Обыкновенные дифференциальные уравнения

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Методические указания и варианты расчётной работы

для студентов 1-2 курсов технических специальностей.

 

 

Для выполнения типового расчета по обыкновенным дифференциальным уравнения (д. у.) рекомендуется изучить теоретический материал по следующим вопросам:

Дифференциальные уравнения первого и высших порядков [1-10].

1. Основные понятия теории д.у. Задача Коши для д.у. первого порядка. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

2. Д.у. первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные и приводящиеся к однородным.

3. Линейные уравнения первого порядка, уравнения Бернулли.

4. Уравнения в полных дифференциалах.

5. Д.у. высших порядков, допускающие понижение порядка.

6. Линейный дифференциальный оператор, его свойства. Линейное однородное дифференциальное уравнение, свойства его решений.

7. Условие линейной независимости решений линейного однородного дифференциального уравнения.

8. Линейное однородное д.у. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.

9. Линейное неоднородное д.у. Структура общего решения.

10. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

11. Линейные однородные д.у. с постоянными коэффициентами (случай простых и кратных корней характеристического уравнения вещественных и комплексных).

12. Линейные неоднородные д.у. с постоянными коэффициентами с правыми частями специального вида. Метод подбора частного решения по виду правой части с помощью неопределенных коэффициентов.

13. Решение линейных неоднородных уравнений с правой частью неспециального вида методом Коши.

 

ЗАДАЧИ № 1-15

 

Задачи № 1-№ 5. Уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним, однородные и приводящиеся к однородным, линейным уравнения, уравнение Бернулли, уравнение в полных дифференциалах.

Задача № 6. Смешанные задачи на д.у. первого порядка. Определить тип уравнения и указать в общем виде метод решения.

Задача № 7. Смешанные задачи на д.у. первого порядка. Определить тип уравнения и решить.

Задача № 8. Уравнения, допускающие понижение порядка.

Задача № 9. Однородные линейные д.у. второго и высших порядков.

Задача № 10 - №11. Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида.

Задача № 12. Метод Лагранжа, метод вариации постоянных.

Задача № 13. Решить методом Коши задачу Коши для линейных неоднородных д.у. с непрерывной правой частью неспециального вида.

Задача № 14. Решить методом Коши задачу Коши.

Задача № 15. Решить методом Коши задачу Коши для д.у. с разрывной правой частью.

Задача № 16. Решить неоднородную систему ОДУ методом вариации произвольных постоянных.

 

Пример 1.

Решить уравнение

Решение. Разделим обе части уравнения на произведение

.

Получим уравнение с разделенными переменными. Интегрируя его, найдем

.

После потенцирования получим

или .

Откуда .

Обозначая , будем иметь или .

Получили общий интеграл этого уравнения. Функции , и - являются частными решениями.

Ответ: - общий интеграл.

Пример 2.

Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Имеем или .

Разделяем переменные, для этого обе части уравнения делим на произведение

.

Интегрируя, найдем общий интеграл

в качестве производной константы взяли .

После потенцирования, получим или - общее решение исходного уравнения.

Найдем константу , используя начальное условие , или

отсюда .

Искомое частное решение или решение задачи Коши .

Ответ: .

Упражнения. Решить уравнения

1. . Ответ: .

2. . Ответ: .

3. . Ответ: .

4. . Ответ: или .

Решить уравнения с разделяющимися переменными:

1.	.
2.	.
3.	.
4.	.
5.	.
6.	.
7.	.
8.	.
9.	.
10.	.
11.	.
12.	.
13.	.
14.	.
15.	.
16.	.
17.	.
18.	.
19.	.
20.	.
21.	.
22.	.
23.	.
24.	.
25.	.
26.	.
27.	.
28.	.
29.	.
30.	.

 

Пример 3.

Решить уравнение .

Решение. Запишем уравнение в виде , разделив на обе части уравнения. Сделаем замену . Тогда , . Получим или .

Разделяя переменные, будем иметь .

Отсюда интегрированием находим

или

, так как , то обозначая , получим

. Заменяя на , будем иметь общий интеграл

, отсюда - общее решение.

