Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Теорема о среднем для гармонических функций
Теорема о среднем: Для любой гармонической функции в области D выполняется: - равна своему среднему значению по любой сфере с центром в точке р и радиусом R - . Доказательство: запишем интегральную формулу: Учтём что, . Функция - гармоническая в области D, тогда . Последний интеграл исчез. Воспользуемся первым свойством гармонических функций: интеграл по любой замкнутой поверхности внутри области гармоничности D равен нулю. Тогда получаем что, . Первый интеграл исчез. Рассмотрим второй интеграл, учтём, что производная по нормали совпадает с производной по радиусу: . Чтд. Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле. Теорема о максимумах и минимумах. Любая функция, гармоническая в области D и непрерывная на Г принимает своё максимальное и минимальное значения на границах и только на границах (за исключением тривиального случая U = const). Доказательство: пусть теорема не верна. - максимум достигается во внутренней точке. Применим теорему о среднем: , видим, что: . Вычтем: , но значит что разность всегда, а от неотрицательной непрерывной функции равен нулю в случае если на сфере , то есть получили, что максимум достигается на границе сферы , и в то же время в самой точке Р. В силу произвольности выбора точки Р и радиуса R максимальное значение достигается во всей области D и в том числе на границе. Т.о. пришли к исключающему варианту теоремы (получен тривиальный случай). Следовательно, максимум достигается только на границе. Чтд. Теорема о минимумах доказывается аналогично, заменой (u) на (-u). Следствия: 1. Единственность. Задача Дирихле имеет единственное решение, если её однородная задача имеет только тривиально решение. Рассмотрим первую краевую задачу Дирихле. . Пусть задача Дирихле имеет два решения: , тогда: из теоремы о mах и min следует, что - во всей области D в том числе и на границе. 2. Корректность - непрерывная зависимость решений от дополнительных условий в любой конечной точке области. Если имеем уравнение и два условия , причём (отличные на малую величину), то и (тоже мало отличаются). Докажем. Пусть , - гармоническая функция, тогда: , тогда по теореме о максимумах и минимумах везде в области D верно: то есть малому изменению граничных условий отвечает малое изменение решений. Задача Дирихле корректна.
Пример некорректной задачи: - уравнение Лапласа. Рассмотрим задачу Коши: . Рассмотрим два типа начальных условий: . Эти граничные условия мало отличаются при . Но решения не будут близкими при этом: , т.к. . Таким образом, решения будут различны при больших n.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-06; просмотров: 183; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.141.8.247 (0.005 с.) |