Порядок расчета аналитическим методом

Под расчетом надежности понимают определение численных показателей по тем или иным числовым данным.

При аналитическом методе основные показатели надежности: вероятность безотказной работы P(t), средняя наработка на отказ Т₀, определяются по известным интенсивностям отказов элементов, входящих в данную информационную систему. Элементы информационной системы соединены последовательно, если отказ любого из элементов приводит к отказу всей системы.

Пусть система состоит из n последовательно соединенных элементов.

Для безотказной работы системы необходимо, чтобы каждый элемент работал безотказно. Так как отказы элементов взаимно независимы, то вероятность безотказной работы системы равна произведению вероятностей элементов.

, (2.1)

где Р₁, Р₂, …, Р_n – вероятности безотказной работы элементов; Р_i – вероятность безотказной работы i-го элемента; Р_с – вероятность безотказной работы системы.

Пусть функции надежности элементов подчиняются экспоненциальному закону распределения, а интенсивности отказов не зависят от времени.

.

где λ₁, λ₂,…, λ_n – интенсивности отказов элементов.

Тогда:

. (2.2)

Надежность системы также подчиняется экспоненциальному закону распределения:

,

где λ_с = λ₁ + λ₂ + … + λ_n.

Среднее время безотказной работы системы Т_0c = 1/λ_c.

Пусть система состоит из n параллельно соединенных элементов и отказы элементов взаимно независимы. Отказ системы наступает только тогда, когда отказывают все входящие в систему элементы.

Тогда вероятность отказа системы равна произведению вероятностей отказов элементов:

, (2.3)

где Q_i(t) = 1 – P_i(t) – вероятность отказа i-го элемента в течение времени t.

Безотказная работа системы есть событие, противоположное отказу.

Вероятность безотказной работы системы:

. (2.4)

Если интенсивности отказов не зависят от времени, то формулы (2.3) и (2.4) принимают вид:

, (2.5)

. (2.6)

Если элементы системы имеют одинаковую надежность, т. е.:

,

,

то вероятность безотказной работы системы:

. (2.7)

Средняя наработка на отказ системы

.

Осуществим замену переменных:

,

.

Получим:

, (2.8)

Пусть параллельно включены два элемента с неодинаковыми интенсивностями отказов.

Вероятность безотказной работы системы:

.

Средняя наработка системы до отказа:

.

При параллельном включении трех элементов с неодинаковой надежностью:

.

По аналогии запишем формулу для средней наработки на отказ системы с неодинаковыми элементами в общем виде:

. (2.9)

При увеличении числа параллельно соединенных элементов вероятность безотказной работы системы возрастает.

На рисунке 1.1 изображены системы с основным (последовательным), параллельным (резервным) и смешанным соединением элементов.

 

Рисунок 1.1 - Системы с основным (последовательным), параллельным (резервным) и смешанным соединением элементов.

При смешанном соединении сначала по соответствующим формулам находят надежность цепи из К последовательно соединенных элементов, затем надежность системы из m параллельных ветвей.

При определении вероятности безотказной работы системы с произвольным соединением элементов используется метод минимальных путей.

Минимальный путь – это такой минимальный набор работоспособных элементов, исключение любого из которых (т. е. отказ) переводит систему из состояния работоспособности в состояние отказа. У системы с произвольной структурой может быть несколько минимальных путей. Последовательное соединение из n элементов имеет один минимальный путь. Параллельное соединение из n элементов имеет n минимальных путей, проходящих через каждый элемент.

Мостиковая структура рисунок 1.2 не сводится к параллельному или последовательному типу соединения элементов, а представляет собой параллельное соединение последовательных цепочек элементов с диагональными элементами, включенными между узлами различных параллельных ветвей (элемент 3 на рис. 2.2, а, элементы 3 и 6 на рис. 1.2 (б)). Работоспособность такой системы определяется не только количеством отказавших элементов, но и их положением в структурной схеме. Например, работоспособность ТС, схема которой приведена на рис. 1.2 (а), будет утрачена при одновременном отказе элементов 1 и 2, или 4 и 5, или 2, 3 и 4 и т.д. В то же время отказ элементов 1 и 5, или 2 и 4, или 1, 3 и 4, или 2, 3 и 5 к отказу системы не приводит.

