Вопрос. Производящая функция.

Вопрос. Гипергеометрическое распределение.

Вопрос. Равномерное распределение.

6 вопрос. Нормальное распределение.

7 вопрос. Распределение Пирсона (χ²-распределение). На самостоятельное изучение

8 вопрос. Распределение Стьюдента (t распределение). (конспект представить на

9 вопрос. Распределение Фишера-Снедекора (F -распределение). практических занятиях)

Литература по теме:

Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями: Учебное пособие. – М.: ИКЦ «МарТ»; Ростов-н/Д: Издательский центр «МарТ», 2005. – 608 с.

Глава 5. Дискретные случайные величины. – С. 118 – 150

Глава 6. Непрерывные случайные величины. – С. 151 – 176

Ответы и решения

Глава 5. Дискретные случайные величины. – С. 359 – 400

Глава 6. Непрерывные случайные величины. – С. 401 – 427

Приложения. – С. 550 – 587

Теория статистики с основами теории вероятностей: Учебное пособие для вузов/ И.И. Елисееева, В.С. Князевский, Л.И. Ниворожкина, З.А. Морозова; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 446 с.

Глава 5. Законы распределения дискретных случайных величин. – С. 90 – 128

Глава 7. Законы распределения непрерывных случайных величин. – С. 139 – 179

Приложения. – С. 427 – 435

3. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Теория вероятностей и математическая статистика в определениях, формулах и таблицах: справочное пособие. – Ростов-н/Д: Феникс, 2007. – 192с.

Глава 4. Дискретные случайные величины. – С. 21 – 30

Глава 5. Непрерывные случайные величины. – С. 31 – 43

Приложения. – С. 127 – 171

Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. – 543 с.

Глава 2. Повторные независимые испытания. – С. 67 – 85.

Глава 4. Основные законы распределения. – С. 140 – 174.

Приложения. Математико-статистические таблицы. – С. 526 – 534.

 

 

 

1 вопрос. Биномиальное распределение.

 

p, 0<p<1

 

СВ Х имеет биномиальное распределение с параметрами n и p, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, …, n с вероятностями:

 

- число сочетаний

 

 

 

Следующая таблица показывает как, в соответствии с формулой Бернулли, получаются биномиальные вероятности для всех значений случайной величины.

 

Число успехов, X=m (xi)	Вероятности, Рn, m (pi)
…	…
m
…	…
n- 1
n
Сумма

 

 

 

 

Функция распределения F(x):

 

 

 

 

Математическое ожидание М(Х)=nр

Дисперсия σ²=D(X)=npq

Среднее квадратическое отклонение .

 

 

 

Пример 1.

Рассмотрим результаты проверки качества, проведённой компанией Nestle на линии по выпуску шоколадных батончиков «Mars». Известно, что из каждых двадцати батончиков один бракованный. Таким образом, 5% (1/20) продукции выбрасывается и не идёт в продажу. Полностью проверить всю произведённую партию не представляется возможным. Случайным образом из партии отобрали 4 батончика.

Составить биномиальный закон распределения числа батончиков, не соответствующих стандарту, и построить его график.

Найти числовые характеристики этого распределения.

Записать функцию распределения числа бракованных батончиков и построить её график.

Чему равна вероятность, что среди 4-х случайно отобранных батончиков окажется не более 2 бракованных?

Решение. В качестве случайной величины Х здесь выступает число батончиков «Mars» в выборке, которые не соответствуют стандарту.

Возможные значения СВ Х: 0, 1, 2, 3, 4.

Вероятность того, что каждый из отобранных батончиков бракованный, постоянна и равна 0,05 (p = 1/20=0,05). Вероятность противоположного события, т.е. того, что изделие соответствует стандарту, также постоянна и составляет 0,95 (q = 1 - p = 1 – 0,05 = 0,95).

Все 4 испытания – независимы, т.е. вероятность появления бракованного батончика не зависит от того, бракованными или стандартными будут другие батончики.

Таким образом, СВ Х подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей с параметрами n=4 и p=0,05.

Итак, по условию задачи: n = 4;

p = 0,05;

q = 0,95;

X = m-0, 1, 2, 3, 4.

Рассчитаем вероятности того, что СВ примет каждое из своих возможных значений по формуле Бернулли.

Расчет искомых вероятностей осуществляется по формуле Бернулли.

Получим ряд распределения числа бракованных шоколадных батончиков в выборке:

Хi	0	1	2	3	4
Рi	0,8145	0,1715	0,0135	0,0005	0,0000

0,8145+0,1715+0,0135+0,0005+0=1

СВ можно задать графически многоугольником (полигоном) распределения (рис. 1).

Рисунок 1. Полигон распределения вероятностей.

Найдем числовые характеристики данного биномиального распределения: М(Х), D(Х), .

Математическое ожидание определим 2-мя способами:

- как М(Х) ДСВ

шт.

- как М(Х) ДСВ, распределённой по биномиальному закону

шт.

Итак, среди случайно выбранных 4-х шоколадных батончиков можно ожидать появление в среднем 0,2 бракованных (точнее, менее одного).

Дисперсию определим:

- как D(X) ДСВ

- как D(X) ДСВ, распределённой по биномиальному закону

Среднее квадратическое отклонение шт.

Запишем биномиальный закон распределения в форме функции распределения

Рассчитаем значения F(х):

Эти данные можно представить и в виде таблицы:

Х	x £ 0	0 < x £ 1	1 < x £ 2	2 < x £ 3	3 < x £ 4	x > 4
F(x)	0	0,8145	0,986	0,9995	1	1

График функции распределения вероятностей дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид (рис. 2).

Рисунок 2. Функция распределения вероятностей.

Вероятность того, что среди 4-х случайно отобранных батончиков окажется не более 2 бракованных (т.е. «или ноль, или один, или два»), найдём по теореме сложения вероятностей несовместных событий:

P(X£ 2) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= 0,8145 + 0,1715 + 0,0135 = 0,9995.