Розділ 5. Стеми нелінійних рівнянь

Короткі теоретичні відомості

 

Нехай дана система нелінійних рівнянь з невідомими

(5.1)

де , - функції дійсних змінних . Потрібно знайти дійсні корені з потрібною мірою точності.

 

Метод простих ітерацій

Нехай задано систему рівнянь з двома невідомими:

(5.2)

Треба знайти дійсні корені з потрібною мірою точності.

Подамо систему (5.2) у вигляді:

(5.3)

Нехай і - початкові наближення коренів, отримані графічно чи іншим способом, наприклад, грубим прикиданням. Підставивши в праві частини рівнянь системи (5.3) замість і початкові значення і , отримаємо:

(5.4)

Аналогічно побудуємо послідовні наближення

(5.5)

 

Якщо ітераційний процес(5.5) збігається, тобто якщо існують границі:

,

то граничні значення і є коренями системи (5.3). Оцінка похибки n-го наближення визначається нерівністю:

де М – найбільше з чисел і , які входять у нерівності (5.6) чи (5.7).

Якщо M<0,5, то збіжність методу вважають гарною. При цьому , так що в двох послідовних наближеннях збігаються, наприклад, перші три десяткових знаки після коми, то похибка останнього наближення не перевищує 0,001.

Якщо виконуються умови:

(5.6)

(5.7)

із теореми про умови збіжності ітераційного процесу, то процес послідовних наближень (5.5) збігається до розв’язку

Наприклад: Знайти з точністю до корені рівняння взявши за початкові значення :

.

Розв’язок:

Зведемо систему до вигляду:

Перевіримо чи виконуються умови збіжності ітераційного процесу:

В даному випадку було прийнято .

Обчислимо значення похідних у наближених точках з області :

Отже,

Таким чином умови збіжності виконуються.

Послідовні наближення знайдемо за формулами:

Обчислення послідовних наближень зручно подати у вигляді табл.5.1.

Таблиця 5.1.

	3,5000	3,4785	3,4837	3,4848	3,4957
	2,2000	2,2654	2,2589	2,26049	2,26082
	-	0,0654	0,0065	0,00159	0,0009

 

Відповідь:

 

Метод Зейделя

Нехай задано систему нелінійних рівнянь (5.1). Потрібно знайти дійсні корені з потрібною точністю.

Систему рівнянь потрібно звести до вигляду (5.3). Візьмемо за початково наближене коренів деяке , та . Обчислення здійснюється за формулами:

(5.8)

Даний процес повторюється до тих пір поки не буде виконуватися умова , тоді .

Наприклад: Знайти з точністю до корені рівняння взявши за початкові значення :

.

Розв’язок:

Зведення системи до вигляду (5.3), та пошук початкового наближення показано у попередньому прикладі.

Задамо начальне наближене .

Послідовні наближення знайдемо за формулами (5.8):

Обчислення послідовних наближень зручно подати у вигляді табл.5.2.

Таблиця 5.2.

	3,5000	3,4785	3,4821	3,4843	3,4855	3,4863
	2,2000	2,2588	2,2600	2,2607	2,2610	2,2612
	-	0,0588	0,0036	0,0022	0,0013	0,0007

 

Відповідь:

 

Метод Ньютона

Розглянемо систему нелінійних рівнянь (5.1). Нехай – k -те наближення до розв’язку задачі (5.2). Розкладемо кожну функцію у ряд Тейлора в околі точки X=X _k і обмежимося лінійними членами рядів. Тоді замість системи (5.1) маємо наближену систему рівнянь:

, (5.9)

лінійну відносно . Розв’язок системи (5.9) вважатимемо за наступне наближення до розв’язку . Тоді

. (5.10)

Систему (5.10) записують у векторній формі

,

де , – матриця Якобі

Тоді процес розв’язання нелінійної системи подають у вигляді ітераційної процедури:

Можна показати, що для метода Ньютона розв’язання СНУ справедлива оцінка

, (5.11)

де , — матриця Гессе. Таким чином, якщо матриця Якобі — невироджена, а другі похідні — неперервні, то за умови достатньої близькості початкового наближення до кореня метод Ньютона має квадратичну збіжність.

 

Критерієм зупинки ітераційного процесу є збіжність за аргументом:

(5.12)

де e – задана відносна похибка або збіжність за функцією

(5.13)

де D – задана абсолютна похибка розв’язку. На практиці корисно поєднувати перевірки за обома критеріями.

Наприклад: Знайти розв’язок системи рівнянь

Для даної системи

Виберемо початкове наближення . Для оцінювання похибки у (5.12) та (5.13) використаємо евклідові норми Тоді маємо:

Для порівняння, точні розв’язки цієї системи –

 

Контрольні завдання

1. Вибрати із табл. 5.3 систему рівнянь відповідно до свого варіанта.

2. Розв’язати систему методом Зейделя з похибкою, не більшою 1 %.

3. Розв’язати систему методом Ньютона з похибкою, не більшою 1 %.

4. Порівняти результати розв’язків різними методами.

Варіанти завдань

Таблиця 5.3. Системи нелінійних рівнянь

Варіант	Система рівнянь	Варіант	Система рівнянь