Методи відокремлення коренів

Існують два методи відокремлення коренів – це графічний та аналітичний.

Графічний метод:

Нехай потрібно відокремити корені рівняння (4.1), то потрібно побудувати графік функції . Абсциси точок перетину цього графіка з віссю Ox і будуть наближеними значеннями коренів. Якщо рівняння (4.1) не має коренів, близьких за значенням, то краще замінити рівняння (4.1) рівносильним йому рівнянням вигляду:

, (4.2)

де і - простіші функції, ніж .

Побудувавши графіки функції ; , одержимо наближені значення шуканих коренів, як абсциси точок перетину цих графіків.

Графічний метод відокремлення коренів дозволяє грубо визначити інтервали ізоляції коренів рівняння (4.1). Для того щоб переконатися в тому, що відрізок , знайдений графічно дійсно містить корінь і до того ж єдиний, слід скористатися властивістю неперервних функцій: якщо функція неперервна і монотонна на відрізку та на його кінцях має різні знаки , то між точками і є лише один корінь нелінійного рівняння. Ознака монотонності функції на розглянутому відрізку – умова знакосталості похідної : якщо - функція зростає, якщо - спадає.

Аналітичний метод відокремлення коренів.

Ґрунтується на сформульованій вище властивості неперервних функцій та припускає такий порядок дій:

1) Знайти - першу похідну.

2) Розв’язати рівняння , тобто визначити корені похідної, або близьких до них значень.

3) Скласти таблицю знаків функції у межових точках області її існування, та у точках нульових значень її похідної.

4) Виділити в таблиці знаки інтервалів, на кінцях яких функція набуває значення протилежних знаків. У середині цих інтервалів є по одному і тільки по одному кореню (шукані інтервали).

Алгебричні рівняння -го степеня має не більш ніж дійсних коренів. Тому, якщо для такого рівняння отримати зміну знаків, то всі його корені відокремлені.

Наприклад: Відокремити корені рівняння графічним та аналітичним методом .

Розв’язання:

Графічний метод:

Перепишемо рівняння у вигляді . Побудуємо графіки функцій та (рис.4.1). Знайдемо точки перетину цих двох графіків.

З рисунка видно, що графіки перетинаються в одній точці, яка належить інтервалу (-2;-1). Отже, рівняння має єдиний дійсний корінь, і належить цей корінь інтервалу (-2;-1).

Рис. 4.1. – Графічне відокремлення коренів рівняння

 

Аналітичний метод:

Позначимо .

Область визначення функції є уся числова вісь. Знайдемо першу похідну функції: .

Прирівняємо цю похідну до нуля та обчислимо корені отриманого рівняння: , звідси наближені значення коренів:

Складемо таблицю знаків функції , вважаючи таким, що дорівнює межовим значенням області визначення функції і значенням, близьким до коренів рівняння .

		-3	-2	-1	-0,577		0,577
Знак	-	-	-	+	+	+	+	+	+	+	+

Зміна знака відбувається на проміжку (-2;-1), отже на цьому проміжку функція має корінь.

Перевіримо, що на кінцях знайденого інтервалу (-2;-1) функція набуває значень з різними знаками:

; . ; .

Отже, рівняння має лише один корінь, який знаходиться на проміжку (-2;-1).

Відповідь:

 

 

Метод бісектрис

Нехай - функція однієї дійсної змінної . Потрібно знайти значення кореня з точністю до , де - додатне досить мале число.

Виберемо на відрізку яку-небудь точку , що поділить його на два відрізки: і . Якщо , то - корінь рівняння. Якщо , то вибираємо з двох відрізків той, на кінцях якого функція набуває значень різних знаків. Нехай це буде відрізок . У середині цього відрізка довільно виберемо точку і повторюватимемо наші ітерації доти, доки довжина відрізка, якому належить шуканий корінь, не зменшиться чи дорівнюватиме заданій точності . Корінь можна вважати таким, що дорівнює середньому арифметичному кінців знайденого звуженого відрізка. Похибка у цьому разі не перевищує .

Наприклад: Метод бісектрис уточнити до корінь рівняння , що розташовано на проміжку .

Розв’язання:

Виходячи з умов задачі, що , позначимо та , а на кінцях відрізків функція має протилежні значення: , . За точку візьмемо середину відрізка , тобто, точку . Для зручності результати обчислення занесемо до таблиці 4.1.

