Вопрос. Распределение Пуассона. 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Вопрос. Распределение Пуассона.



Вопрос. Распределение Пуассона.

Вопрос. Производящая функция.

Вопрос. Гипергеометрическое распределение.

Вопрос. Равномерное распределение.

6 вопрос. Нормальное распределение.

7 вопрос. Распределение Пирсона (χ2-распределение). На самостоятельное изучение

8 вопрос. Распределение Стьюдента (t распределение). (конспект представить на

9 вопрос. Распределение Фишера-Снедекора (F -распределение). практических занятиях)

Литература по теме:

Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями: Учебное пособие. – М.: ИКЦ «МарТ»; Ростов-н/Д: Издательский центр «МарТ», 2005. – 608 с.

Глава 5. Дискретные случайные величины. – С. 118 – 150

Глава 6. Непрерывные случайные величины. – С. 151 – 176

Ответы и решения

Глава 5. Дискретные случайные величины. – С. 359 – 400

Глава 6. Непрерывные случайные величины. – С. 401 – 427

Приложения. – С. 550 – 587

Теория статистики с основами теории вероятностей: Учебное пособие для вузов/ И.И. Елисееева, В.С. Князевский, Л.И. Ниворожкина, З.А. Морозова; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 446 с.

Глава 5. Законы распределения дискретных случайных величин. – С. 90 – 128

Глава 7. Законы распределения непрерывных случайных величин. – С. 139 – 179

Приложения. – С. 427 – 435

3. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Теория вероятностей и математическая статистика в определениях, формулах и таблицах: справочное пособие. – Ростов-н/Д: Феникс, 2007. – 192с.

Глава 4. Дискретные случайные величины. – С. 21 – 30

Глава 5. Непрерывные случайные величины. – С. 31 – 43

Приложения. – С. 127 – 171

Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. – 543 с.

Глава 2. Повторные независимые испытания. – С. 67 – 85.

Глава 4. Основные законы распределения. – С. 140 – 174.

Приложения. Математико-статистические таблицы. – С. 526 – 534.

 

 

 

1 вопрос. Биномиальное распределение.

 

p, 0<p<1

 

СВ Х имеет биномиальное распределение с параметрами n и p, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, …, n с вероятностями:

 

- число сочетаний

 

 

 

Следующая таблица показывает как, в соответствии с формулой Бернулли, получаются биномиальные вероятности для всех значений случайной величины.

 

Число успехов, X=m (xi) Вероятности, Рn, m (pi)
 
 
 
 
m
n- 1
n
Сумма  

 

 

 

 

Функция распределения F(x):

 

 

 

 

Математическое ожидание М(Х)=nр

Дисперсия σ2=D(X)=npq

Среднее квадратическое отклонение .

 

 

 

Пример 1.

Рассмотрим результаты проверки качества, проведённой компанией Nestle на линии по выпуску шоколадных батончиков «Mars». Известно, что из каждых двадцати батончиков один бракованный. Таким образом, 5% (1/20) продукции выбрасывается и не идёт в продажу. Полностью проверить всю произведённую партию не представляется возможным. Случайным образом из партии отобрали 4 батончика.

Составить биномиальный закон распределения числа батончиков, не соответствующих стандарту, и построить его график.

Найти числовые характеристики этого распределения.

Записать функцию распределения числа бракованных батончиков и построить её график.

Чему равна вероятность, что среди 4-х случайно отобранных батончиков окажется не более 2 бракованных?

Решение. В качестве случайной величины Х здесь выступает число батончиков «Mars» в выборке, которые не соответствуют стандарту.

Возможные значения СВ Х: 0, 1, 2, 3, 4.

Вероятность того, что каждый из отобранных батончиков бракованный, постоянна и равна 0,05 (p = 1/20=0,05). Вероятность противоположного события, т.е. того, что изделие соответствует стандарту, также постоянна и составляет 0,95 (q = 1 - p = 1 – 0,05 = 0,95).