Рисунок 1.2 - Мостиковая структура

Таблица 1

Таблица состояний мостиковой системы

N сост.	Состояние элементов	Состояние системы	Вероятность состояния
							в общем случае	при равнонадежных элементах
	+	+	+	+	+	+	p1p2p3p4p5	p^5
	+	+	+	+	-	+	p1p2p3p4q5	p^4q = p^4(1-p)
	+	+	+	-	+	+	p1p2p3q4p5
	+	+	-	+	+	+	p1p2q3p4p5
	+	-	+	+	+	+	p1q2p3p4p5
	-	+	+	+	+	+	q1p2p3p4p5
	+	+	+	-	-	-	p1p2p3q4q5	p^3q^2 = p^3(1-p)^2
	+	+	-	+	-	+	p1p2q3p4q5
	+	-	+	+	-	+	p1q2p3p4q5
	-	+	+	+	-	+	q1p2p3p4q5
	+	+	-	-	+	+	p1p2q3q4p5
	+	-	+	-	+	+	p1q2p3q4p5
	-	+	+	-	+	+	q1p2p3q4p5
	+	-	-	+	+	+	p1q2q3p4p5
	-	+	-	+	+	+	q1p2q3p4p5
	-	-	+	+	+	-	q1q2p3p4p5
	+	+	-	-	-	-	p1p2q3q4q5	p^2q^3 = p^2(1-p)^3
	+	-	+	-	-	-	p1q2p3q4q5
	-	+	+	-	-	-	q1p2p3q4q5
	+	-	-	-	+	-	p1q2q3q4p5
	-	+	-	-	+	+	q1p2q3q4p5
	-	-	-	+	+	-	q1q2q3p4p5
	+	-	-	+	-	+	p1q2q3q4p5
	-	+	-	+	-	-	q1p2q3p4q5
	-	-	+	-	+	-	q1q2p3q4p5
	-	-	+	+	-	-	q1q2p3p4q5
	+	-	-	-	-	-	p1q2q3q4q5	pq^4 = p(1-p)^4
	-	+	-	-	-	-	q1p2q3q4q5
	-	-	+	-	-	-	q1q2p3q4q5
	-	-	-	+	-	-	q1q2q3p4q5
	-	-	-	-	+	-	q1q2q3q4p5
	-	-	-	-	-	-	q1q2q3q4q5	q^5 = (1-p)^5

 

Для расчета надежности мостиковых систем можно воспользоваться методом прямого перебора.

Метод прямого перебора эффективен только при малом количестве элементов, поэтому для расчёта надёжности больших систем применяется метод логических схем с применением булевой алгебры.

Большинство реальных ТС имеет сложную комбинированную структуру, часть элементов которой образует последовательное соединение, другая часть - параллельное, отдельные ветви элементы или ветви структуры образуют мостиковые схемы.

Для расчёта надёжности таких систем производится её декомпозиция, т. е. разбиение системы на простые подсистемы – группы элементов, методика расчета надежности которых известна.

Затем эти подсистемы в структурной схеме надежности заменяются квазиэлементами, вероятность безотказной работы которых уже вычислена. Такая процедура выполняется несколько раз, до тех пор, пока оставшиеся квазиэлементы не образуют структуру, методика расчета надежности которой также известна.

 

Рисунок 1.3- Комбинированная система

В качестве примера рассмотрим комбинированную систему, представленную на рисунок 1.3. Здесь элементы 2 и 5, 4 и 7, 9 и 12, 11 и 14 попарно образуют друг с другом последовательные соединения. Заменим их соответственно квазиэлементами А, В, С, Д.

Элементы 15, 16, 17 и 18 образуют параллельное соединение и расчёт их нам тоже известен.

Элементы 3, 6, 8, 10 и 13 образуют мостиковую схему и обозначаются буквами E и F.

В результате преобразованная схема примет вид, показанный на рис. 1.5.3 (а). В ней в свою очередь элементы А, В, С, Д, F образуют мостиковую схему, которую заменяем квазиэлементом G.

В результате исходная система образует последовательное соединение элементов 1, G, E, 19.

Выводы:

Вероятность безотказной работы системы при последовательном (основном) соединении элементов всегда меньше, чем вероятность самого ненадежного элемента. Она существенно возрастает при увеличении надежности самого ненадежного элемента.