Розділ 6. Числене інтегрування функції

Короткі теоретичні відомості

Формули Ньютона – Котеса

Формули Ньютона – Котеса одержують інтегруванням інтерполяційних поліномів, побудованих за рівномірною сіткою. Розрізняють формули відкритого і закритого типів. У формулах закритого типу у розрахунках використовують значення функції, обчислені в обох кінцях елементарного відрізка, а у формулах відкритого типу, принаймні, одне зі значень участі у розрахунках не бере.

Розглянемо побудову формули Ньютона – Котеса m- го порядку закритого типу. Для цього розіб’ємо елементарний відрізок [ x_i, x_{i +1}] на m рівних частин і обчислимо значення функції у вузлах де . Побудуємо інтерполяційний поліном Лагранжа на відрізку [ x_i, x_{i +1}] по вузлах

(6.1)

де .

Тоді, інтегруючи (6.1) і виконуючи заміну змінних одержимо

, (6.2)

де c_j – коефіцієнти Котеса, дорівнюють

. (6.3)

Формулу (6.3) називають квадратурною формулою Ньютона – Котеса. З виразу (6.3) випливає, що коефіцієнти Котеса c_j не залежать від функції f (x). Тоді, вважаючи, що , з (6.2) маємо

.

Крім цього, з (6.3) випливає, що

.

Отже, коефіцієнти Котеса симетричні відносно центра елементарного відрізка. Значення коефіцієнтів Котеса до десятого порядку включно наведено у табл. 6.1.

 

 

Похибка формули Ньютона – Котеса оцінюють як

(6.4)

Коефіцієнти Котеса розраховують за формулою

.

Зазначимо, що формули Ньютона – Котеса парного порядку за рахунок симетрії розбиття елементарного відрізка мають додатковий порядок точності. З цієї причини найчастіше використовують формули парного порядку.

Із формули (6.4) випливає, що для зменшення похибки квадратурної формули Ньютона – Котеса необхідно збільшувати її порядок. Однак формули з рідко використовують через їх числову нестійкість, що призводить до різкого зростання обчислювальної похибки. Причиною такої нестійкості є те, що коефіцієнти c_j у формулі (6.2) при великих m мають різні знаки. Деякі коефіцієнти стають від’ємними при m = 8. Для m = 9 вони всі додатні, але для існують як додатні, так і від’ємні значення.

Таблиця 6.1. Постійні для розрахунку коефіцієнтів Котеса і похибка формули Ньютона – Котеса порядку m.

M	a0	a1	a2	a3	a4	a5		Ri
		3 577	1 323	2 989	2 989	1 323	17 280
		5 888	– 928	10 496	– 4 540	10 496	28 350	~
	2 857	15 741	1 080	19 344	5 778	5 778	89 600	~
	16 067	106 300	– 48 525	272 400	– 260 550	427 368	598 752	~

Нариклад. Обчислимо інтеграл . Точне значення інтеграла . За формулою Ньютона – Котеса 4-го порядку згідно з (6.2) для одного елементарного відрізка маємо

Якщо у формулу Ньютона-Котеса прийняти , то формула (6.3) матиме наступний вигляд:

; , а сама формула (6.2) виглядатиме:

та називається формулою трапецій.

У загальному вигляді формулу трапецій можна записати так:

,

Похибка даного методу обчислення:

де –максимальне значення функції другої похідної функції на заданому відрізку.

Якщо значення функції задано таблично, то похибка:

,

де –середнє арифметичне значення різниці другого порядку.

Наприклад: Обчислити значення функції за допомогою метода трапецій із заданою точністю до 0,01.

Розв’язок:

Визначимо число кроків інтегрування

, 2, звідси

Розрахунки занесемо до таблиці:

x		0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
f(x)		0,9608	0,8521	0,6977	0,5273	0,3677

Запишемо значення х до загальної формули:

=0,2(1/2+0,9608+0,8521+0,6977+0,5273+0,3677/2)=0,7444.

Відповідь: І=0,7444.

При коефіцієнти Котеса дорівнюють:

; ; , тобто формула (6.2) матиме вигляд:

і називатиметься формулою Сімпсона або парабол.

Загальна формула обчислення:

,

де - сума першого та останнього значення функції;

- сума непарних значень функції;

- сума парних значень функції.

Похибка обчислення:

,

– четверта похідна заданої функції.

Якщо функція задана таблично, то похибка метода парабол:

,

де –середнє арифметичне значення кінцевої різниці четвертого порядку.

Наприклад: Обчислити значення функції , якщо n=4 методом парабол.