Все 4 испытания – независимы, т.е. вероятность появления бракованного батончика не зависит от того, бракованными или стандартными будут другие батончики.

Таким образом, СВ Х подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей с параметрами n=4 и p=0,05.

Итак, по условию задачи: n = 4;

p = 0,05;

q = 0,95;

X = m-0, 1, 2, 3, 4.

Рассчитаем вероятности того, что СВ примет каждое из своих возможных значений по формуле Бернулли.

Расчет искомых вероятностей осуществляется по формуле Бернулли.

Получим ряд распределения числа бракованных шоколадных батончиков в выборке:

Хi 0 1 2 3 4
Рi 0,8145 0,1715 0,0135 0,0005 0,0000

0,8145+0,1715+0,0135+0,0005+0=1

СВ можно задать графически многоугольником (полигоном) распределения (рис. 1).

Рисунок 1. Полигон распределения вероятностей.

Найдем числовые характеристики данного биномиального распределения: М(Х), D(Х), .

Математическое ожидание определим 2-мя способами:

- как М(Х) ДСВ

шт.

- как М(Х) ДСВ, распределённой по биномиальному закону

шт.

Итак, среди случайно выбранных 4-х шоколадных батончиков можно ожидать появление в среднем 0,2 бракованных (точнее, менее одного).

Дисперсию определим:

- как D(X) ДСВ

- как D(X) ДСВ, распределённой по биномиальному закону

Среднее квадратическое отклонение шт.

Запишем биномиальный закон распределения в форме функции распределения

Рассчитаем значения F(х):

Эти данные можно представить и в виде таблицы:

Х x £ 0 0 < x £ 1 1 < x £ 2 2 < x £ 3 3 < x £ 4 x > 4
F(x) 0 0,8145 0,986 0,9995 1 1

График функции распределения вероятностей дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид (рис. 2).

Рисунок 2. Функция распределения вероятностей.

Вероятность того, что среди 4-х случайно отобранных батончиков окажется не более 2 бракованных (т.е. «или ноль, или один, или два»), найдём по теореме сложения вероятностей несовместных событий:

P(X£ 2) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= 0,8145 + 0,1715 + 0,0135 = 0,9995.

 

 

 

Пример 3.

На изготовление 1000 булочек затрачено 5000 изюминок. Какова вероятность того, что в случайной булочке окажется менее трёх изюминок?

Решение:

Любая изюминка может с равной вероятностью попасть в каждую из 1000 булочек, т.е. вероятность попадания одной изюминки в данную булочку равна 0,001. Можно считать, что производится 5000 испытаний Бернулли, в которых решается вопрос, попадёт ли она в данную булочку. Вероятность «успеха» (попадания) p = 0,001, число испытаний n = 5000, поэтому вероятность того, что в булочке окажется менее 3-х изюминок (т.е. «или 0, или 1, или 2 изюминки») равна:

P(X<3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

P(X<3) =

Вычисление искомой вероятности по этой формуле затруднительно. Воспользуемся приближением Пуассона (n – велико, р – мало) при λ = np = , тогда

P(X<3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = .

Теперь по таблице распределения Пуассона имеем:

P(X<3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0,0067 + 0, 0337 + 0, 0842 = 0,1246

Эти значения подчёркнуты в отрывке таблицы.

Значения функции Пуассона: .

 

m l 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0
  0,3679 0,1353 0,0498 0,0183 0,0067 0,0025 0,0009 0,0003 0,0001
  0,3679 0,2707 0,1494 0,0733 0,0337 0,0149 0,0064 0,0027 0,0011
  0,1839 0,2707 0,2240 0,1465 0,0842 0,0446 0,0223 0,0107 0,0050
  0,0613 0,1805 0,2240 0,1954 0,1404 0,0892 0,0521 0,0286 0,0150
  0,0153 0,0902 0,1680 0,1954 0,1755 0,1339 0,0912 0,0572 0,0337

Итак, вероятность того, что в случайной булочке окажется менее трёх изюминок равна 0,1246.

