Понятия зоны высоких, средних и низких частот.

От передаточной функции (6.27) перейдем к частотной характеристике

 

 

Зоной низких частот будем называть область изменения w вблизи нуля. В ней по условию статики выполняется соотношение

 

где k0 – коэффициент усиления объекта. Обычно k >> 1, поэтому для разомкнутой системы в соответствии с (6.29) получим

 

Областью высоких частот будем называть совокупность частот, намного превышающих полосу пропускания системы. Здесь справедливы соотношения

 

Под зоной средних частот будем понимать промежуток между зонами низких и высоких частот, где выполняются соотношения

 

 

Поскольку частотные характеристики разомкнутой и замкнутой систем связаны соотношением, аналогичным (6.28), с учетом (6.30) в области низких частот (НЧ) получим

 

т. е. частотная характеристика разомкнутой системы практически не влияет на аналогичную характеристику замкнутой системы.

В области высоких частот (ВЧ) с учетом (6.31) справедливо соотношение

 

 

а, следовательно, частотная характеристика разомкнутой системы также не влияет на свойства замкнутой.

Таким образом, наибольшее влияние разомкнутая система оказывает на свойства замкнутой в области средних частот (СЧ), где необходимо особенно тщательно формировать частотную характеристику

 

 

Основные соотношения метода.

ЛАЧХ.

Запишем основное расчетное соотношение, для чего частотную характеристику разомкнутой системы представим в форме

В соответствии с (6.29) для АЧХ справедливо равенство

которое в логарифмическом масштабе принимает вид

Приравняв правую часть (6.33) L_*(p), получим

Отсюда следует расчетное соотношение для логарифмической характеристики регулятора, которое является основным в частотном методе синтеза

Таким образом, для расчета регулятора необходимо построить ЛАЧХ объекта и на основе требований к качеству процессов в замкнутой системе сформировать ЛАЧХ разомкнутой системы. Затем следует определить ЛАЧХ регулятора в соответствии с выражением (6.34).

Построение ЛАЧХ объекта

Процедура построения L0().

• На частоте (или в логарифмическом масштабе lg ) фиксируется точка, соответствующая значению 20lgk₀ где k₀- коэффициент усиления объекта.

• На оси абсцисс отмечаются частоты сопряжения = , i- где n – число типовых звеньев в составе переда- точной функции объекта.

• До первой частоты сопряжения строится низкочастотная асимптота с наклоном -20дБ/дек., если W0(p) содержит интегрирующие звенья, а r – число таких звеньев. Наклон характеристики будет равен +20дБ/дек., если передаточная функция объекта содержит дифференцирующие звенья, l – число этих звеньев. Низкочастотная асимптота строится таким образом, чтобы она сама или ее продолжение проходили через точку 20lgk₀.

• На частотах сопряжения происходит «излом» асимптотической ЛАЧХ объекта. Наклон ЛАЧХ изменяется на -20дБ/дек., если соответствующая частоте сопряжения постоянная времени находится в знаменателе передаточной функции объекта, r – число таких звеньев. «Излом» асимптотической ЛАЧХ будет равен +20дБ/дек., если постоянная времени находится в числителе передаточной функции, l – число звеньев. Новая асимптота проводится до следующей частоты сопряжения, где также происходит ее «излом» в соответствии с указанным правилом.

Для построения ЛАЧХ объекта с произвольной передаточной функцией

следует перейти к выражению для частотной характеристики

Амплитудно-частотная характеристика определяется так:

что позволяет вычислить

Таким образом, логарифмическая амплитудно-частотная характеристика объекта находится как разность (6.35).

Построение желаемой ЛАЧХ.

Поскольку желаемая ЛАЧХ L_*() строится на основе требований к качеству работы замкнутой системы в статике и динамике, рассмотрим эти режимы отдельно. Так как в основном статическую ошибку в системе порождает возмущающее воздействие, то необходимо обеспечить выполнение условия

Известно, что на величину статической ошибки влияет общий коэффициент усиления k_p, который равен произведению коэффициентов усиления объекта и регулятора k_p=k₀k_k. В случае статической системы ошибка соответствует выражению

С учетом требования (6.36) расчетное соотношение для k_p принимает вид

При синтезе систем частотным методом ЛАЧХ объекта и ЛАЧХ разомкнутой системы удобно «выровнять» по коэффициенту и строить L₀() с коэффициентом усиления k р. Таким образом, требование по статике учитывается на этапе построения логарифмической характеристики объекта.

Обсудим теперь построение желаемой ЛАЧХ разомкнутой системы, которую будем выбирать из условий требуемой динамики замкнутой системы. Так как наибольшее влияние на свойства замкнутой системы разомкнутая оказывает в области средних частот, построение желаемой характеристики начинается именно в этой области частот (рис. 6.10).

Опытным путем установлено, что для обеспечения заданных динамических свойств наклон среднечастотной асимптоты L_* () следует выбирать равным –20 дБ/дек., причем ось абсцисс она пересекает в точке lg ср. Частота среза _ср в данном методе играет роль граничной частоты полосы пропускания, при этом значение АЧХ системы становится равным единице.

Выбирается _ср по заданному быстродействию и перерегулированию замкнутой системы, а соотношение между и _ср устанавливают номограммы. Для предварительных расчетов можно пользоваться выражением

где k=(2…4) и зависит от величины заданного перерегулирования.

Длина среднечастотного участка желаемой ЛАЧХ ограничивается запасом устойчивости по модулю , который откладывается вверх и вниз по оси ординат. В свою очередь находится по номограммам в зависимости от требуемого перерегулирования .

Приближенно длина среднечастотного участка l=(1…1,5) декады, причем вправо и влево от lg _ср длина асимптоты составляет 0,5l. В этом случае в системе будет обеспечено перерегулирование .

Далее переходим к построению желаемой характеристики в области высоких и низких частот. Поскольку строится с учетом рассчитанного из условий статики коэффициента усиления k _p, для требуемой статической ошибки следует обеспечить совпадение в области низких частот L_*() с ЛАЧХ объекта. В области высоких частот эти две характеристики могут совпадать или быть параллельными. Далее среднечастотная часть совмещается с низкочастотной и высокочастотной асимптотами желаемой ЛАЧХ. Наклон ЛАЧХ на участках сопряжения должен быть кратным 20 дБ/дек., их следует проводить так, чтобы по- лучить наиболее простую характеристику .