и его непрерывность следует из непрерывности подынтегральной функции .

Если , то, согласно теореме и замечанию, достаточно доказать равномерную сходимость, интеграла в окрестности точки . Для этого оценим интеграл по части поверхности , содержащей точку и имеющей диаметр меньший, чем . Пусть - произвольная точка, причем: . Пусть - проекция поверхности на плоскость , а круг на плоскости с центром в точке радиуса . Проекция на плоскость элемента поверхности равна: . Оценим:

вводим полярную систему координат с началом в точке , тогда легко вычислить последний интеграл, он равен: .

Достаточно взять для того, чтобы выполнялось неравенство .

Свойство 3. Потенциал простого слоя является гармонической функцией всюду, кроме точек несущей поверхности .

Это свойство очевидно, так как для точек интеграл не является несобственным и поэтому:

Свойство 4. нормальные производные потенциала простого слоя имеют разрыв первого рода в точках поверхности со скачком .

Свойство 5. если несущая поверхность ограничена, то потенциал простого слоя стремится к нулю, когда точка стремится к бесконечности.

Применим к интегралу теорему о среднем: , где - суммарный заряд.

Т.о.

c) Потенциал двойного слоя

h     и считаем конечными.

Пусть - двусторонняя поверхность с непрерывно меняющейся касательной плоскостью, и на ней распределены диполи с плотностью моментов , так, что оси их в каждой точке совпадают с положительным направлением нормали, то потенциал этого поля, созданного этими диполями: - потенциал двойного слоя.

Пусть - двусторонняя поверхность с фиксированным направлением нормали. Вообразим, что в положительном направлении нормали мы отложили отрезки длинною . ГМТ концов этих отрезков образуют плоскость . Пусть на распределены отрицательные заряды с плотностью , а на - положительные с той же плотностью. Получим «двойной слой» зарядов противоположных знаков, который можно рассматривать как совокупность диполей, распределённых по поверхностям и с плотностью . Потенциал поля, создаваемого диполем, «опирающимся» на элементы поверхностей и , равен . Потенциал поля, создаваемого всеми диполями: . Если устремим к нулю, то получим двойной слой на поверхности , его потенциал , а называется несущей поверхностью. Поскольку , то

Свойство 1. Потенциал двойного слоя определён всюду.

Свойство 2. В точках , не лежащих на несущей поверхности , потенциал двойного слоя является гармонической функцией. Если , то этот интеграл не является несобственным и поэтому:

Свойство 3. при стремлении точки наблюдения к бесконечности потенциал двойного слоя стремится к нулю.

Применим к теорему о среднем: , где .

Свойство 4. Если плотность дипольных моментов непрерывна на (S замкнута), то потенциал двойного слоя имеет разрыв первого рода в точках несущей поверхности со скачком равным . , где и .

d) Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов

Полученные свойства потенциалов позволяют пользоваться ими как удобным аппаратом для решения краевых задач.

Решим первую краевую задачу с уравнением Пуассона.

Задача: найти функцию, гармоническую в области , ограниченную контуром и удовлетворяющую на граничным условиям. Рассмотрим первую краевую задачу: (1) , ищем , дважды дифференцируемую и непрерывную в , удовлетворяющую уравнению и начальным условиям.

Объёмный потенциал : внутри области имеет II производную и: , пусть , .

Пусть , причём, для задача будет ставиться следующим образом: (2) , задачу (1) свели к (2). Ищем её решение в виде потенциала двойного слоя: , она удовлетворяет уравнению и граничному условию (2). Таким образом, получили уравнение, которому удовлетворяет : , из этого уравнения надо найти плотность .

Таким образом, решением краевой задачи будет потенциал двойного слоя с плотностью, удовлетворяющей последнему уравнению.

 

 

e) Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах:

Потенциал	Объёмный потенциал	Потенциал простого слоя	Потенциал двойного слоя
Физическая интерпретация	Объём непрерывно заряжен с плотность	В объёме Д находится заряженный непрерывно с плотность лист площади S	В объёме Д находятся два непрерывно зараженных с плотность момента диполей листа, сближенных по нормали:
Вид потенциала
	Если , то это обычные интегралы, зависящие от параметра, подынтегральное выражение нигде не обращается в бесконечность: - u гармоническая функция везде.
	Если , ρ – конечно,
	существует и непрерывен (интеграл сходиться)	существует и непрерывен	существует, но может быть разрывна.
Первые производные:	существуют и непрерывны	- величины разрыва (производная рвётся)	Говорить о них нельзя
Дополнительно:	Вторые производные: - объёмный потенциал удовлетворяет этому соотношению в области .		Если поверхность S замкнута, и нормаль направлена внутрь, то можно указать величину разрыва:
В 2D случае всё аналогично, нужно сделать лишь следующие замены:

9. Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры.

Корректность - непрерывная зависимость решения от дополнительных условий в любой конечной точке области, т.е. если имеем уравнение и два условия , причём (отличные на малую величину), то и (тоже мало отличаются).

Пусть , - гармоническая функция, тогда: , тогда по теореме о максимумах и минимумах везде в области D верно: то есть малому изменению граничных условий отвечает малое изменение решений. Задача Дирихле корректна.