2. Например, если ДСВ Х подчиняется распределению Пуассона, то вероятность того, что Х примет значения от 8 до 12 включительно, найдём по формуле

 

P(8 X 12) = P(X=8) + P(X=9) + P(X=10) + P(X=11) + P(X=12).

 

Теперь опишем ДСВ Х посредством НСВ Y, распределённой нормально с параметрами М(Y) = λ и D(Y) = λ. Тогда искомую вероятность можно будет найти как вероятность попадания нормально распределённой величины в заданный интервал P(7,5<X<12,5). Здесь 0,5 представляет собой поправку на непрерывность, т.к. ДСВ Х=8 в распределении Пуассона аппроксимирована интервалом 7,5 – 8,5 на непрерывной кривой нормального распределения, а ДСВ Х=12 в распределении Пуассона аппроксимирована интервалом 11,5 – 12,5 на непрерывной кривой нормального распределения.

 

 

3 вопрос. Производящая функция.

 

Функция , разложение которой по степеням z (где z – произвольный параметр) даёт в качестве коэффициентов вероятности значений СВ Х, называется производящей функцией для этой СВ.

 

 

 

Пример 4.

В билетном зале 3 кассы. Вероятность того, что с 12 часов до 13 они работают, соответственно равны 0.9, 0.8, 0.7. Составьте закон распределения числа работающих касс в течение этого часа, и вычислите числовые характеристики этого распределения.

Решение:

СВ Х – число работающих касс в течение часа – может принимать значения 0, 1, 2, 3.

Вероятности успеха, т.е. того, что каждая из касс работает, по условию равны соответственно р1 = 0,9; р2 = 0,8; р3 = 0,7. Тогда вероятности того, что каждая из касс не будет работать, равны q1 = 0,1; q2 = 0,2; q3 = 0,3.

Распределение СВ Х можно получить через производящую функцию.

= (q1 + p1z)(q2 + p2z)(q3 + p3z) = (0,1 + 0,9z)(0,2 + 0,8z)(0,3 + 0,7z) =

= 0,504z3 + 0,398z2 + 0,092z + 0,006.

Каждый из 4-х полученных коэффициентов при zm (m = 0, 1, 2, 3) в функции выражает соответствующую вероятность P(X=m).

Тогда распределение СВ Х – числа работающих касс – следующее:

 

Число успехов, X=m (xi) 0 1 2 3
Вероятности, Рn, m (pi) 0,006 0,092 0,398 0,504

 

0,006 + 0,092 + 0,398 + 0,504 = 1

 

Найдем числовые характеристики этого распределения:

- Математическое ожидание:

кассы.

Т.е. из трёх касс в билетном зале в течение следующего часа будет работать в среднем 2,4 кассы.

- Дисперсия:

 

 

Д/з – решить эту задачу, используя теоремы сложения и умножения вероятностей. Д/з – доказать, что формула Бернулли является частным случаем вычисления вероятностей Рn, m более общего способа через ПФ. См.: 2. Теория статистики с основами теории вероятностей: Учебное пособие для вузов/ И.И. Елисееева, В.С. Князевский, Л.И. Ниворожкина, З.А. Морозова; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – С. 111 – 114.

 

 

 

4 вопрос. Гипергеометрическое распределение

 

ДСВ Х имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения 0, 1, 2, 3,…, min(n,M) с вероятностями

,

 

 

 

Вспомните уже знакомую вам схему невозвращённого шара:

N


М N-M

n

m n-m

 

 

 

 


 

Если по формуле вычислить вероятности для всех возможных значений m и поместить их в таблицу, то получим ряд распределения, называемый гипергеометрическим законом распределения.

 

X=m (x i) Вероятности, Р(X=m) (p i)
 
 
 
 
m
n
Сумма  

 

 

 

 

Функция распределения F(x):

 

 

 

 

Математическое ожидание

Дисперсия:

 

- поправка на бесповторность выборки.

