Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Механический смысл д.у. второго порядка.
Предположим, что материальная точка массы движется вдоль оси под влиянием сил:
х 0 1) сила сопротивления среды , определяемая опытным путем. При малых скоростях сила сопротивления среды пропорциональна первой степени скорости, – коэффициент пропорциональности. При больших скоростях сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости; 2) восстанавливающая сила, стремящаяся вернуть точку в положение равновесия, т. е. сила упругости ; 3) - внешняя сила, направленная вдоль оси . По второму закону Ньютона сила инерции уравновешивается всеми силами, действующими на точку. Поэтому уравнение (1) Есть дифференциальное уравнение движения материальной точки. Разделим на обе части уравнения (1) и введем обозначения: . (2) Тогда получим (3)
К уравнению (1) или (3) приводят следующие задачи:
а) колебания математического маятника
б) колебательный контур Последовательный колебательный контур состоит из последовательно включенных источника тока, напряжение которого изменяется по закону , например,
Последовательный колебательный контур представляет собой электрическую цепь с четырьмя узлами . Применив первый закон Кирхгофа, получим Откуда , где – искомая сила тока (символом обозначена сила тока, идущего от узла к узлу у). Для падения напряжения от узла к узлу у имеем . Согласно второму закону Кирхгофа электродвижущая сила в цепи равна сумме падений напряжения на индуктивности, сопротивлении и емкости . (1) Получилось интегро-дифференциальное уравнение, которое относится к одному из наиболее сложных типов уравнений. Продифференцировав уравнение (1), придем к обычному дифференциальному уравнению для определения силы тока для . (2) Замечание. Если общее решение линейного уравнение , (3) ) имеет вид , где общее решение уравнения – периодическое с периодом – частное решение уравнения (3), то говорят, что решение – описывает переходный режим, а решение – установившийся режим.
Можно доказать, что если все корни характеристического уравнения оператора имеют отрицательные действительные части, то уравнение (3) имеет единственное – периодическое (установившееся) решение. в) упругие колебания материальной точки массы m около положения равновесия
г) задача о радиоактивном распаде. Из опыта известно, что скорость распада радиоактивного вещества пропорциональна количеству вещества в данный момент. Если – количество вещества, то . Берется знак «минус», т. к. количество вещества уменьшается. Интегрируя, получим – решение уравнения; д) системы дифференциальных уравнений. При описании некоторых процессов получаются системы д.у. Например, в химической кинетике получается система уравнений следующего вида: пусть и – концентрации двух веществ, участвующих в реакции, тогда , где – константы. Геометрические приложения.
В геометрических задачах, в которых требуется найти уравнение кривой по данному свойству ее касательной, нормали или площади криволинейной трапеции, используется геометрическое истолкование производной (угловой коэффициент касательной) и интеграл с переменным пределом (площадь криволинейной трапеции с подвижной ограничивающей ординатой), а так же следующие общие формулы для определения длин отрезков касательной t, нормали n, подкасательной St и поднормали Sn.
Пример 21. Найти такую кривую, проходящую через точку (0, - 2), чтобы угловой коэффициент касательной в любой ее точке равнялся ординате этой точки, увеличенной в три раза. Решение. Допустим, что искомая кривая описывается функций . Найдем ее. Угловой коэффициент равен . Имеем и начальное условие . Решим уравнение или . Используя начальное условие, получим . Пример 22. материальная точка массой кг движется прямолинейно под действием силы, прямо пропорциональной времени, отсчитываемому от момента , и обратно пропорционально скорости движения точки. В момент с скорости равнялась м/с, а сила Н. Какова будет скорость спустя минуту после начала движения?
Решение. По второму закону Ньютона , где k – коэффициент пропорциональности. Найдем k из условия, что в момент скорость равнялась м/с, а сила Н, . Имеем . Решим уравнение .Произвольную постоянную С найдем из условия: в момент скорость , т.е. , . Найдем скорость, которая будет спустя минуту после начала движения: . Пример 23. Тело массы скользит по горизонтальной плоскости под действием толчка, давшего начальную скорость . На тело действует сила трения, равная . Найти расстояние, которое тело способно пройти. Решение. Уравнение движения имеет вид . Найдем решение этого уравнения при начальных . Имеем найдем из начальных условий: . Получим . Найдем момент времени t, при котором тело остановится: . За время пройденный путь . Пример 24. К источнику с э. д. с. равной подключается контур, состоящий из последовательно соединенных катушки индуктивности L, омического сопротивления R и емкости С. Найти ток I в цепи как функцию времени t, если в начальный момент ток в контуре и заряд конденсатора равны нулю. Решение. По условию задачи . В этом случае и уравнение (2) получается однородным (4) Уравнение (4) аналогично уравнению свободных механических колебаний с учетом сопротивления среды. Решим уравнение (4). Характеристическое уравнение имеет корни . Если , то оба корня действительные и общее решение есть функция непериодическая. Соответственно апериодическим будет и ток. Никаких электрических колебаний в цепи не произойдет так же и при . Если же , то корни х.у. будут комплексно-сопряженными и общее решение , где положено , определяет электрические колебания. , откуда , и, таким образом, начальные условия запишутся в виде . (5) найдем, используя начальные условия (5) . Таким образом . Упражнения. Составить дифференциальное уравнение и решить его. 1) На материальную точку масса m действует постоянная сила, сообщая точке ускорение а. Окружающая среда оказывает движущейся точке сопротивление, пропорциональное скорости ее движения, коэффициент пропорциональности равен k. Как изменяется скорость движения со временем, если в начальный момент точка находилась в покое? Ответ: . 2) Найти кривые, у которых поднормаль повсюду равна р. Ответ: . 3) Кривая проходит через точку (0; 1) и обладает тем свойством, что в каждой ее точке тангенс угла касательной к этой кривой равен удвоенному произведению координат точки касания. Найти кривую. Ответ: . 4) Сила тока в электрической цепи с омическим сопротивлением R и коэффициентом самоиндукции L удовлетворяет дифференциальному уравнению , где Е– электродвижущая сила. Найти зависимость силы тока от времени, если Е равно и . Ответ: .
|
||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-06; просмотров: 200; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.133.12.172 (0.038 с.) |