Таблиця 4.1

	-2	-1	-1,5	-5		-0,875<0
	-1,5	-1	-1,25	-0,875		0,2965>0	0,5
	-1,5	-1,25	-1,375	-0,875	0,2965	-0,224<0	0,25
	-1,375	-1,25	-1,3125	-0,224	0,2965	0,05>0	0,125
	-1,375	-1,3125	-1,34375	-0,224	0,05	-0,08<0	0,0625
	-1,344	-1,3125	-1,3282	-0,08	0,05	-0,015<0	0,03125
	-1,3282	-1,3125	-1,3204	-0,015	0,05	0,018>0	0,0156
	-1,3282	-1,3204	-1,3243	-0,015	0,018	0,0018>0	0,00781
	-1,3282	-1,3243	-1,3263	-0,015	0,0018	-0,007<0	0,0039
9	-1,3263	-1,3243	-1,3253	-0,007	0,0018	-0,0025<0	0,002
	-1,3253	-1,3243	-1,3248	-0,0025	0,0018	-0,0003<0	0,001

Із результатів таблиці видно, якщо , то корінь рівняння знаходиться між точками , а .

Відповідь: .

 

Метод ітерацій

Нехай дано рівняння

(4.2)

де - неперервна функція. Потрібно знайти з точністю до корінь цього рівняння, відокремлений на відрізку . Розв’язання такої задачі методом ітерацій починається із зведення заданого рівняння до вигляду

(4.3)

За грубо наближене значення шуканого кореня береться будь-яка точка , яку називають початковим наближенням. Для одержання наступного наближення у праву частину рівняння (4.3) замість підставимо так що:

Таким чином, одержимо послідовність чисел , що може збігатися, тобто мати границю, що є коренем рівняння (4.2), або розбігатися – не мати границі, тоді метод ітерацій не досягає мети.

Взагалі, якщо або , то ітераційний процес розв’язку рівняння збігається. Якщо або - розбігається.

Для методу ітерації застосовують наступний алгоритм:

1. Перетворимо рівняння (4.2) до вигляду (4.3) так, щоб задовольняла умову , де - максимальне значення похідної на даному відрізку.

Наприклад, можна шукати функцію зі співвідношення , де варто вибирати так, щоб ;

і знак збігався б зі знаком на проміжку .

2. Обчислюємо послідовність наближення за формулою: (взявши за початкове наближення будь-яке число з відрізка ) доти, поки для двох послідовних наближень не виконуватиметься нерівність:

Тоді, відповідно до формули , одержимо .

Наприклад: Методом ітерацій уточнити до корінь рівняння що розташований на відрізку .

Розв’язання.

Зведемо дане рівняння до вигляду .

Якщо подати дане рівняння у вигляді , то ; ; . Умова збіжності не виконується. Тому скористаємося іншим перетворенням: , на відрізку , тобто умова збіжності ітераційного процесу виконується. Тому знаходимо послідовні наближення, взявши за початкове наближення . Обчислення зручно подати у вигляді табл.4.2.

 

 

Таблиця 4.2.

	-1	-1,25992	0,259921
	-1,25992	-1,31229	0,0523728
	-1,31229	-1,32235	0,01006
	-1,32235	-1,32427	0,0019149
	-1,32427	-1,32463	0,0003639
	-1,32463

Розрахунки виконуємо за формулою: ,

Оскільки , то потрібної точності обчислення досягнуто. Тому можна вважати, що .

Відповідь: .

 

Метод хорд

Даний метод базується на припущенні, що на досить малому відрізку функція змінюється лінійно. Тоді криву на такому відрізку можна замінити хордою і за наближене значення кореня взяти точку перетину хорди з віссю .

Рівняння хорди має вигляд:

Звідси знайдемо взявши :

(4.4)

Ця формула, яку називають формулою методу хорд, дає можливість обчислити наближене значення кореня.

Якщо значення , знайдене за формулою (4.4), то наступне значення знаходять замінюючи на , тоді:

,

У загальному вигляді дана формула записується так:

(4.5)

За цими формулами обчислюють корені рівняння з потрібною точністю для випадків, коли , , , або , , , .

У випадках, коли , , , або , , , , то за нерухомий кінець відрізка беруть , тобто обчислення ведеться за формулою:

(4.6)

Наступні значення знаходять за формулою:

(4.7)

Абсолютну похибку наближеного значення , якщо відомі два послідовних наближення та , оцінюють за формулою:

, (4.8)

де ; . (4.9)

Якщо виконується умова , то оцінюючи похибку наближення можна скористатися формулою:

(4.10)

Отже, процес обчислення послідовних наближень можна припинити, як тільки виконується нерівність

(4.11)

Наприклад: Знайти корінь рівняння методом хорд з точністю на відрізку [-2;-1].

Розв’язання.

Перевіримо, чи виконується умова (4.9) на заданому відрізку [-2;-1]: ;

;

;

, тобто , тобто умова (4.9) не виконується, отже знайдемо середину заданого відрізка: .