 

 


 

Пример 5.

Менеджер по персоналу рассматривает кандидатуры 12 человек, из которых 4 женщины, подавших заявление о приёме на работу в крупную фирму. Будут приняты только 5 человек.

Составьте ряд распределения числа женщин, среди лиц, занявших вакантные должности, и постройте его график.

Найдите числовые характеристики этого распределения.

Запишите функцию распределения и постройте её график.

Чему равна вероятность того, что менее 3-х женщин займут предложенные вакансии?

Решение:

СВ Х - число женщин, среди лиц, занявших вакантные должности – принимает значения 0, 1, 2, 3, 4.

Это - дискретная случайная величина, т.к. ее возможные значения отличаются друг от друга не менее чем на 1, и множество ее возможных значений является счетным.

Очевидно, что отбор кандидатов - бесповторный. Следовательно, испытания - зависимые.

Вышеперечисленные признаки указывают на то, что рассматриваемая случайная величина – число женщин среди лиц, занявших вакантные должности - подчиняется гипергеометрическому закону распределения.

Изобразим ситуацию на схеме:

12 кандидатов


4 женщины 8 мужчин

5 вакансий

0 5

1 4

2 3

3 2

4 1

Составим ряд распределения.

Вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений по формуле:

,

По условию задачи N=12, M=4, n=5, m=0, 1, 2, 3, 4

Занесем полученные результаты в таблицу:

Хi 0 1 2 3 4
Рi 0,0707 0,3535 0,4242 0,1414 0,0101

0,0707 + 0,3535 + 0,4242 + 0,1414 + 0,0101 = 0,9999» 1.

График полученного распределения вероятностей дискретной случайной величины (полигон распределения вероятностей) изображен на рис 23

Рисунок 23.

Найдем числовые характеристики данного биномиального распределения: М(Х), D(Х), .

Математическое ожидание определим 2-мя способами:

- как М(Х) ДСВ

- как М(Х) ДСВ, распределённой по гипергеометрическому закону

женщин

Итак, среди случайно выбранных 5-х кандидатов можно ожидать появление в среднем 1,6667 женщин (точнее, менее двух).

Дисперсию определим:

- как D(X) ДСВ

- как D(X) ДСВ, распределённой по гипергеометрическому закону

Среднее квадратическое отклонение

Зададим дискретную случайную величину в виде функции распределения:

Рассчитаем значения F(х):

Эти данные можно представить и в виде таблицы:

Х x £ 0 0 < x £ 1 1 < x £ 2 2 < x £ 3 3 < x £ 4 x > 4
F(x) 0 0,0707 0,4242 0,8484 0,9898 1

График функции распределения вероятностей дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид (рис. 24).

Рисунок 24. Функция распределения вероятностей.

Определим вероятность того, что среди 5-х отобранных кандидатов на должности окажется меньше трёхх женщин. «Меньше трёх» - это «или ноль, или одна, или две».

Можно применить теорему сложения вероятностей несовместных событий:

P(X< 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,0707 + 0,3535 + 0,4242 = 0,8484.

 

 

 

Правило трёх сигм

 

δ=tσ

 

P(| Хн -а|< tσ)≈2Ф0 (t)

 

 

t = 1 → Р(|ХН - а| < σ) ≈2Ф0(1) ≈ 0,6827

При t = 2 → P(|ХН - а| < 2σ) ≈ 2Ф0(2) ≈0,9545

t = 3 → P(|XH - а| < 3σ) ≈2Ф0(3) ≈ 0,9973

 

 

С вероятностью близкой к единице (равной 2Ф0(3) ≈ 0,9973) нормально распределенная СВ Х удовлетворяет неравенству: а - 3σ < XH < а + 3σ

 

вопрос. Распределение Пуассона.



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-02-06; просмотров: 416; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.212.26.248 (0.124 с.)