Ответ: .

Упражнения. Решить уравнения

1. . Ответ: .

2. . Ответ: .

3. . Ответ: .

4. . Соберем коэффициенты при . Ответ: .

 

Решить однородные дифференциальные уравнения.

1.	.
2.	.
3.	.
4.	.
5.	.
6.	.
7.	.
8.	.
9.	.
10.	.
11.	.
12.	.
13.	.
14.	.
15.	.
16.	.
17.	.
18.	.
19.	.
20.	.
21.	.
22.	.
23.	.
24.	.
25.	.
26.	.
27.	.
28.	.
29.	.
30.	.

 

Пример 4.

Решить уравнение .

Решение. Вид уравнения нормальный

.

Ответ: .

 

Упражнения. Решить уравнения

1. . Ответ: .

2. .

Приводим к виду , и решаем по формуле, которая была выведена на лекциях (повторить, потому, что вывод спрашивают!) . Ответ: .

3. . Ответ: .

4. . Ответ: .

 

Уравнение линейное относительно функции . Приводим его к виду

или .

 

Решить линейные дифференциальные уравнения первого порядка:

1.	.
2.	.
3.	; .
4.	.
5.	.
6.	.
7.	.
8.	.
9.	.
10.	.
11.	.
12.	.
13.	.
14.	.
15.	.
16.	.
17.	.
18.	.
19.	.
20.	.
21.	.
22.	.
23.	.
24.	.
25.	.
26.	.
27.	.
28.	.
29.	.
30.	.

Пример 5.

Решить уравнение Бернулли .

Приведем уравнение к виду

.

Обе части уравнения умножим на и сделаем замену , причем, , получим - это линейное уравнение относительно .

Получили .

Поэтому .

Ответ: .

Упражнения. Решить уравнения

1. . Ответ: .

2. . Ответ: .

3. . Ответ: .

Уравнение следует переписать в виде

или - это уравнение Бернулли относительно функции .

4. . Ответ: .

Обе части уравнения следует умножить на и сделать замену .

Решить уравнения Бернулли:

 

1.	.
2.	.
3.	.
4.	.
5.	.
6.	.
7.	.
8.	.
9.	.
10.	.
11.	.
12.	.
13.	.
14.	.
15.	.
16.	.
17.	.
18.	.
19.	.
20.	.
21.	.
22.	.
23.	.
24.	.
25.	.
26.	.
27.	.
28.	.
29.	.
30.	.

 

Пример 6.

Решить уравнение .

Решение. Проверим является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах

.

Получили, что , условие (2) выполнено, значит данное уравнение в полных дифференциалах.

Найдем функцию . Для этого имеем систему:

Из первого уравнения, интегрированием по при постоянном , определяем :

,

где - произвольная функция (вместо постоянной интегрирования С берем функцию )

Частная производная , найденной функции должна равняться в силу второго уравнения системы, , что дает

,

.

Отсюда ,

- общий интеграл.

Ответ: , где .

 

Упражнения. Решить уравнения

1. . Ответ: .

2. . Ответ: .

3. . Ответ: .

4. . Ответ: .

,

уравнение в полных дифференциалах.

Проинтегрировать уравнения в полных дифференциалах:

 

1.	.
2.	.
3.	.
4.	.
5.	.
6.	.
7.	.
8.	.
9.	.
10.	.
11.	.
12.	.
13.	.
14.	.
15.	.
16.	.
17.	.
18.	.
19.	.
20.	.
21.	.
22.	.
23.	.
24.	.
25.	.
26.	.
27.	.
28.	.
29.	.
30.	.

Пример 8.

Найти общее решение уравнения .

Решение.

,

,

.

Пример 9. Решить уравнение .

Решение.

Данное уравнение не содержит искомой функции и ее производной, уравнение II типа. Полагаем , тогда . После этого уравнения примет вид .

Разделяя переменные, найдем , заменяя на , получим . Интегрируя последовательно, будем иметь

.

Ответ: .

Пример 10. Решить уравнение .

Решение.

Данное уравнение III типа. Введем обозначение , получим - уравнение Бернулли. Подстановкой оно сводится к линейному уравнению .

Заменяя на , получим . Интегрируя, будем иметь

или ; .

Замечание. При решении задачи Коши для уравнений высших порядков целесообразно определять значения постоянных в процессе решения, а не после нахождения общего решения уравнения.

Пример 11. Решить задачу Коши .

Решение.

Полагая , получим или откуда ; .

Разделяя переменные, найдем . Интеграл в правой части в элементарных функциях не вычисляется, как интеграл от дифференциаль-

ного бинома, случай неберущегося интеграла.

Но если использовать начальные условия , то и тогда

Ответ: .

Упражнения. Решить уравнения.

1) . Ответ: .

2) . Ответ: .

3) . Ответ: .

4) . Ответ: .

 

Решить уравнения, допускающие понижение порядка

1.	.
2.	.
3.	.
4.	.
5.	.
6.	.
7.	.
8.	.
9.	.
10.	.
11.	.
12.	.
13.	.
14.	.
15.	.
16.	.
17.	.
18.	.
19.	.
20.	.
21.	.
22.	.
23.	.
24.	.
25.	.
26.	.
27.	.
28.	.
29.	.
30.	.

 

Геометрические приложения.

 

В геометрических задачах, в которых требуется найти уравнение кривой по данному свойству ее касательной, нормали или площади криволинейной трапеции, используется геометрическое истолкование производной (угловой коэффициент касательной) и интеграл с переменным пределом (площадь криволинейной трапеции с подвижной ограничивающей ординатой), а так же следующие общие формулы для определения длин отрезков касательной t, нормали n, подкасательной St и поднормали Sn.

М   t y n   St x Sn

, , .

Пример 21. Найти такую кривую, проходящую через точку (0, - 2), чтобы угловой коэффициент касательной в любой ее точке равнялся ординате этой точки, увеличенной в три раза.

Решение.

Допустим, что искомая кривая описывается функций . Найдем ее. Угловой коэффициент равен . Имеем и начальное условие . Решим уравнение или . Используя начальное условие, получим .

Пример 22. материальная точка массой кг движется прямолинейно под действием силы, прямо пропорциональной времени, отсчитываемому от момента , и обратно пропорционально скорости движения точки. В момент с скорости равнялась м/с, а сила Н. Какова будет скорость спустя минуту после начала движения?

Решение.

По второму закону Ньютона , где k – коэффициент пропорциональности. Найдем k из условия, что в момент скорость равнялась м/с, а сила Н, .

Имеем . Решим уравнение .Произвольную постоянную С найдем из условия: в момент скорость , т.е. , .

Найдем скорость, которая будет спустя минуту после начала движения:

.

Пример 23. Тело массы скользит по горизонтальной плоскости под действием толчка, давшего начальную скорость . На тело действует сила трения, равная . Найти расстояние, которое тело способно пройти.

Решение.

Уравнение движения имеет вид . Найдем решение этого уравнения при начальных . Имеем

найдем из начальных условий: . Получим . Найдем момент времени t, при котором тело остановится: . За время пройденный путь .

Пример 24. К источнику с э. д. с. равной подключается контур, состоящий из последовательно соединенных катушки индуктивности L, омического сопротивления R и емкости С. Найти ток I в цепи как функцию времени t, если в начальный момент ток в контуре и заряд конденсатора равны нулю.

Решение.

По условию задачи . В этом случае и уравнение (2) получается однородным

(4)

Уравнение (4) аналогично уравнению свободных механических колебаний с учетом сопротивления среды. Решим уравнение (4).

Характеристическое уравнение

имеет корни .

Если , то оба корня действительные и общее решение есть функция непериодическая. Соответственно апериодическим будет и ток. Никаких электрических колебаний в цепи не произойдет так же и при .

Если же , то корни х.у. будут комплексно-сопряженными и общее решение ,

где положено , определяет электрические колебания.

, откуда ,

и, таким образом, начальные условия запишутся в виде

. (5)

найдем, используя начальные условия (5)