при умова (4.9) виконується, а це значить корінь розв’язку даного рівняння знаходиться на відрізку . Для оцінювання похибки наближеного значення можна скористатися формулою (4.10), тобто процес послідовного наближення до кореня будемо продовжувати доти, доки не виконуватиметься умова (4.11).

Визначимо, за якою формулою варто виконувати обчислення, для чого встановимо знаки та на відрізку : ; ; ; на всьому відрізку , ; . Отже, за нерухомий кінець відрізка беремо точку і обчислення виконуємо за формулами (4.6), (4.7). Всі обчислення занесемо у табл. 4.3.

Таблиця 4.3.

	-1,5	-1,0000	-0,8750	1,0000	0,5000	1,8750	-1,2667
	-1,5	-1,2667	-0,8750	0,2344	0,2333	1,1094	-1,3160	0,0493
	-1,5	-1,3160	-0,8750	0,0370	0,1840	0,9120	-1,3234	0,0075
	-1,5	-1,3234	-0,8750	0,0055	0,1766	0,8805	-1,3245	0,0011
	-1,5	-1,3245	-0,8750	0,0008	0,1755	0,8758	-1,3247	0,0002
	-1,5	-1,3247	-0,8750	0,0001	0,1753	0,8751	-1,3247	0,0000

З таблиці видно, що , тому за розв’язок рівняння беремо точку .

Відповідь: .

Метод Ньютона

Нехай корінь рівняння відокремлений на відрізку , причому і неперервні і зберігають постійні знаки, якщо . Потрібно знайти його наближене значення з точністю до .

Запишемо рівняння прямої, дотичної до кривої у точці х=b:

.

Формула Ньютона (дотичних):

або .

Якщо , то , якщо , то .

Оцінка похибки n-го наближення :

, де .

Якщо відрізок настільки вузький, що справедлива нерівність , де , а , то точність наближення на -му кроці оцінюється в такий спосіб: якщо , то .

Наприклад: Знайти корінь рівняння методом Ньютона з точністю на відрізку [-2;-1].

Розв’язання: Визначимо, який з кінців відрізка [-2;-1] вибрати за початкове наближення.

; ; ; .

Отже, .

Результати обчислення зведемо в табл. 4.4.

 

Таблиця 4.4.

	-2,000	-1,5455	-1,3596	-1,3258	-1,3247	-1,3247
	-	0,4545	0,1858	0,0338	0,0011	0,0000

З таблиці видно, що , тому .

Відповідь: .

 

Комбінований метод

Суть даного метода є наближення (за методом хорд) та наближення (за методом Ньютона або дотичних) що підходять до кореня з протилежних боків відрізка . Такий метод називається комбінованим методом хорд і дотичних.

Якщо та дають однакові знаки, то метод хорд дає наближення кореня з недостачею, а метод Ньютона – з надлишком. Тоді корінь рівняння комбінованим методом обчислюється за формулами:

по методу хорд ,

по методу Ньютона , (4.13)

У випадку, коли знаки та різні, то метод хорд дає наближення кореня з надлишком, а метод Ньютона - з недостачею. Тоді корінь рівняння комбінованим методом обчислюється за наступними формулами:

по методу хорд ,

по методу Ньютона , (4.14)

В першому та другому випадку ; .

Процес обчислень можна припинити, як тільки буде виконана нерівність .

За наближене значення найкраще брати середнє арифметичне отриманих останніх значень .

Наприклад: Знайти корінь рівняння комбінованим методом з точністю на відрізку [-2;-1].

Розв’язання.

Позначимо: ; .

Знайдемо знаки похідних на всьому заданому відрізку: ; ; ; на всьому відрізку [-2;-1]. Виходячи з вищенаведеного - знаки похідних різні, тому для розрахунків комбінованим методом будемо використовувати формули (4.14): та , звідси , . Подальші обчислення занесемо до табл. 4.5.

 

 

Таблиця 4.5.

	-1,1667	0,5787	6,1652	0,3788	1,7244	-1,2938
-1,5455	-1,1457	-1,3596
	-1,29378	0,1282	4,5456	0,0658	0,2819	-1,3237
-1,3596	-0,1537	-1,3258
	-1,3237	0,0043	4,2732	0,0021	0,0089	-1,3247
-1,32580	-0,0046	-1,3247

 

З таблиці видно, що . Отже

Відповідь: .

Контрольні завдання

1. Вибрати з табл. 4.6 нелінійне рівняння відповідно до варіанта.

2. Визначити інтервали, що містять корені. На одному із визначених інтервалів знайти корінь рівняння методом хорд, Ньютона та комбінованим методом з похибкою, не більшою 1 %.

3. Порівняти розв’язки, знайдені різними методами.

Варіанти завдань

Таблиця 4.6. Нелінійні рівняння