Пример некорректной задачи: - уравнение Лапласа. Рассмотрим задачу Коши: .

Рассмотрим два типа начальных условий: . Эти граничные условия мало отличаются при . Но решения не будут близкими при этом: , т.к. . Таким образом, решения будут существенно различны.

10. Уравнение с оператором с особенностью , свойства, ограниченность, постановка задачи.

Теория специальных функция – это теория следующих уравнений: (*) - линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Пусть функция , т.е. - нуль первого порядка. Решение (*) всегда: . Рассмотрим решение в окрестности особой точки, в которой обращается в ноль.

Теорема. Если уравнение имеет ограниченное в точке решение , то все остальные решения (линейно независимые) не ограничены: . То есть существует одно ограниченное решение.

Доказательство: Из теории ОДУ знаем, что , - Вронскиан двух решений. Докажем: , тогда , чтд.

У нас ограничено, а - нет. Рассмотрим следующую величину: . Проинтегрируем эту величину: , , следовательно, этот интеграл расходится при , а это значит, что , чтд.

Уточним теорему: рассмотрим два случая.

1. в окрестности точки , ~ , т.е. как логарифм.

2. ~ ~ - полюс порядка .

Проанализируем получившееся решение:

Если требуется ограниченное решение в особой точке, то , т.к. . Так как полное решение (*) всегда является суммой двух решений: ограниченного и неограниченного, то ограниченность этого первого решения уже есть само по себе граничное условие.

 

Уравнение Бесселя.

Рассмотрим уравнение вида: - уравнение Бесселя. Это уравнение для цилиндрических функций – его решения – цилиндрические функции. Рассмотрим лапласиан в цилиндрических координатах, и : - возникает в связи с решением уравнения Лапласа в цилиндрических координатах.

Решением этого уравнения (1-ым базисным решнием) является функция Бесселя первого рада: .

Рассмотрим некоторые её свойства.

1) Рекуррентные соотношения.

2) Функции Бесселя с полуцелыми номерами . Вычислим .

Для этого выполним преобразования:

, подставим , но , тогда .

Таким образом, мы получили следующие значения: , используя рекуррентные соотношения можно получить остальные значения полуцелых индексов.

3) Нули функции Бесселя.

1. Они есть и их бесконечно много, следует из асимптотики: . 2. Все нули, кроме , простые, изолированные. 3. Все нули действительные, положительные. 4. и не имеют общих нулей (см. рисунок). 5. При возрастании корень смещается, , - корни функции Бесселя.

 

a) особенность, построение ограниченного решения .

Будем искать решение уравнения Бесселя в виде ряда Тейлора, умноженного на : . Подставим это решение в уравнение , , найдём коэффициенты и выберем ограниченное решение.

Подставив решение в уравнение, сравниваем коэффициенты при разных степенях:

При : При : При : При :

Пусть . Таким образом: . Вычислим коэффициент , и выразим его через .

, коэффициент выбираем произвольно: , где .

Таким образом, получили коэффициенты ряда: , т.к. .

Запишем формальный ряд: , если , тогда решение ограничено. Оно решение, т.к. ряд сходится для любых по признаку Даламбера: , сходится при всех , радиус сходимости равен бесконечности. Таким образом, мы получили единственное, с точность до множителя решение: - функция Бесселя первого рода – это первое базисное решение.

Случай рассмотрен в следующем пункте.

b) общее решение, , , , понятие о функциях .

Будем искать решение уравнения Бесселя в виде ряда Тейлора, умноженного на : . Подставим это решение в уравнение , , найдём коэффициенты и выберем ограниченное решение.

Подставив решение в уравнение, сравниваем коэффициенты при разных степенях:

При : При : При : При :

Пусть : тогда уравнение решение Бесселя будет: , где - любое нецелое число. Это неограниченное решение значит, оно может выступать в роли второго базисного, но только в случае не целого значения .

Пусть - целое число, тогда при . сменим индекс: , получили соотношение: , то есть решения стали линейно зависимыми..

В качестве второго линейно независимого решения уравнения Бесселя можно взять функцию, построенную следующим образом: - это функция Неймана.

Её асимптотика . Оно тоже может играть роль базисного уравнения.

Могут быть и другие линейно-независимые комбинации (базисные решения):

- функции Ханкеля, их асимптотика .

Т.о. общее решение уравнения Бесселя имеет вид (линейная комбинация 2-х базисных решений):

c) асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя.

Функции Бесселя (любые решения уравнения Бесселя) имеют особенность в нуле. Решение уравнения Бесселя при имеет следующий вид: . Докажем это.

Для этого сделаем замену: , подставим , первые производные ушли, осталось: . Таким образом: , будем искать в виде: . Надо найти две функции: и .

положим , получим . Тогда , подставим в уравнение: , т.о. получили систему: . Получили систему, разрешённую относительно производных, но не нелинейную. Оценим. Проинтегрируем и запишем для первого и второго уравнений:

. При больших значениях , и имеют вид констант.

Получим вид : и : .

Тогда - общая формула для любой цилиндрической функции.

Асимптотики функций Бесселя и Неймана: