Уравнение Лапласа и Пуассона.

Оглавление

 

Оглавление. 1

1. Уравнение Лапласа и Пуассона. 2

a)Физический смысл стационарной задачи. 2

b)Примеры.. 2

c)Понятие о потенциалах. 2

d)Постановка задач. 2

2. Первая и вторая формулы Грина с оператором , следствия. 3

3. Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства. 4

4. Теорема о среднем для гармонических функций.. 6

5. Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле. 7

6. Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений. 8

7. Функция Грина для задачи с уравнением , понятия, определения. 9

a)решение задач с её помощью.. 9

b)построение в одномерном случае на отрезке. 9

8. Теория потенциалов, определение, основные свойства. 11

a)Объёмный потенциал. 12

b)Потенциал простого слоя. 14

c)Потенциал двойного слоя. 15

d)Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов. 16

e)Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах: 17

9. Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры. 18

10.Уравнение с оператором с особенностью , свойства, ограниченность, постановка задачи. 19

11.Уравнение Бесселя. 20

a) особенность, построение ограниченного решения . 21

b) общее решение, , , , понятие о функциях . 22

c)асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя. 23

d)краевая задача на собственные значения: , её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д. 24

e) модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции . 25

f)Сводная таблица. 26

12.Краевая задача с двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора . 27

13.Уравнение гипергеометрического типа. 28

a)Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных. 28

b)Решение в виде полиномов. Формула Родрига. 29

c)Ортогональные решения полиномов.Свойства нулей. 30

14.Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов. 31

a)Лежандра. 31

b)Чебышева-Лягера. 32

c)Чебышева-Эрмита. 33

d)Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида. 34

15.Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства. 36

16.Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных. 37

17.Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д. 38

Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства.

 

(p) - гармоническая функция – если она удовлетворяет уравнению Лапласа: , и непрерывна в .

Примеры

1: Линейная функция вида - гармоническая функция, т.к. удовлетворяет условиям.

2: Цилиндрические функции. Рассмотрим цилиндрическую систему координат (r,φ,z): и , тогда , если , то останется первое слагаемое: =0, решаем . Т.о. функция вида - гармоническая функция в т. .

3: Сферические функции. Рассмотрим сферические координаты: и , тогда , если , то останется первое слагаемое: , решаем т.о. функция вида - гармоническая функция в т. .

Получим формулу интегрального представления.

Пусть , тогда (согласно второй формуле Грина) получаем: . Эта формула верна в случае любых двух непрерывно дифференцируемых функций в области D, а выбираем следующим образом: , (причём заметим, что - гармоническая функция), имеет особенность в области D в точке P = Q. Вырежем её из области D: окружим её окружностью с центром в точке Р и радиусом - . Т.о. формула справедлива в области и появится ещё одно слагаемое: - интеграл по сфере , тогда: .

Рассмотрим последний интеграл:

Применим к первому слагаемому теорему о среднем: , - точка на сфере . Перейдём к переделу : - первое слагаемое исчезло. Рассмотрим второе слагаемое: применим теорему о среднем , - точка на сфере , Перейдём к переделу : . Второе слагаемое: . Тогда второй интеграл перепишется в виде: , а интеграл , так как .

(Примечание: когда мы окружали окрестностью точку р, это должно было отразится и на объёмном интеграле, но при этот интеграл становится несобственный, но сходящийся. Тогда ).

Таким образом, получили, что: , выражаем . Мы получили формулу для 3D случая (к(р) положим = 1): .

В двумерном случае получаем аналогично: ,

- расстояние между точками p и Q.

Чтд.

Уравнение Бесселя.

Рассмотрим уравнение вида: - уравнение Бесселя. Это уравнение для цилиндрических функций – его решения – цилиндрические функции. Рассмотрим лапласиан в цилиндрических координатах, и : - возникает в связи с решением уравнения Лапласа в цилиндрических координатах.

Решением этого уравнения (1-ым базисным решнием) является функция Бесселя первого рада: .

Рассмотрим некоторые её свойства.

1) Рекуррентные соотношения.

2) Функции Бесселя с полуцелыми номерами . Вычислим .

Для этого выполним преобразования:

, подставим , но , тогда .

Таким образом, мы получили следующие значения: , используя рекуррентные соотношения можно получить остальные значения полуцелых индексов.

3) Нули функции Бесселя.

1. Они есть и их бесконечно много, следует из асимптотики: . 2. Все нули, кроме , простые, изолированные. 3. Все нули действительные, положительные. 4. и не имеют общих нулей (см. рисунок). 5. При возрастании корень смещается, , - корни функции Бесселя.

 

a) особенность, построение ограниченного решения .

Будем искать решение уравнения Бесселя в виде ряда Тейлора, умноженного на : . Подставим это решение в уравнение , , найдём коэффициенты и выберем ограниченное решение.

Подставив решение в уравнение, сравниваем коэффициенты при разных степенях:

При : При : При : При :

Пусть . Таким образом: . Вычислим коэффициент , и выразим его через .

, коэффициент выбираем произвольно: , где .

Таким образом, получили коэффициенты ряда: , т.к. .

Запишем формальный ряд: , если , тогда решение ограничено. Оно решение, т.к. ряд сходится для любых по признаку Даламбера: , сходится при всех , радиус сходимости равен бесконечности. Таким образом, мы получили единственное, с точность до множителя решение: - функция Бесселя первого рода – это первое базисное решение.

Случай рассмотрен в следующем пункте.

b) общее решение, , , , понятие о функциях .

Будем искать решение уравнения Бесселя в виде ряда Тейлора, умноженного на : . Подставим это решение в уравнение , , найдём коэффициенты и выберем ограниченное решение.

Подставив решение в уравнение, сравниваем коэффициенты при разных степенях:

При : При : При : При :

Пусть : тогда уравнение решение Бесселя будет: , где - любое нецелое число. Это неограниченное решение значит, оно может выступать в роли второго базисного, но только в случае не целого значения .

Пусть - целое число, тогда при . сменим индекс: , получили соотношение: , то есть решения стали линейно зависимыми..

В качестве второго линейно независимого решения уравнения Бесселя можно взять функцию, построенную следующим образом: - это функция Неймана.

Её асимптотика . Оно тоже может играть роль базисного уравнения.

Могут быть и другие линейно-независимые комбинации (базисные решения):

- функции Ханкеля, их асимптотика .

Т.о. общее решение уравнения Бесселя имеет вид (линейная комбинация 2-х базисных решений):

c) асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя.

Функции Бесселя (любые решения уравнения Бесселя) имеют особенность в нуле. Решение уравнения Бесселя при имеет следующий вид: . Докажем это.

Для этого сделаем замену: , подставим , первые производные ушли, осталось: . Таким образом: , будем искать в виде: . Надо найти две функции: и .

положим , получим . Тогда , подставим в уравнение: , т.о. получили систему: . Получили систему, разрешённую относительно производных, но не нелинейную. Оценим. Проинтегрируем и запишем для первого и второго уравнений:

. При больших значениях , и имеют вид констант.

Получим вид : и : .

Тогда - общая формула для любой цилиндрической функции.

Асимптотики функций Бесселя и Неймана:

 

 

d) краевая задача на собственные значения: , её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д.

Рассмотрим краевую задачу на собственные значения. на отрезке , или: , отличается от уравнения Бесселя наличием параметра .

Первое решение: - тождественный ноль, а задача Штурма-Лиувилля – это задача на собственные функции и собственные значения - заключается в нахождении таких значений , при которых существует нетривиальное решение.

Сделаем замену: , () , его общее решение , константы находим из начального условия. Из ограниченности находим, что , из второго условия находим что: - это уравнение для определения . У бесконечно много нулей: и , тогда можно написать, что . Тогда собственные значения - их бесконечно много, и соответственно собственные функции .

Все собственные значения действительны и положительны. Это следует из самосопряженности оператора . Убедимся в его самосопряженности. Напишем формулу Грина

, - т.е. оператор самосопряжённый. Это значит, что все собственные значения действительны и положительны, т.к. и .

Все собственные функции, отвечающие разным собственным значениям ортогональны с весом :

Теорема Фурье-Бесселя (о полноте)

Любая функция , которая на отрезке допускает дифференцирование и удовлетворяет граничным условиям: , разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по функциям Бесселя: . Коэффициенты находятся интегрированием, т.к. это разложение по ортогональному базису. .

В задаче на собственные функции и собственные значения всё будет аналогично, если вместо краевого условие первого рода мы возьмём , тогда - будут корнями уравнения: .

e) модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции .

Рассмотрим уравнение: , оно отличается знаком перед . Сделаем замену , тогда подставим и получим уравнение: , получили уравнение Бесселя. Его ограниченное решение: - модифицированная функция Бесселя.

В качестве С возьмем , тогда . Он отличается знакопостоянством. Рассмотрим его асимптотику: . Модифицированная функция заведомо не имеет нулей (только на мнимой оси), т.к. все слагаемые положительные. Напишем базис. Первая базисная функция - , вторая базисная функция - - функция Макдональда. - действительна для действительных . Её асимптотика , тогда общее решение можно записать так: . Из линейной независимости и следует, что в точке имеет полюс -го порядка.

f) Сводная таблица.

Лапласиан в цилиндрических координатах:
Лапласиан в сферических координатах:
Уравнение Бесселя: (уравнение для цилиндрических функций)
решение уравнения Бесселя при (асимптотика):
Функция Бесселя первого рода:	;
Модифицированное уравнение Бесселя:
Модифицированная функция Бесселя:	;
Функция Неймана:	;
Функции Ханкеля:	;
Функция Макдональда:
рекуррентные соотношения:	1) 2)
функция Бесселя полуцелых порядков:	;
рассмотрим краевую задачу (задачу на собственные значения и собственные функции):	, где
Ортогональность (и нормировка):

 

12. Краевая задача с двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора .

Рассмотрим уравнение: (*) и пусть - имеет два ноля.

Известно ограниченное решение в точке b, а также ограниченное решение в точке a. Возможен случай, когда решение в точке перейдёт в ограниченное решение в точке : . Но в общем случае всё множество решения, как правило, неограниченно. Исключительная ситуация может быть в случае нулевого решения. Таким образом возникает задача нахождения таких собственных значений λ, при которых задача - при - имеет нетривиальное решение; роль граничных условий здесь играет требование на ограниченность решения

Полученные функции, отвечающие различным собственным значениям, будут ортогональны, то есть оператор должен быть самосопряжённым.

Самосопряженность оператора

Используя 2-ую формулу Грина получаем:

Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов

a) Полиномы Лежандра.

1) Определим многочлены Лежандра так: разложим в ряд по степеням функцию: .

Коэффициенты этого разложения являются многочленами, называемыми полиномами Лежандра. - называется производящей функцией полиномов Лежандра.

2) Краевая задача: найти такие значения , для которых на отрезке существуют не тривиальные решения уравнения Лежандра , ограниченные при .

Функция - есть собственная функция задачи, соответствующая собственному значению .

Упрощённое уравнение Лежандра:

3) Рекуррентные соотношения:

4) Ортогональность и норма полиномов Лежандра: , полиномы Лежандра разных порядков ортогональны между собой; второе линейно независимое решение уравнения Лежандра при обращается в бесконечность при как .

5) Все нули полиномов Лежандра простые и расположены на интервале .

6) Ограниченность: полиномы Лежандра равномерно ограниченны для всех значений аргумента .

b) Полиномы Чебышева-Лягера.

1) Определим полиномы Чебышева-Лягера так: разложим в ряд по степеням функцию: .

Коэффициенты этого разложения являются многочленами, называемыми полиномами Чебышева-Лягера. - называется производящей функцией полиномов Чебышева-Лягера.

2) Краевая задача: найти такие значения , для которых в области существуют не тривиальные решения уравнения Чебышева-Лягера , ограниченные при и возрастающие при не быстрее чем конечная степень

Функция - есть собственная функция задачи, соответствующая собственному значению .

Упрощённое уравнение Чебышева-Лягера:

3) Рекуррентные соотношения:

4) Ортогональность и норма полиномов Чебышева-Лягера: :, полиномы Чебышева-Лягера разных порядков ортогональны между собой с весом .

 

c) Чебышева-Эрмита.

1) Определим полиномы Чебышева-Эрмита так: разложим в ряд по степеням функцию: .

Коэффициенты этого разложения являются многочленами, называемыми полиномами Лежандра. - называется производящей функцией полиномов Чебышева-Эрмита.

2) Краевая задача: найти такие значения , для которых на существуют не тривиальные решения уравнения Чебышева-Эрмита , возрастающее при не быстрее чем конечная степень

Функция - есть собственная функция задачи, соответствующая собственному значению .

Упрощённое уравнение Чебышева-Эрмита:

3) Рекуррентные соотношения: ;

4) Ортогональность и норма полиномов Чебышева-Эрмита: , полиномы Чебышева-Эрмита разных порядков ортогональны на с весом между собой.

 

d) Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида.

	Лежандр	Чебышев - Лягер	Чебышев - Эрмит
Вид уравнения
Упрощенное уравнение
Собственные решения:
Собственные функции
Рекуррентные соотношения:
Производящие функции:
Ортогональность и норма:
Упрощенное уравнение гипергеометрического вида:
его самосопряжённый вид
Произвольное решение уравнения гипергеометрического вида тоже является решением другого уравнения гипергеометрического вида:	Пусть:
Собственные решения:
Собственные функции (Формула Родрига):
Ортогональность:
Присоединённые уравнение Лежандра:	Присоединённые функции: ,	Норма присоединённых функций:

 

Оглавление

 

Оглавление. 1

1. Уравнение Лапласа и Пуассона. 2

a)Физический смысл стационарной задачи. 2

b)Примеры.. 2

c)Понятие о потенциалах. 2

d)Постановка задач. 2

2. Первая и вторая формулы Грина с оператором , следствия. 3

3. Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства. 4

4. Теорема о среднем для гармонических функций.. 6

5. Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле. 7

6. Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений. 8

7. Функция Грина для задачи с уравнением , понятия, определения. 9

a)решение задач с её помощью.. 9

b)построение в одномерном случае на отрезке. 9

8. Теория потенциалов, определение, основные свойства. 11

a)Объёмный потенциал. 12

b)Потенциал простого слоя. 14

c)Потенциал двойного слоя. 15

d)Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов. 16

e)Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах: 17

9. Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры. 18

10.Уравнение с оператором с особенностью , свойства, ограниченность, постановка задачи. 19

11.Уравнение Бесселя. 20