Розв’язок:

Складемо таблицю підінтегральної функції

x		0,25	0,5	0,75
F(x)	1,0	0,93941	0,7788	0,56978	0,36788

тоді =1/12((1,0+0,36788)+4·(0,93941+0,56978)+2·0,7788)=0,74685.

Відповідь: І=0,74685.

Наприклад: Визначити інтеграл методами трапецій та Сімпсона, який задано таблично. Оцінити похибку розрахунку.

хі
уі	29,79	30,8	31,8	32,72	33,72	34,15	34,69	35,15	35,53	35,82	35,99

Розв’язок:

Виходячи із значення х, крок інтегрування h=(x -x ) =150, n=11.

Виходячи із формули трапеції:

за формулою Сімпсона:

i		Значення y при
і=0, і=10	непарна і	парна і
		29,79
			30,8
				31,8
			32,72
				33,48
			34,15
				34,69
			35,15
				35,53
			35,82
		35,99

Похибка метода трапецій:

Знайдемо таблично:

і
		29,79	1,01	-0,01	-0,07	-0,01
		30,8		-0,08	-0,08	0,01
		31,8	0,92	-0,16	-0,07	0,11
		32,72	0,76	-0,09	-0,04	0,09
		33,48	0,67	-0,13	0,05	-0,05
		34,15	0,54	-0,08		-0,01
		34,69	0,46	-0,08	-0,01	-0,02
		35,15	0,38	-0,09	-0,03
		35,53	0,29	-0,12
		35,82	0,17
		35,99

=

Оцінка похибки за методом Сімпсона:

=

Порівнюючи обидва методи, можна зробити висновок, що метод Сімпсона дає більш точне значення визначеного інтеграла.

Відповідь: І_{трапеції}=50554, R_{трапеції}=11;

І_{сімпсона}=50567, R_{сімпсона}=-0,14.

Ще однією формулою чисельного інтегрування, яка будується заміною підінтегральної функції інтерполяційним поліномом, може бути формула Ньютона загальний вигляд якої:

Із залишковим членом: , або для функції заданої таблично .

У формулі Ньютона кількість під інтегралів передбачається кратним 3.

Формули Чебишова

Як вже було показано, у формулах Ньютона – Котеса вузли інтерполяції розміщуються рівномірно, а вагові коефіцієнти обчислюють так, щоб формула була точною для полінома степеня, не нижчого m. У формулах Чебишова всі вагові коефіцієнти задають однаковими, а вузли вибирають так, щоб формула була точною для полінома степеня, не нижчого від m + 1. Ураховуючи, що формула має бути точною для f (x) º 1, із (6.3) маємо:

,

. (6.5)

Для визначення вузлів x _{i , j} проведемо в (6.5) заміну змінних

,

тоді

. (6.6)

Із рівняння (6.5) одержуємо

. (6.7)

Уведемо позначення . Тоді з (6.7)

. (6.8)

Для визначення вузлів використовуємо умову, що формула (6.8) є точною для поліномів . Підставляючи ці функції в (6.8), одержуємо систему рівнянь:

(6.9)

Із виразів (6.9) можна знайти , а потім з (6.9) – x _{i , j} . Нижче наведено t_j для порядків :

Методи Чебишова мають порядок точності m + 2.

Наприклад: Обчислимо інтеграл з попереднього прикладу методом Чебишова третього порядку за одним елементарним відрізком.

Згідно з (6.6) знайдемо розташування вузлів формули Чебишова:

За формулою (6.6) обчислимо наближене значення інтегралу:

 

Формули Гаусса

На відміну від формул Ньютона – Котеса та Чебишова у виведеній з виразу (6.2) формулі Гаусса вузли і вагові коефіцієнти не задаються, а визначаються так, щоб формула була точною для полінома найвищого можливого степеня. Можна показати, що ця вимога виконується, якщо вузли обчислюються за формулою (6.6), причому t_j є коренями полінома Лежандра P_{m +1}(t) степеня m + 1, а вагові коефіцієнти обчислюються за формулою:

Поліноми Лежандра знаходять за виразом

,

або за рекурентною формулою

Деякі значення параметрів формули Гаусса для методів 1–4-го порядків наведено нижче:

Методи Гаусса мають порядок точності 2 m + 1.

Нариклад: Обчислимо інтеграл методом Гауса 3-го порядку за одним елементарним відрізком, .

Згідно з (6.6) знайдемо розташування вузлів формули Гаусса:

 

Тоді згідно з формулою (6.2) маємо